gui minh voi

Bài 4. Để chứng minh rằng BCMN là hình chữ nhật và tính góc giữa SD và (SBC), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định các điểm và tính toán các đoạn thẳng - SA = AD = 2a - AB = BC = a - M là trung điểm của SA, vậy SM = MA = a - N là trung điểm của SD, vậy SN = ND = a Bước 2: Chứng minh BCMN là hình chữ nhật Chứng minh MN // BC và MN = BC - MN là đường trung bình của tam giác SAD, vậy MN // AD và MN = $\frac{1}{2}$ AD = a - Vì AD // BC (do ABCD là hình thang vuông tại A và B), nên MN // BC và MN = BC = a Chứng minh BM // CN và BM = CN - BM là đường trung bình của tam giác SAB, vậy BM // AB và BM = $\frac{1}{2}$ AB = $\frac{a}{2}$ - CN là đường trung bình của tam giác SDC, vậy CN // DC và CN = $\frac{1}{2}$ DC = $\frac{a}{2}$ Do đó, BM // CN và BM = CN Từ hai phần trên, ta thấy rằng BCMN có các cặp cạnh song song và bằng nhau, do đó BCMN là hình chữ nhật. Bước 3: Tính góc giữa SD và (SBC) Xác định góc giữa SD và (SBC) - SD cắt (SBC) tại D - Góc giữa SD và (SBC) là góc giữa SD và đường thẳng qua D vuông góc với (SBC). Ta chọn đường thẳng này là DH, với H là chân đường cao hạ từ D xuống SB. Tính góc SDH - SA ⊥ (ABCD), nên SA ⊥ SB - ABCD là hình thang vuông tại A và B, nên AB ⊥ BC và AB ⊥ AD - SA ⊥ SB, AB ⊥ SB, nên SB ⊥ (SAD), suy ra SB ⊥ DH - DH ⊥ SB và DH ⊥ SA, nên DH ⊥ (SAB), suy ra DH ⊥ AB - AB ⊥ BC, AB ⊥ DH, nên AB ⊥ (DHC), suy ra AB ⊥ CH - CH ⊥ AB và CH ⊥ SA, nên CH ⊥ (SAB), suy ra CH ⊥ SB - SB ⊥ DH và SB ⊥ CH, nên SB ⊥ (DHC), suy ra SB ⊥ SD Vậy góc SDH là góc giữa SD và (SBC). - SD = $\sqrt{SA^2 + AD^2} = \sqrt{(2a)^2 + (2a)^2} = 2a\sqrt{2}$ - DH = $\frac{AD \cdot AB}{SB} = \frac{2a \cdot a}{a\sqrt{5}} = \frac{2a^2}{a\sqrt{5}} = \frac{2a}{\sqrt{5}}$ Ta có: \[ \cos(\text{góc SDH}) = \frac{DH}{SD} = \frac{\frac{2a}{\sqrt{5}}}{2a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \] Vậy góc giữa SD và (SBC) là: \[ \text{góc SDH} = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right) \] Đáp số: - BCMN là hình chữ nhật. - Góc giữa SD và (SBC) là $\arccos\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$.