Câu 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, BC = a căn 3, AB =a. S4 vuông góc (ABCD) và
SA = a căn 2 . Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC).

Question

Timi · Accepted Answer

Câu 27:
Để tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC), ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định các điểm và vectơ:
   - Gọi O là trung điểm của AC.
   - Ta có SO vuông góc với (ABCD) nên SO vuông góc với AC.
   - Mặt khác, vì ABCD là hình chữ nhật nên AC vuông góc với BD tại O.
   - Do đó, AC vuông góc với mặt phẳng SBD, suy ra AC vuông góc với SB.

2. Tính góc giữa SB và (SAC):
   - Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ B xuống mặt phẳng (SAC). 
   - Ta có góc giữa SB và (SAC) là góc SBH.

3. Tính khoảng cách từ B đến (SAC):
   - Diện tích tam giác SAC:
     $$
     S_{SAC} = \frac{1}{2} \times SA \times AC = \frac{1}{2} \times a\sqrt{2} \times a\sqrt{3 + 1} = \frac{1}{2} \times a\sqrt{2} \times 2a = a^2\sqrt{2}
     $$
   - Diện tích tam giác ABC:
     $$
     S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times a \times a\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}
     $$
   - Diện tích tam giác SBC:
     $$
     S_{SBC} = \frac{1}{2} \times SC \times BC = \frac{1}{2} \times a\sqrt{2} \times a\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{6}}{2}
     $$

4. Diện tích toàn phần của hình chóp SABC:
   $$
   S_{SABC} = S_{SAC} + S_{ABC} + S_{SBC} = a^2\sqrt{2} + \frac{a^2\sqrt{3}}{2} + \frac{a^2\sqrt{6}}{2}
   $$

5. Khoảng cách từ B đến (SAC):
   - Diện tích tam giác SAB:
     $$
     S_{SAB} = \frac{1}{2} \times SA \times AB = \frac{1}{2} \times a\sqrt{2} \times a = \frac{a^2\sqrt{2}}{2}
     $$
   - Diện tích tam giác SAD:
     $$
     S_{SAD} = \frac{1}{2} \times SA \times AD = \frac{1}{2} \times a\sqrt{2} \times a\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{6}}{2}
     $$
   - Diện tích toàn phần của hình chóp SABD:
     $$
     S_{SABD} = S_{SAB} + S_{SAD} + S_{SAC} = \frac{a^2\sqrt{2}}{2} + \frac{a^2\sqrt{6}}{2} + a^2\sqrt{2} = \frac{3a^2\sqrt{2}}{2} + \frac{a^2\sqrt{6}}{2}
     $$

6. Tính góc SBH:
   - Gọi d là khoảng cách từ B đến (SAC):
     $$
     d = \frac{2 \times S_{SABD}}{S_{SAC}} = \frac{2 \times (\frac{3a^2\sqrt{2}}{2} + \frac{a^2\sqrt{6}}{2})}{a^2\sqrt{2}} = \frac{3a^2\sqrt{2} + a^2\sqrt{6}}{a^2\sqrt{2}} = 3 + \sqrt{3}
     $$
   - Góc SBH:
     $$
     \sin(SBH) = \frac{d}{SB} = \frac{3 + \sqrt{3}}{a\sqrt{2}}
     $$

7. Kết luận:
   - Góc giữa SB và (SAC) là góc SBH.

Đáp số: Góc giữa SB và (SAC) là $\boxed{\sin^{-1}\left(\frac{3 + \sqrt{3}}{a\sqrt{2}}\right)}$.

Câu 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, BC = a căn 3, AB =a. S4 vuông góc (ABCD) và SA = a căn 2 . Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC).