Em muốn hỏi ạ

Bài 3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định các thông tin đã biết - Tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A, tức là AB = AC và $\angle BAC = 90^\circ$. - SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), tức là $SA \perp (ABC)$. Bước 2: Tìm góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) - Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BC trong tam giác ABC. Vì ABC là tam giác vuông cân tại A, nên H cũng là trung điểm của BC. - Mặt phẳng (SBC) cắt mặt phẳng (ABC) theo đường thẳng BC. - Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) là góc giữa đường thẳng AH (vuông góc với BC) và đường thẳng SH (vuông góc với BC). Do đó, góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) là góc $\angle SHA$. Bước 3: Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) - Gọi D là chân đường cao hạ từ C xuống SB trong tam giác SBC. Vì $SA \perp (ABC)$, nên SB nằm trong mặt phẳng (SAB). - Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) là độ dài đoạn thẳng CD. Bước 4: Lập phương trình và tính toán - Giả sử AB = AC = a. Do đó, BC = $a\sqrt{2}$. - AH = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ vì H là trung điểm của BC. - SA = h (chiều cao từ S đến mặt phẳng (ABC)). Tính góc $\angle SHA$ - Trong tam giác vuông SHA, ta có: \[ \tan(\angle SHA) = \frac{SA}{AH} = \frac{h}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} = \frac{2h}{a\sqrt{2}} = \frac{h\sqrt{2}}{a} \] - Vậy góc $\angle SHA = \arctan\left(\frac{h\sqrt{2}}{a}\right)$. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) - Trong tam giác vuông SBC, ta có: \[ SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{h^2 + a^2} \] - Diện tích tam giác SBC: \[ [SBC] = \frac{1}{2} \times BC \times SA = \frac{1}{2} \times a\sqrt{2} \times h = \frac{ah\sqrt{2}}{2} \] - Diện tích tam giác SAB: \[ [SAB] = \frac{1}{2} \times AB \times SA = \frac{1}{2} \times a \times h = \frac{ah}{2} \] - Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) là: \[ CD = \frac{2 \times [SBC]}{SB} = \frac{2 \times \frac{ah\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{h^2 + a^2}} = \frac{ah\sqrt{2}}{\sqrt{h^2 + a^2}} \] Kết luận - Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) là $\angle SHA = \arctan\left(\frac{h\sqrt{2}}{a}\right)$. - Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) là $\frac{ah\sqrt{2}}{\sqrt{h^2 + a^2}}$. Bài 4. Để giải quyết các yêu cầu trong đề bài, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. 1. Tính số đo của góc nhị diện $[S,BD,C]$: - Xét hình chóp $S.ABCD$ với đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA = \frac{\sqrt{2}}{2}a$, và $SA \perp (ABCD)$. - Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$. Ta có $SO \perp (ABCD)$ vì $SA \perp (ABCD)$ và $O$ nằm trên đường thẳng $AC$ (đường chéo của hình vuông). Tìm góc giữa hai mặt phẳng $(SBD)$ và $(CBD)$: - Mặt phẳng $(SBD)$ chứa $SO$ và $BD$. - Mặt phẳng $(CBD)$ chứa $BD$ và $OC$. - Góc giữa hai mặt phẳng này là góc giữa hai đường thẳng $SO$ và $OC$. Tính góc giữa $SO$ và $OC$: - $SO = SA = \frac{\sqrt{2}}{2}a$. - $OC = \frac{a}{\sqrt{2}}$ (vì $O$ là trung điểm của $AC$ và $AC = a\sqrt{2}$). Ta có: \[ \cos(\angle SOC) = \frac{SO^2 + OC^2 - SC^2}{2 \cdot SO \cdot OC} \] Trong đó: \[ SC = \sqrt{SO^2 + OC^2} = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)^2 + \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2}} = a \] Do đó: \[ \cos(\angle SOC) = \frac{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)^2 + \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 - a^2}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}a \cdot \frac{a}{\sqrt{2}}} = \frac{\frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} - a^2}{a^2} = 0 \] Vậy $\angle SOC = 90^\circ$. Suy ra góc nhị diện $[S,BD,C] = 90^\circ$. 2. Tính khoảng cách giữa $AB$ và $SC$: - Vì $AB \parallel CD$, khoảng cách giữa $AB$ và $SC$ bằng khoảng cách giữa $CD$ và $SC$. - Ta hạ đường vuông góc từ $C$ xuống $SC$ giao tại $H$. Tính khoảng cách từ $C$ đến $SC$: - $SC = a$ (như đã tính ở trên). - $CS = a$. Khoảng cách từ $C$ đến $SC$ là: \[ d(C, SC) = \frac{CS \cdot CO}{SC} = \frac{a \cdot \frac{a}{\sqrt{2}}}{a} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \] 3. Tính khoảng cách từ $C$ đến $(SBD)$: - Ta hạ đường vuông góc từ $C$ xuống $(SBD)$ giao tại $H$. Tính khoảng cách từ $C$ đến $(SBD)$: - Diện tích tam giác $SBD$: \[ [SBD] = \frac{1}{2} \times BD \times SO = \frac{1}{2} \times a\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}a = \frac{a^2}{2} \] - Diện tích tam giác $BCD$: \[ [BCD] = \frac{1}{2} \times BD \times OC = \frac{1}{2} \times a\sqrt{2} \times \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a^2}{2} \] - Diện tích tam giác $SCD$: \[ [SCD] = \frac{1}{2} \times CD \times SH = \frac{1}{2} \times a \times h \] Khoảng cách từ $C$ đến $(SBD)$ là: \[ h = \frac{2 \times [SCD]}{CD} = \frac{2 \times \frac{a^2}{2}}{a} = \frac{a}{\sqrt{3}} \] Vậy khoảng cách từ $C$ đến $(SBD)$ là $\frac{a}{\sqrt{3}}$. Đáp số: 1. Số đo của góc nhị diện $[S,BD,C]$ là $90^\circ$. 2. Khoảng cách giữa $AB$ và $SC$ là $\frac{a\sqrt{2}}{2}$. 3. Khoảng cách từ $C$ đến $(SBD)$ là $\frac{a}{\sqrt{3}}$. Bài 5. Bước 1: Chứng minh BCC'B' là hình chữ nhật - Ta có \( \triangle AB'C' \) cân tại \( A \) và \( (AB'C') \perp (A'B'C') \). - Gọi \( H \) là chân đường cao hạ từ \( A \) xuống \( B'C' \). - Vì \( \triangle AB'C' \) cân tại \( A \), nên \( AH \perp B'C' \) và \( H \) là trung điểm của \( B'C' \). - Mặt khác, vì \( (AB'C') \perp (A'B'C') \), nên \( AH \perp (A'B'C') \). - Do đó, \( AH \perp B'C' \) và \( AH \perp A'H \) (vì \( A'H \subset (A'B'C') \)). - Kết hợp lại ta có \( AH \perp (B'C'A') \). - Suy ra \( AH \perp B'C' \) và \( AH \perp A'H \), do đó \( AH \perp (B'C'A') \). - Vì \( AH \perp (B'C'A') \), nên \( AH \perp B'C' \) và \( AH \perp A'H \). - Do đó, \( B'C' \perp A'H \) và \( B'C' \perp A'B' \) (vì \( A'B' \perp B'C' \) trong mặt phẳng \( (A'B'C') \)). - Từ đây suy ra \( B'C' \perp (A'B'C') \), do đó \( B'C' \perp B'C \) (vì \( B'C \subset (A'B'C') \)). - Vậy \( BCC'B' \) là hình chữ nhật. Bước 2: Tính thể tích của lăng trụ ABC.A'B'C' - Diện tích đáy \( \triangle ABC \) là: \[ S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] - Chiều