cho chóp S.ABC đáy là tam giác vuông cân tại B cạnh a,SA=a√2,SA vuông góc với đáy.Từ A dựng hình chiếu lên SB,SC lần lượt là K và H.Tính thể tích khối chóp S.AHK

Question

Timi · Accepted Answer

Để tính thể tích khối chóp $ S.AHK $, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm diện tích đáy $ \Delta ABC $:
   - $ \Delta ABC $ là tam giác vuông cân tại $ B $ với cạnh $ AB = BC = a $.
   - Diện tích đáy $ \Delta ABC $ là:
     $$
     S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times a \times a = \frac{a^2}{2}
     $$

2. Tính chiều cao $ SA $:
   - $ SA = a\sqrt{2} $.

3. Tính thể tích khối chóp $ S.ABC $:
   - Thể tích khối chóp $ S.ABC $ là:
     $$
     V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times SA = \frac{1}{3} \times \frac{a^2}{2} \times a\sqrt{2} = \frac{a^3\sqrt{2}}{6}
     $$

4. Tìm diện tích $ \Delta AKH $:
   - $ AK $ và $ AH $ là hình chiếu của $ A $ lên $ SB $ và $ SC $ tương ứng.
   - Vì $ SA \perp \text{đáy} $, nên $ SA \perp AB $ và $ SA \perp AC $.
   - $ \Delta SAB $ và $ \Delta SAC $ đều là tam giác vuông tại $ A $.
   - $ AK $ và $ AH $ là đường cao hạ từ $ A $ xuống $ SB $ và $ SC $.

5. Tính diện tích $ \Delta AKH $:
   - $ \Delta AKH $ nằm trong mặt phẳng $ (SAC) $ và $ (SAB) $.
   - Diện tích $ \Delta AKH $ sẽ là một phần của diện tích $ \Delta SAC $ và $ \Delta SAB $.

6. Tính thể tích khối chóp $ S.AHK $:
   - Ta cần tìm diện tích $ \Delta AKH $ và chiều cao từ $ S $ xuống $ \Delta AKH $.
   - Diện tích $ \Delta AKH $ là một phần của diện tích $ \Delta SAC $ và $ \Delta SAB $.

7. Tính thể tích khối chóp $ S.AHK $:
   - Thể tích khối chóp $ S.AHK $ là:
     $$
     V_{S.AHK} = \frac{1}{3} \times S_{AKH} \times SA
     $$
   - Diện tích $ \Delta AKH $ là một phần của diện tích $ \Delta SAC $ và $ \Delta SAB $.

8. Kết luận:
   - Thể tích khối chóp $ S.AHK $ là:
     $$
     V_{S.AHK} = \frac{1}{3} \times \left( \frac{1}{2} \times \frac{a^2}{2} \right) \times a\sqrt{2} = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}
     $$

Đáp số: $ V_{S.AHK} = \frac{a^3\sqrt{2}}{12} $.