Bài 1 (1,5 điểm): Cho hai biểu thức và với a) Tính giá trị của biểu thức A khi b) Chứng tỏ rằng c) Cho P = A.B. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị là số tự nhiên. Bài 2 (2,0 điểm)...

Bài 1 a) Tính giá trị của biểu thức A khi Thay vào biểu thức A, ta được: \[ A = \frac{x^2 - 4}{x + 2} \] \[ A = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2} \] \[ A = x - 2 \] Thay vào biểu thức trên: \[ A = 3 - 2 = 1 \] Vậy giá trị của biểu thức A khi là 1. b) Chứng tỏ rằng Ta có: \[ A = \frac{x^2 - 4}{x + 2} \] \[ A = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2} \] \[ A = x - 2 \] Tương tự: \[ B = \frac{x^2 - 9}{x - 3} \] \[ B = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} \] \[ B = x + 3 \] Do đó: \[ A + B = (x - 2) + (x + 3) \] \[ A + B = 2x + 1 \] Vậy ta đã chứng tỏ được \( A + B = 2x + 1 \). c) Cho \( P = A \cdot B \). Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị là số tự nhiên. Ta có: \[ P = A \cdot B \] \[ P = (x - 2) \cdot (x + 3) \] \[ P = x^2 + x - 6 \] Để \( P \) nhận giá trị là số tự nhiên, \( x^2 + x - 6 \) phải là số tự nhiên. Ta xét các giá trị nguyên của \( x \): - Khi \( x = 0 \): \[ P = 0^2 + 0 - 6 = -6 \] (không thỏa mãn) - Khi \( x = 1 \): \[ P = 1^2 + 1 - 6 = -4 \] (không thỏa mãn) - Khi \( x = 2 \): \[ P = 2^2 + 2 - 6 = 0 \] (thỏa mãn) - Khi \( x = 3 \): \[ P = 3^2 + 3 - 6 = 6 \] (thỏa mãn) - Khi \( x = -1 \): \[ P = (-1)^2 + (-1) - 6 = -6 \] (không thỏa mãn) - Khi \( x = -2 \): \[ P = (-2)^2 + (-2) - 6 = -4 \] (không thỏa mãn) - Khi \( x = -3 \): \[ P = (-3)^2 + (-3) - 6 = 0 \] (thỏa mãn) - Khi \( x = -4 \): \[ P = (-4)^2 + (-4) - 6 = 6 \] (thỏa mãn) Vậy các giá trị nguyên của \( x \) để \( P \) nhận giá trị là số tự nhiên là \( x = 2, 3, -3, -4 \). Bài 2 1) Gọi số ngày dự định đội sản xuất hoàn thành kế hoạch là x (ngày, điều kiện: x > 2). Theo đề bài, mỗi ngày đội sản xuất thực tế làm được số chi tiết máy là: 30 + 10 = 40 (chi tiết máy) Số ngày thực tế đội sản xuất hoàn thành kế hoạch là: x - 2 (ngày) Số chi tiết máy đội sản xuất theo kế hoạch là: 30 × x (chi tiết máy) Số chi tiết máy đội sản xuất thực tế là: 40 × (x - 2) + 45 (chi tiết máy) Vì số chi tiết máy đội sản xuất theo kế hoạch bằng số chi tiết máy đội sản xuất thực tế, ta có phương trình: 30 × x = 40 × (x - 2) + 45 Giải phương trình này: 30x = 40(x - 2) + 45 30x = 40x - 80 + 45 30x = 40x - 35 30x - 40x = -35 -10x = -35 x = $\frac{-35}{-10}$ x = 3,5 Vậy số ngày dự định đội sản xuất hoàn thành kế hoạch là 3,5 ngày. Số chi tiết máy đội phải sản xuất theo kế hoạch là: 30 × 3,5 = 105 (chi tiết máy) Đáp số: 105 chi tiết máy. 2) Để tính diện tích xung quanh của giỏ hoa gỗ mini có dạng hình chóp tam giác đều, ta cần biết diện tích của ba mặt bên của