cao của lăng trụ là \( AA' = a\sqrt{3} \). - Thể tích của lăng trụ là: \[ V = S_{ABC} \times AA' = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \times a\sqrt{3} = \frac{3}{4} a^3 \] Bước 3: Tính góc giữa \( AA' \) và \( (ABC) \) - Gọi \( O \) là tâm của \( \triangle ABC \). - Ta có \( AO \perp BC \) (vì \( \triangle ABC \) đều) và \( AO \perp (BCC'B') \) (vì \( BCC'B' \) là hình chữ nhật). - Do đó, \( \angle AOA' \) là góc giữa \( AA' \) và \( (ABC) \). - Trong \( \triangle AOA' \), ta có: \[ AO = \frac{a\sqrt{3}}{3} \] \[ AA' = a\sqrt{3} \] - Ta tính \( \cos(\angle AOA') \): \[ \cos(\angle AOA') = \frac{AO}{AA'} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{3} \] - Vậy góc giữa \( AA' \) và \( (ABC) \) là: \[ \angle AOA' = \cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) \] Đáp số: - Thể tích của lăng trụ ABC.A'B'C' là \( \frac{3}{4} a^3 \). - Góc giữa \( AA' \) và \( (ABC) \) là \( \cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) \). Bài 6. Phương trình chuyển động của vật được cho là: \[ x = 8 \sin \left( \sqrt{2} \pi t + \frac{\pi}{3} \right) \] Bước 1: Tính vận tốc tức thời của vật Vận tốc tức thời \( v(t) \) là đạo hàm của phương trình chuyển động \( x(t) \): \[ v(t) = \frac{dx}{dt} = 8 \cos \left( \sqrt{2} \pi t + \frac{\pi}{3} \right) \cdot \sqrt{2} \pi \] \[ v(t) = 8 \sqrt{2} \pi \cos \left( \sqrt{2} \pi t + \frac{\pi}{3} \right) \] Bước 2: Tính gia tốc tức thời của vật Gia tốc tức thời \( a(t) \) là đạo hàm của vận tốc tức thời \( v(t) \): \[ a(t) = \frac{dv}{dt} = -8 \sqrt{2} \pi \sin \left( \sqrt{2} \pi t + \frac{\pi}{3} \right) \cdot \sqrt{2} \pi \] \[ a(t) = -16 \pi^2 \sin \left( \sqrt{2} \pi t + \frac{\pi}{3} \right) \] Bước 3: Tính vận tốc và gia tốc tại thời điểm \( t = 5 \) giây Thay \( t = 5 \) vào các biểu thức của \( v(t) \) và \( a(t) \): \[ v(5) = 8 \sqrt{2} \pi \cos \left( \sqrt{2} \pi \cdot 5 + \frac{\pi}{3} \right) \] \[ v(5) = 8 \sqrt{2} \pi \cos \left( 5 \sqrt{2} \pi + \frac{\pi}{3} \right) \] \[ a(5) = -16 \pi^2 \sin \left( \sqrt{2} \pi \cdot 5 + \frac{\pi}{3} \right) \] \[ a(5) = -16 \pi^2 \sin \left( 5 \sqrt{2} \pi + \frac{\pi}{3} \right) \] Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất của giá trị tuyệt đối của vận tốc và gia tốc - Giá trị lớn nhất của \( |v(t)| \) là: \[ |v(t)|_{\text{max}} = 8 \sqrt{2} \pi \] - Giá trị lớn nhất của \( |a(t)| \) là: \[ |a(t)|_{\text{max}} = 16 \pi^2 \] Kết luận - Vận tốc và gia tốc của vật tại thời điểm \( t = 5 \) giây là: \[ v(5) = 8 \sqrt{2} \pi \cos \left( 5 \sqrt{2} \pi + \frac{\pi}{3} \right) \] \[ a(5) = -16 \pi^2 \sin \left( 5 \sqrt{2} \pi + \frac{\pi}{3} \right) \] - Giá trị lớn nhất của giá trị tuyệt đối của vận tốc là: \[ |v(t)|_{\text{max}} = 8 \sqrt{2} \pi \] - Giá trị lớn nhất của giá trị tuyệt đối của gia tốc là: \[ |a(t)|_{\text{max}} = 16 \pi^2 \] Bài 7. Phương trình dao động của vật là: $x=10\cos(\frac25\pi t-\frac\pi6).$ Tần số góc của dao động là: $\omega=\frac25\pi rad/s.$ Khi li độ lớn nhất thì: $\frac25\pi t-\frac\pi6=0+\frac{k\pi}{2}$ $\Rightarrow t=\frac{5}{4}+\frac{5k}{2}, k=0,1,2,...