Bsbsbsbsbdb I.PHẦN I (LÝ THUYẾT) (1,5 điểm),Câu 1. Mặt phẳng đi qua điểm $M(x_0;y_0;z_0)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n=(A;B;C)$ thì có phương trình là:,Câu 2. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $M(x_0;y_0;z_0)$ và có vectơ chỉ phương,$\overrightarrow u=(a;b;c)$ thì có phương trình là: .....,Câu 3. Phương trình mặt cầu có tâm $I(a;b;c)$ và có bán kính R là:,II.PHẦN II (BÀI TẬP) (8,5 điểm) Tự ra đề bằng cách điền số vào chỗ trống và giải bài toán đã ra,Câu 4. (3 điểm) Cho mặt phẳng (P) đi qua điểm $M(6;8;10)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n=(30;90;60)$,a)Viết phương trình mặt phẳng (P).,b)Tính khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng (P),c)Điểm $E(1;1;0)$ có thuộc mặt phẳng (P) không? Tại sao?

Question

Accepted Answer

Câu 1.
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $ M(x_0; y_0; z_0) $ và có vectơ pháp tuyến $ \overrightarrow{n} = (A; B; C) $ được lập luận như sau:

1. Xác định vectơ pháp tuyến: 
   Vectơ pháp tuyến $ \overrightarrow{n} = (A; B; C) $ là vectơ vuông góc với mặt phẳng.

2. Xác định vectơ chỉ phương: 
   Gọi $ P(x; y; z) $ là một điểm bất kỳ trên mặt phẳng. Vectơ $ \overrightarrow{MP} $ từ điểm $ M $ đến điểm $ P $ sẽ nằm trong mặt phẳng này và có tọa độ là:
   $$
   \overrightarrow{MP} = (x - x_0; y - y_0; z - z_0)
   $$

3. Điều kiện vuông góc: 
   Vì $ \overrightarrow{n} $ là vectơ pháp tuyến, nó vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng, bao gồm cả $ \overrightarrow{MP} $. Điều kiện hai vectơ vuông góc là tích vô hướng của chúng bằng 0:
   $$
   \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{MP} = 0
   $$
   Thay tọa độ của $ \overrightarrow{n} $ và $ \overrightarrow{MP} $ vào, ta có:
   $$
   A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0
   $$

4. Phương trình mặt phẳng: 
   Phương trình trên chính là phương trình mặt phẳng đi qua điểm $ M(x_0; y_0; z_0) $ và có vectơ pháp tuyến $ \overrightarrow{n} = (A; B; C) $:
   $$
   A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0
   $$

Tóm lại, phương trình mặt phẳng đi qua điểm $ M(x_0; y_0; z_0) $ và có vectơ pháp tuyến $ \overrightarrow{n} = (A; B; C) $ là:
$$
A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0
$$

Câu 2.
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $M(x_0; y_0; z_0)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (a; b; c)$ được lập luận như sau:

1. Xác định điểm trên đường thẳng: 
   Gọi $M'(x; y; z)$ là một điểm bất kỳ trên đường thẳng.

2. Tìm vectơ $\overrightarrow{MM'}$:
   Vectơ $\overrightarrow{MM'}$ có tọa độ là $(x - x_0; y - y_0; z - z_0)$.

3. Vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$:
   Vectơ chỉ phương của đường thẳng là $\overrightarrow{u} = (a; b; c)$.

4. Tính chất của vectơ chỉ phương:
   Vectơ $\overrightarrow{MM'}$ phải cùng phương với vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$. Do đó, tồn tại một số thực $t$ sao cho:
   $$
   \overrightarrow{MM'} = t \cdot \overrightarrow{u}
   $$
   Điều này dẫn đến:
   $$
   (x - x_0; y - y_0; z - z_0) = t \cdot (a; b; c)
   $$

5. Viết phương trình tham số:
   Từ phương trình trên, ta có:
   $$
   x - x_0 = t \cdot a \
   y - y_0 = t \cdot b \
   z - z_0 = t \cdot c
   $$
   Suy ra phương trình tham số của đường thẳng là:
   $$
   \begin{cases}
   x = x_0 + t \cdot a \
   y = y_0 + t \cdot b \
   z = z_0 + t \cdot c
   \end{cases}
   $$

Vậy phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $M(x_0; y_0; z_0)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (a; b; c)$ là:
$$
\begin{cases}
x = x_0 + t \cdot a \
y = y_0 + t \cdot b \
z = z_0 + t \cdot c
\end{cases}
$$

Câu 3.
Phương trình mặt cầu có tâm $I(a; b; c)$ và có bán kính $R$ là:

$$
(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2
$$

Lập luận từng bước:
1. Tâm của mặt cầu: Tâm của mặt cầu là điểm $I(a; b; c)$.
2. Bán kính của mặt cầu: Bán kính của mặt cầu là $R$.
3. Phương trình mặt cầu: Phương trình mặt cầu được viết dưới dạng tổng bình phương của khoảng cách từ bất kỳ điểm $(x; y; z)$ trên mặt cầu đến tâm $I(a; b; c)$ bằng bình phương của bán kính $R$.

Do đó, phương trình mặt cầu là:

$$
(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2
$$

Câu 4.
a) Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm $M(6;8;10)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(30;90;60)$ là:
$$30(x-6)+90(y-8)+60(z-10)=0$$
$$30x+90y+60z-1200=0$$
$$x+3y+2z-40=0$$

b) Khoảng cách từ điểm $N(x_1,y_1,z_1)$ đến mặt phẳng $(P): Ax + By + Cz + D = 0$ được tính bằng công thức:
$$d(N,(P)) = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$

c) Để kiểm tra điểm $E(1;1;0)$ có thuộc mặt phẳng (P) hay không, ta thay tọa độ của điểm E vào phương trình mặt phẳng (P):
$$1 + 3(1) + 2(0) - 40 = 1 + 3 + 0 - 40 = -36 \neq 0$$

Vậy điểm $E(1;1;0)$ không thuộc mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết:

a) Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm $M(6;8;10)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(30;90;60)$ là:
$$30(x-6)+90(y-8)+60(z-10)=0$$
$$30x+90y+60z-1200=0$$
$$x+3y+2z-40=0$$

b) Khoảng cách từ điểm $N(x_1,y_1,z_1)$ đến mặt phẳng $(P): Ax + By + Cz + D = 0$ được tính bằng công thức:
$$d(N,(P)) = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$

c) Để kiểm tra điểm $E(1;1;0)$ có thuộc mặt phẳng (P) hay không, ta thay tọa độ của điểm E vào phương trình mặt phẳng (P):
$$1 + 3(1) + 2(0) - 40 = 1 + 3 + 0 - 40 = -36 \neq 0$$

Vậy điểm $E(1;1;0)$ không thuộc mặt phẳng (P).