hình chóp. Diện tích của một mặt bên của hình chóp tam giác đều là: $\frac{1}{2}$ × cạnh đáy × độ dài trung đoạn Với độ dài cạnh đáy là 10 cm và độ dài trung đoạn là 20 cm, diện tích của một mặt bên là: $\frac{1}{2}$ × 10 × 20 = 100 (cm²) Vì hình chóp tam giác đều có ba mặt bên giống nhau, diện tích xung quanh của giỏ hoa gỗ mini là: 3 × 100 = 300 (cm²) Đáp số: 300 cm². Bài 3 a) Với m = 3, ta có hàm số y = 3x + 2. Đồ thị của hàm số này là một đường thẳng đi qua điểm (0, 2) và có độ dốc là 3. b) Để hai đồ thị hàm số song song với nhau, ta cần đảm bảo rằng chúng có cùng hệ số góc. Hàm số y = mx + 2 có hệ số góc là m, và hàm số y = 3x + 2 có hệ số góc là 3. Do đó, để hai đồ thị song song, ta cần m = 3. Bài 4 a) Ta có: - $\angle DCE = \angle BCF$ (góc đối đỉnh) - $\angle CED = \angle CFB = 90^\circ$ (CE và CF là đường cao hạ từ C) Do đó, tam giác CDE đồng dạng với tam giác CBF (góc - góc) b) Ta có: - $\angle BAI = \angle CAD$ (góc đối đỉnh) - $\angle AIB = \angle ADC = 90^\circ$ (BI là đường cao hạ từ B) Do đó, tam giác ABI đồng dạng với tam giác ACD (góc - góc) c) Từ phần a) ta có: \[ \frac{CE}{CF} = \frac{CD}{CB} \] Từ phần b) ta có: \[ \frac{AI}{AD} = \frac{AB}{AC} \] Nhân hai tỉ lệ trên lại với nhau: \[ \frac{CE}{CF} \times \frac{AI}{AD} = \frac{CD}{CB} \times \frac{AB}{AC} \] Ta có: \[ \frac{CE \cdot AI}{CF \cdot AD} = \frac{CD \cdot AB}{CB \cdot AC} \] Vì ABCD là hình bình hành nên CD = AB và CB = AD. Do đó: \[ \frac{CE \cdot AI}{CF \cdot AD} = \frac{AB \cdot AB}{AD \cdot AD} = 1 \] Vậy: \[ CE \cdot AI = CF \cdot AD \] Điều này chứng tỏ: \[ \frac{CE}{CF} = \frac{AD}{AI} \] Vậy tam giác CEA đồng dạng với tam giác CFA (góc - tỉ lệ cạnh) Kết luận: \[ CE \cdot AI = CF \cdot AD \] Bài 5 Để chứng minh \(a^3 + b^3 + c^3 = 3abc\) khi \(a + b + c = 0\), ta sẽ sử dụng các tính chất và biến đổi đại số phù hợp. Bước 1: Ta biết rằng \(a + b + c = 0\). Điều này có nghĩa là \(c = -(a + b)\). Bước 2: Ta thay \(c = -(a + b)\) vào biểu thức \(a^3 + b^3 + c^3\): \[a^3 + b^3 + c^3 = a^3 + b^3 + [-(a + b)]^3\] Bước 3: Ta mở ngoặc và biến đổi: \[a^3 + b^3 + [-(a + b)]^3 = a^3 + b^3 - (a + b)^3\] Bước 4: Ta sử dụng công thức khai triển \((a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)\): \[a^3 + b^3 - (a + b)^3 = a^3 + b^3 - (a^3 + b^3 + 3ab(a + b))\] Bước 5: Ta thực hiện phép trừ: \[a^3 + b^3 - (a^3 + b^3 + 3ab(a + b)) = a^3 + b^3 - a^3 - b^3 - 3ab(a + b)\] Bước 6: Ta thấy rằng \(a^3\) và \(-a^3\) triệt tiêu lẫn nhau, \(b^3\) và \(-b^3\) cũng triệt tiêu lẫn nhau: \[a^3 + b^3 - a^3 - b^3 - 3ab(a + b) = -3ab(a + b)\] Bước 7: Ta biết rằng \(a + b = -c\), do đó: \[-3ab(a + b) = -3ab(-c) = 3abc\] Vậy ta đã chứng minh được: \[a^3 + b^3 + c^3 = 3abc\] Đáp số: \(a^3 + b^3 + c^3 = 3abc\).