$ Thời điểm đầu tiên vật có li độ lớn nhất là: $t_1=\frac{5}{4}s.$ Khi vận tốc bằng 0 thì li độ lớn nhất. Vậy thời điểm đầu tiên vật có vận tốc bằng 0 là: $t_2=t_1=\frac{5}{4}s.$ Khi gia tốc bằng 0 thì li độ bằng 0. Ta có: $\frac25\pi t-\frac\pi6=\frac{\pi}{2}+k\pi$ $\Rightarrow t=\frac{5}{2}+\frac{5k}{2}, k=0,1,2,...$ Thời điểm đầu tiên vật có gia tốc bằng 0 là: $t_3=\frac{5}{2}s.$ Bài 8. Để tìm mốt, số trung bình và tứ phân vị của mẫu số liệu trên, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định mốt Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong dãy số. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ xác định nhóm có tần số lớn nhất. - Nhóm [0;1): 3 học sinh - Nhóm [1;2): 8 học sinh - Nhóm [2;3): 15 học sinh - Nhóm [3;4): 9 học sinh - Nhóm [4;5]: 5 học sinh Nhóm có tần số lớn nhất là nhóm [2;3) với 15 học sinh. Do đó, mốt của mẫu số liệu là nhóm [2;3). Bước 2: Tính số trung bình Số trung bình của mẫu số liệu được tính bằng cách lấy tổng thời gian đọc sách của tất cả học sinh chia cho số lượng học sinh. Ta tính tổng thời gian đọc sách của tất cả học sinh: \[ (0 + 1) \times 3 + (1 + 2) \times 8 + (2 + 3) \times 15 + (3 + 4) \times 9 + (4 + 5) \times 5 \] \[ = 0.5 \times 3 + 1.5 \times 8 + 2.5 \times 15 + 3.5 \times 9 + 4.5 \times 5 \] \[ = 1.5 + 12 + 37.5 + 31.5 + 22.5 \] \[ = 104.5 \text{ giờ} \] Số trung bình là: \[ \frac{104.5}{40} = 2.6125 \text{ giờ} \] Bước 3: Tính tứ phân vị Tứ phân vị là các giá trị chia dãy số thành bốn phần bằng nhau. Ta sẽ tính Q1 (tứ phân vị thứ nhất), Q2 (tứ phân vị thứ hai - cũng là trung vị), và Q3 (tứ phân vị thứ ba). Tính Q1 (tứ phân vị thứ nhất) Q1 là giá trị ở vị trí $\frac{n}{4}$ = $\frac{40}{4}$ = 10. Vì vậy, Q1 nằm trong nhóm [1;2). Tính Q2 (tứ phân vị thứ hai - trung vị) Q2 là giá trị ở vị trí $\frac{n}{2}$ = $\frac{40}{2}$ = 20. Vì vậy, Q2 nằm trong nhóm [2;3). Tính Q3 (tứ phân vị thứ ba) Q3 là giá trị ở vị trí $\frac{3n}{4}$ = $\frac{3 \times 40}{4}$ = 30. Vì vậy, Q3 nằm trong nhóm [3;4). Kết luận - Mốt: Nhóm [2;3) - Số trung bình: 2.6125 giờ - Tứ phân vị: - Q1: Nhóm [1;2) - Q2: Nhóm [2;3) - Q3: Nhóm [3;4) Đáp số: - Mốt: Nhóm [2;3) - Số trung bình: 2.6125 giờ - Tứ phân vị: Q1: Nhóm [1;2), Q2: Nhóm [2;3), Q3: Nhóm [3;4) Bài 9. a) $y=\sqrt{x}+\frac{1}{x}$ Đạo hàm của $\sqrt{x}$ là $\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Đạo hàm của $\frac{1}{x}$ là $-\frac{1}{x^2}$. Vậy đạo hàm của $y$ là: \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2} \] b) $y=x^2 + 2x - \tan\left(\frac{x}{3}\right)$ Đạo hàm của $x^2$ là $2x$. Đạo hàm của $2x$ là $2$. Đạo hàm của $\tan\left(\frac{x}{3}\right)$ là $\frac{1}{3} \cdot \sec^2\left(\frac{x}{3}\right)$. Vậy đạo hàm của $y$ là: \[ y' = 2x + 2 - \frac{1}{3} \cdot \sec^2\left(\frac{x}{3}\right) \] c) $y=(x^2 - x - 1)e^2$ Đạo hàm của $(x^2 - x - 1)$ là $2x - 1$. Vì $e^2$ là hằng số, nên đạo hàm của $(x^2 - x - 1)e^2$ là: \[ y' = e^2 \cdot (2x - 1) \] d) $y=\log_1(2x-5)$ Lưu ý rằng $\log_1$ không tồn tại vì cơ số logarit phải lớn hơn 0 và khác 1. Do đó, bài toán này không có ý nghĩa. e) $y=\frac{x^2 - x - 1}{x^2 + 3x + 1}$ Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \frac{(x^2 + 3x + 1) \cdot (2x - 1) - (x^2 - x - 1) \cdot (2x + 3)}{(x^2 + 3x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{(2x^3 + 6x^2 + 2x - x^2 - 3x - 1) - (2x^3 + 3x^2 - 2x^2 - 3x - 2x - 3)}{(x^2 + 3x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x^3 + 5x^2 - x - 1 - 2x^3 - x^2 + 5x + 3}{(x^2 + 3x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{4x^2 + 4x + 2}{(x^2 + 3x + 1)^2} \] f) $y=(z+1)(2x+1)(3z+1)$ Áp dụng công thức đạo hàm của tích ba hàm số: \[ y' = (z+1)'(2x+1)(3z+1) + (z+1)(2x+1)'(3z+1) + (z+1)(2x+1)(3z+1)' \] \[ y' = 0 \cdot (2x+1)(3z+1) + (z+1) \cdot 2 \cdot (3z+1) + (z+1)(2x+1) \cdot 3 \] \[ y' = 2(z+1)(3z+1) + 3(z+1)(2x+1) \] Đáp số: a) $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}$ b) $y' = 2x + 2 - \frac{1}{3} \cdot \sec^2\left(\frac{x}{3}\right)$ c) $y' = e^2 \cdot (2x - 1)$ d) Không có ý nghĩa e) $y' = \frac{4x^2 + 4x + 2}{(x^2 + 3x + 1)^2}$ f) $y' = 2(z+1)(3z+1) + 3(z+1)(2x+1)$ Bài 11. Để tính xác suất của biến cố \( A \cup B \), ta cần xác định số trường hợp thuận lợi cho biến cố \( A \cup B \) và tổng số trường hợp có thể xảy ra. Bước 1: Xác định tổng số trường hợp có thể xảy ra Bảng ô vuông kích thước 3x3 có 9 ô vuông đơn vị. Chọn ngẫu nhiên 2 ô vuông đơn vị từ 9 ô vuông đơn vị này, ta có: \[ \binom{9}{2} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36 \] Bước 2: Xác định số trường hợp thuận lợi cho biến cố \( A \) Biến cố \( A \): "Hai hình vuông được chọn có đúng một đỉnh chung". Trong bảng ô vuông 3x3, mỗi ô vuông có thể chia sẻ đỉnh chung với tối đa 4 ô vuông khác. Ta sẽ đếm số cặp ô vuông có đúng một đỉnh chung: - Mỗi ô vuông ở góc có 2 đỉnh chung với các ô vuông kề cận. - Mỗi ô vuông ở cạnh nhưng không phải góc có 3 đỉnh chung với các ô vuông kề cận. - Ô vuông ở giữa có 4 đỉnh chung với các ô vuông kề cận. Số cặp ô vuông có đúng một đỉnh chung là: \[ 4 \text{ (góc)} \times 2 + 4 \text{ (cạnh)} \times 3 + 1 \text{ (giữa)} \times 4 = 8 + 12 + 4 = 24 \] Bước 3: Xác định số trường hợp thuận lợi cho biến cố \( B \) Biến cố \( B \): "Hai hình vuông được chọn có đúng một cạnh chung". Trong bảng ô vuông 3x3, mỗi ô vuông có thể chia sẻ cạnh chung với tối đa 2 ô vuông khác. Ta sẽ đếm số cặp ô vuông có đúng một cạnh chung: - Mỗi ô vuông ở cạnh nhưng không phải góc có 2 cạnh chung với các ô vuông kề cận. - Ô vuông ở giữa có 4 cạnh chung với các ô vuông kề cận. Số cặp ô vuông có đúng một cạnh chung là: \[ 4 \text{ (cạnh)} \times 2 + 1 \text{ (giữa)} \times 4 = 8 + 4 = 12 \] Bước 4: Xác định số trường hợp thuận lợi cho biến cố \( A \cap B \) Biến cố \( A \cap B \): "Hai hình vuông được chọn có cả một đỉnh chung và một cạnh chung". Trong bảng ô vuông 3x3, không có cặp ô vuông nào thỏa mãn cả hai điều kiện trên cùng lúc. Do đó: \[ |A \cap B| = 0 \] Bước 5: Xác định số trường hợp thuận lợi cho biến cố \( A \cup B \) Theo công thức cộng xác suất: \[ |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 24 + 12 - 0 = 36 \] Bước 6: Tính xác suất của biến cố \( A \cup B \) Xác suất của biến cố \( A \cup B \) là: \[ P(A \cup B) = \frac{|A \cup B|}{\text{Tổng số trường hợp}} = \frac{36}{36} = 1 \] Đáp số: \[ P(A \cup B) = 1 \]