d ksowndjixqbhxix

Câu 1: Để tìm tập xác định \( D \) của hàm số \( y = \frac{3x - 1}{2x - 2} \), ta cần đảm bảo rằng mẫu số của phân thức không bằng không vì nếu mẫu số bằng không thì hàm số sẽ không xác định. Bước 1: Xác định điều kiện để mẫu số không bằng không: \[ 2x - 2 \neq 0 \] Bước 2: Giải phương trình \( 2x - 2 = 0 \): \[ 2x - 2 = 0 \] \[ 2x = 2 \] \[ x = 1 \] Bước 3: Kết luận điều kiện xác định: Hàm số \( y = \frac{3x - 1}{2x - 2} \) xác định khi \( x \neq 1 \). Do đó, tập xác định \( D \) của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{1\} \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~D = \mathbb{R} \setminus \{1\} \] Câu 2. Để tìm tập xác định của hàm số \( y = \frac{3x + 4}{(x - 2)\sqrt{x + 4}} \), chúng ta cần đảm bảo rằng mẫu số không bằng không và căn thức trong mẫu số phải có giá trị dương. 1. Mẫu số không được phép bằng không: \[ (x - 2) \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq 2 \] 2. Căn thức phải có giá trị dương: \[ \sqrt{x + 4} > 0 \quad \Rightarrow \quad x + 4 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -4 \] Từ hai điều kiện trên, ta có: \[ x \neq 2 \quad \text{và} \quad x > -4 \] Do đó, tập xác định của hàm số là: \[ D = (-4, +\infty) \setminus \{2\} \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~D = (-4, +\infty) \setminus \{2\} \] Câu 3. Để tìm trục đối xứng của parabol \( y = -2x^2 + 5x + 2022 \), ta sử dụng công thức trục đối xứng của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) là \( x = -\frac{b}{2a} \). Trong phương trình \( y = -2x^2 + 5x + 2022 \): - \( a = -2 \) - \( b = 5 \) Áp dụng công thức: \[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2(-2)} = \frac{5}{4} \] Vậy trục đối xứng của parabol là \( x = \frac{5}{4} \). Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~x = \frac{5}{4}. \] Câu 4. Trục đối xứng của đồ thị hàm số bậc hai $y = ax^2 + bx + c$ là đường thẳng đi qua đỉnh của parabol và vuông góc với trục hoành. Trong hình vẽ, ta thấy đỉnh của parabol nằm ở điểm $(1, -1)$. Do đó, trục đối xứng của đồ thị này sẽ là đường thẳng đi qua điểm $(1, -1)$ và vuông góc với trục hoành, tức là đường thẳng $x = 1$. Vậy đáp án đúng là: B. $x = 1.$ Câu 5. Để tìm tập xác định của hàm số $y=\frac{2x}{x+1}$, ta cần đảm bảo rằng mẫu số không bằng không vì nếu mẫu số bằng không thì hàm số sẽ không xác định. Mẫu số của hàm số là $x + 1$. Ta đặt điều kiện: \[ x + 1 \neq 0 \] Giải phương trình này: \[ x \neq -1 \] Vậy tập xác định của hàm số là tất cả các số thực ngoại trừ $-1$. Ta viết tập xác định dưới dạng: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{-1\} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~D = \mathbb{R} \setminus \{-1\} \] Câu 6. Để tìm tập hợp các giá trị của \( x \) sao cho đa thức \( f(x) = x^2 - 6x + 8 \) không dương, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm nghiệm của phương trình \( f(x) = 0 \): \[ x^2 - 6x + 8 = 0 \] Ta giải phương trình này bằng cách sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \( a = 1 \), \( b = -6 \), và \( c = 8 \): \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2} \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{6 + 