Giúp mình đề toán. này. với ạ mình cảm ơn nhiều

Câu 1: a) Tính đạo hàm của hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 5x - 2$ Áp dụng công thức đạo hàm của tổng, ta có: \[ y' = (x^3)' - (3x^2)' + (5x)' - (2)' \] Tính đạo hàm từng hạng tử: \[ (x^3)' = 3x^2 \] \[ (3x^2)' = 3 \cdot 2x = 6x \] \[ (5x)' = 5 \] \[ (2)' = 0 \] Vậy đạo hàm của hàm số là: \[ y' = 3x^2 - 6x + 5 \] b) Tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{x-1}{x^2+1}$ Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số, ta có: \[ y' = \frac{(x-1)'(x^2+1) - (x-1)(x^2+1)'}{(x^2+1)^2} \] Tính đạo hàm từng hạng tử: \[ (x-1)' = 1 \] \[ (x^2+1)' = 2x \] Thay vào công thức: \[ y' = \frac{1 \cdot (x^2+1) - (x-1) \cdot 2x}{(x^2+1)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 + 1 - 2x^2 + 2x}{(x^2+1)^2} \] \[ y' = \frac{-x^2 + 2x + 1}{(x^2+1)^2} \] c) Tính đạo hàm của hàm số $y = e^{x^2} + 2x + \log_3(x^2 - x)$ Áp dụng công thức đạo hàm của tổng, ta có: \[ y' = (e^{x^2})' + (2x)' + (\log_3(x^2 - x))' \] Tính đạo hàm từng hạng tử: \[ (e^{x^2})' = e^{x^2} \cdot (x^2)' = e^{x^2} \cdot 2x = 2xe^{x^2} \] \[ (2x)' = 2 \] \[ (\log_3(x^2 - x))' = \frac{1}{(x^2 - x) \ln 3} \cdot (x^2 - x)' = \frac{1}{(x^2 - x) \ln 3} \cdot (2x - 1) = \frac{2x - 1}{(x^2 - x) \ln 3} \] Vậy đạo hàm của hàm số là: \[ y' = 2xe^{x^2} + 2 + \frac{2x - 1}{(x^2 - x) \ln 3} \] d) Tính đạo hàm của hàm số $y = \cos^2(3x) - \sin^2 + 3x^2$ Áp dụng công thức đạo hàm của tổng, ta có: \[ y' = (\cos^2(3x))' - (\sin^2)' + (3x^2)' \] Tính đạo hàm từng hạng tử: \[ (\cos^2(3x))' = 2 \cos(3x) \cdot (-\sin(3x)) \cdot (3x)' = 2 \cos(3x) \cdot (-\sin(3x)) \cdot 3 = -6 \cos(3x) \sin(3x) \] \[ (\sin^2)' = 0 \] (vì $\sin^2$ là hằng số) \[ (3x^2)' = 3 \cdot 2x = 6x \] Vậy đạo hàm của hàm số là: \[ y' = -6 \cos(3x) \sin(3x) + 6x \] Đáp số: a) $y' = 3x^2 - 6x + 5$ b) $y' = \frac{-x^2 + 2x + 1}{(x^2+1)^2}$ c) $y' = 2xe^{x^2} + 2 + \frac{2x - 1}{(x^2 - x) \ln 3}$ d) $y' = -6 \cos(3x) \sin(3x) + 6x$ Câu 2: Để tính vận tốc và gia tốc của chuyển động tại thời điểm \( t = 3 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm vận tốc tức thời \( v(t) \): Vận tốc tức thời \( v(t) \) là đạo hàm của phương trình chuyển động \( S(t) \). \[ S(t) = -2t^2 + 75t + 3 \] Ta tính đạo hàm của \( S(t) \): \[ v(t) = \frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(-2t^2 + 75t + 3) \] Áp dụng công thức đạo hàm: \[ v(t) = -4t + 75 \] 2. Tính vận tốc tại thời điểm \( t = 3 \): Thay \( t = 3 \) vào phương trình vận tốc tức thời: \[ v(3) = -4(3) + 75 = -12 + 75 = 63 \text{ m/s} \] 3. Tìm gia tốc tức thời \( a(t) \): Gia tốc tức thời \( a(t) \) là đạo hàm của vận tốc tức thời \( v(t) \). \[ v(t) = -4t + 75 \] Ta tính đạo hàm của \( v(t) \): \[ a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(-4t + 75) \] Áp dụng công thức đạo hàm: \[ a(t) = -4 \] 4. Tính gia tốc tại thời điểm \( t = 3 \): Vì gia tốc tức thời \( a(t) \) là hằng số, nên gia tốc tại mọi thời điểm đều bằng nhau: \[ a(3) = -4 \text{ m/s}^2 \] Kết luận: - Vận tốc của chuyển động tại thời điểm \( t = 3 \) là \( 63 \text{ m/s} \). - Gia tốc của chuyển động tại thời điểm \( t = 3 \) là \( -4 \text{ m/s}^2 \).