Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Câu 11: (1.0 điểm) 1) Cho $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ trong đó $a,b,c,d\in\mathbb Z$ và thỏa mãn $b=3a+c.$ Tinh,$f(1).f(-2).$,2) Cho đa thức $P=x^{99}-100x^{98}+100x^{97}-100x^{96}+...+100x-1.$ Tính giá trị biểu thức P với $x=99.$

Question

Accepted Answer

Câu 11:
1) Ta có:
$$ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $$
Thay $ b = 3a + c $ vào ta được:
$$ f(x) = ax^3 + (3a + c)x^2 + cx + d $$

Bây giờ, ta tính $ f(1) $:
$$ f(1) = a(1)^3 + (3a + c)(1)^2 + c(1) + d $$
$$ f(1) = a + 3a + c + c + d $$
$$ f(1) = 4a + 2c + d $$

Tiếp theo, ta tính $ f(-2) $:
$$ f(-2) = a(-2)^3 + (3a + c)(-2)^2 + c(-2) + d $$
$$ f(-2) = a(-8) + (3a + c)(4) + c(-2) + d $$
$$ f(-2) = -8a + 12a + 4c - 2c + d $$
$$ f(-2) = 4a + 2c + d $$

Như vậy, ta thấy rằng:
$$ f(1) = 4a + 2c + d $$
$$ f(-2) = 4a + 2c + d $$

Do đó:
$$ f(1) \cdot f(-2) = (4a + 2c + d) \cdot (4a + 2c + d) $$
$$ f(1) \cdot f(-2) = (4a + 2c + d)^2 $$

2) Ta xét đa thức:
$$ P = x^{99} - 100x^{98} + 100x^{97} - 100x^{96} + ... + 100x - 1 $$

Ta thay $ x = 99 $ vào đa thức $ P $:
$$ P(99) = 99^{99} - 100 \cdot 99^{98} + 100 \cdot 99^{97} - 100 \cdot 99^{96} + ... + 100 \cdot 99 - 1 $$

Nhận thấy rằng mỗi cặp $ x^{k} - 100x^{k-1} $ sẽ tạo thành:
$$ 99^{k} - 100 \cdot 99^{k-1} = 99^{k-1}(99 - 100) = 99^{k-1}(-1) = -99^{k-1} $$

Vì vậy, ta có:
$$ P(99) = -99^{98} + 99^{97} - 99^{96} + ... + 99 - 1 $$

Nhìn vào cấu trúc của biểu thức này, ta nhận thấy rằng mỗi cặp $ -99^{k} + 99^{k-1} $ sẽ tạo thành:
$$ -99^{k} + 99^{k-1} = -99^{k-1}(99 - 1) = -99^{k-1} \cdot 98 $$

Cuối cùng, ta có:
$$ P(99) = -99^{98} + 99^{97} - 99^{96} + ... + 99 - 1 $$

Tổng kết lại, ta thấy rằng tất cả các cặp $ -99^{k} + 99^{k-1} $ đều tạo thành các số âm và cuối cùng ta có:
$$ P(99) = -1 $$

Vậy:
$$ f(1) \cdot f(-2) = (4a + 2c + d)^2 $$
$$ P(99) = -1 $$