2}{2} = 4 \quad \text{và} \quad x_2 = \frac{6 - 2}{2} = 2 \] 2. Xác định dấu của \( f(x) \) trên các khoảng: Ta chia trục số thành ba khoảng dựa trên các nghiệm đã tìm được: \( (-\infty, 2) \), \( (2, 4) \), và \( (4, +\infty) \). - Trên khoảng \( (-\infty, 2) \): Chọn \( x = 0 \): \[ f(0) = 0^2 - 6 \cdot 0 + 8 = 8 > 0 \] Vậy \( f(x) \) dương trên khoảng \( (-\infty, 2) \). - Trên khoảng \( (2, 4) \): Chọn \( x = 3 \): \[ f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 8 = 9 - 18 + 8 = -1 < 0 \] Vậy \( f(x) \) âm trên khoảng \( (2, 4) \). - Trên khoảng \( (4, +\infty) \): Chọn \( x = 5 \): \[ f(5) = 5^2 - 6 \cdot 5 + 8 = 25 - 30 + 8 = 3 > 0 \] Vậy \( f(x) \) dương trên khoảng \( (4, +\infty) \). 3. Xét tại các điểm \( x = 2 \) và \( x = 4 \): \[ f(2) = 2^2 - 6 \cdot 2 + 8 = 4 - 12 + 8 = 0 \] \[ f(4) = 4^2 - 6 \cdot 4 + 8 = 16 - 24 + 8 = 0 \] Vậy \( f(x) = 0 \) tại \( x = 2 \) và \( x = 4 \). 4. Kết luận: Đa thức \( f(x) = x^2 - 6x + 8 \) không dương khi \( x \) thuộc đoạn \( [2, 4] \). Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~[2;4]. \] Câu 7. Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm \( M(1;5) \) và có vectơ pháp tuyến \( \overrightarrow{n} = (2;1) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình tổng quát của đường thẳng: Phương trình tổng quát của đường thẳng có vectơ pháp tuyến \( \overrightarrow{n} = (a;b) \) đi qua điểm \( M(x_0; y_0) \) là: \[ a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0 \] 2. Thay các giá trị đã biết vào phương trình: Ta có \( a = 2 \), \( b = 1 \), \( x_0 = 1 \), và \( y_0 = 5 \). Thay vào phương trình tổng quát: \[ 2(x - 1) + 1(y - 5) = 0 \] 3. Rút gọn phương trình: \[ 2x - 2 + y - 5 = 0 \] \[ 2x + y - 7 = 0 \] Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm \( M(1;5) \) và có vectơ pháp tuyến \( \overrightarrow{n} = (2;1) \) là: \[ 2x + y - 7 = 0 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~2x + y - 7 = 0 \] Câu 8. Để tìm phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \( M(2;3) \) và có vectơ pháp tuyến \( \overrightarrow{n} = (-1;2) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng: - Vectơ pháp tuyến \( \overrightarrow{n} = (-1;2) \) vuông góc với vectơ chỉ phương \( \overrightarrow{d} \) của đường thẳng. - Do đó, ta có thể chọn vectơ chỉ phương \( \overrightarrow{d} = (2;1) \) (vì \( (-1) \times 2 + 2 \times 1 = 0 \)). 2. Lập phương trình tham số: - Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \( M(x_0, y_0) \) và có vectơ chỉ phương \( \overrightarrow{d} = (a, b) \) là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{array} \right. \] - Thay \( M(2,3) \) và \( \overrightarrow{d} = (2,1) \) vào phương trình trên, ta được: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 2t \\ y = 3 + t \end{array} \right. \] 3. Kiểm tra đáp án: - Đáp án A: \( \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t \\ y = 3 - 2t \end{array} \right. \) - Đáp án B: \( \left\{ \begin{array}{l} x = 2 - t \\ y = 3 + 2t \end{array} \right. \) - Đáp án C: \( \left\{ \begin{array}{l} x = -1 + 2t \\ y = 2 + 3t \end{array} \right. \) - Đáp án D: \( \left\{ \begin{array}{l} x = -1 - 2t \\ y = 2 - 3t \end{array} \right. \) Ta