giải đúng sai

Câu 14. Để giải quyết các mệnh đề này, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết. Mệnh đề (a) "Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A(1;0;2)$ và vuông góc với đường thẳng $d$ có phương trình tổng quát là $x + y + 2z - 1 = 0$." Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (1, 1, 2)$. Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với $d$, do đó vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n} = \vec{u} = (1, 1, 2)$. Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A(1;0;2)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1, 1, 2)$ là: \[ 1(x - 1) + 1(y - 0) + 2(z - 2) = 0 \] \[ x - 1 + y + 2z - 4 = 0 \] \[ x + y + 2z - 5 = 0 \] Như vậy, phương trình tổng quát của mặt phẳng $(P)$ là $x + y + 2z - 5 = 0$, không phải là $x + y + 2z - 1 = 0$. Do đó, mệnh đề (a) sai. Mệnh đề (b) "Hình chiếu vuông góc của $A$ trên đường thẳng $d$ là điểm $H(1;0;-1)$." Để kiểm tra hình chiếu vuông góc của $A$ trên $d$, ta cần tìm điểm $H$ trên $d$ sao cho đoạn thẳng $AH$ vuông góc với $d$. Đường thẳng $d$ có phương trình tham số: \[ x = 1 + t, \quad y = t, \quad z = -1 + 2t \] Gọi $H(1 + t, t, -1 + 2t)$. Vectơ $\overrightarrow{AH}$ là: \[ \overrightarrow{AH} = (1 + t - 1, t - 0, -1 + 2t - 2) = (t, t, -3 + 2t) \] Để $AH$ vuông góc với $d$, ta có: \[ \overrightarrow{AH} \cdot \vec{u} = 0 \] \[ (t, t, -3 + 2t) \cdot (1, 1, 2) = 0 \] \[ t + t + (-3 + 2t) \cdot 2 = 0 \] \[ t + t - 6 + 4t = 0 \] \[ 6t - 6 = 0 \] \[ t = 1 \] Thay $t = 1$ vào phương trình tham số của $d$, ta được: \[ H(1 + 1, 1, -1 + 2 \cdot 1) = (2, 1, 1) \] Như vậy, hình chiếu vuông góc của $A$ trên $d$ là điểm $H(2, 1, 1)$, không phải là $H(1, 0, -1)$. Do đó, mệnh đề (b) sai. Mệnh đề (c) "Phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua $A(1;0;2)$, $B(1;1;0)$ và song song với đường thẳng $d$ có phương trình tổng quát: $4x - 2y - z - 2 = 0$." Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (1, 1, 2)$. Mặt phẳng $(Q)$ đi qua $A$ và $B$, và song song với $d$, do đó vectơ pháp tuyến của $(Q)$ vuông góc với cả $\overrightarrow{AB}$ và $\vec{u}$. Vectơ $\overrightarrow{AB}$ là: \[ \overrightarrow{AB} = (1 - 1, 1 - 0, 0 - 2) = (0, 1, -2) \] Vectơ pháp tuyến của $(Q)$ là: \[ \vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \vec{u} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 2 - (-2) \cdot 1, - (0 \cdot 2 - (-2) \cdot 1), 0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) = (4, 2, -1) \] Phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua điểm $A(1;0;2)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (4, 2, -1)$ là: \[ 4(x - 1) + 2(y - 0) - 1(z - 2) = 0 \] \[ 4x - 4 + 2y - z + 2 = 0 \] \[ 4x + 2y - z - 2 = 0 \] Như vậy, phương trình tổng quát của mặt phẳng $(Q)$ là $4x + 2y - z - 2 = 0$. Do đó, mệnh đề (c) đúng. Mệnh đề (d) "Phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $A$, vuông góc và cắt $d$ có dạng: $\frac{x-1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z-2}{-1}$." Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(1;0;2)$ và vuông góc với $d$, do đó vectơ chỉ phương của $\Delta$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ vuông góc với $d$, tức là $\vec{n} = (1, 1, 2)$. Phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1;0;2)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{n} = (1, 1, 2)$ là: \[ \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 0}{1} = \frac{z - 2}{2} \] Như vậy, phương trình đường thẳng $\Delta$ là $\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{2}$, không phải là $\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{-1}$. Do đó, mệnh đề (d) sai. Kết luận Các mệnh đề đúng là: - Mệnh đề (c) Đáp án: (c)