thấy rằng phương trình tham số đúng là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 2t \\ y = 3 + t \end{array} \right. \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{B. \left\{ \begin{array}{l} x = 2 - t \\ y = 3 + 2t \end{array} \right. } \] Câu 9. Để xác định mối quan hệ giữa hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\), ta cần kiểm tra các điều kiện về sự song song, vuông góc và cắt nhau. 1. Kiểm tra điều kiện song song: - Hai đường thẳng song song nếu hệ số góc của chúng bằng nhau. - Đường thẳng \(d_1: 2x + 3y + 15 = 0\) có thể viết lại dưới dạng \(y = -\frac{2}{3}x - 5\). Vậy hệ số góc của \(d_1\) là \(-\frac{2}{3}\). - Đường thẳng \(d_2: x - 2y - 3 = 0\) có thể viết lại dưới dạng \(y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}\). Vậy hệ số góc của \(d_2\) là \(\frac{1}{2}\). Hai hệ số góc \(-\frac{2}{3}\) và \(\frac{1}{2}\) không bằng nhau, nên hai đường thẳng không song song. 2. Kiểm tra điều kiện vuông góc: - Hai đường thẳng vuông góc nếu tích của các hệ số góc của chúng bằng \(-1\). - Tích của các hệ số góc của \(d_1\) và \(d_2\) là: \[ -\frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3} \] - Kết quả này không bằng \(-1\), nên hai đường thẳng không vuông góc. 3. Kiểm tra điều kiện cắt nhau: - Nếu hai đường thẳng không song song và không vuông góc, thì chúng sẽ cắt nhau tại một điểm. Từ các kiểm tra trên, ta thấy rằng hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) cắt nhau và không vuông góc với nhau. Vậy khẳng định đúng là: \[ A.~d_1 \text{ và } d_2 \text{ cắt nhau và không vuông góc với nhau.} \] Câu 10. Để tính khoảng cách từ điểm \( A(-1; 2) \) đến đường thẳng \( d: 4x - 3y + 1 = 0 \), ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Công thức khoảng cách từ điểm \( M(x_1, y_1) \) đến đường thẳng \( ax + by + c = 0 \) là: \[ d(M, d) = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] Áp dụng công thức này cho điểm \( A(-1, 2) \) và đường thẳng \( d: 4x - 3y + 1 = 0 \): - \( x_1 = -1 \) - \( y_1 = 2 \) - \( a = 4 \) - \( b = -3 \) - \( c = 1 \) Thay các giá trị này vào công thức: \[ d(A, d) = \frac{|4(-1) + (-3)(2) + 1|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} \] \[ d(A, d) = \frac{|-4 - 6 + 1|}{\sqrt{16 + 9}} \] \[ d(A, d) = \frac{|-9|}{\sqrt{25}} \] \[ d(A, d) = \frac{9}{5} \] Vậy khoảng cách từ điểm \( A(-1; 2) \) đến đường thẳng \( d: 4x - 3y + 1 = 0 \) là \( \frac{9}{5} \). Đáp án đúng là: \( C. \frac{9}{5} \). Câu 11. Để xác định tâm và bán kính của đường tròn $(C)$ từ phương trình $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 9$, ta thực hiện các bước sau: 1. Phương trình chuẩn của đường tròn: Phương trình chuẩn của đường tròn có tâm $I(a, b)$ và bán kính $R$ là: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \] 2. So sánh với phương trình đã cho: Phương trình của đường tròn $(C)$ là: \[ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 9 \] Ta thấy rằng đây là dạng chuẩn của phương trình đường tròn, trong đó: - Tâm của đường tròn là $I(2, -3)$ - Bán kính của đường tròn là $R = \sqrt{9} = 3$ 3. Kết luận: Từ các bước trên, ta xác định được tâm và bán kính của đường tròn $(C)$ là: - Tâm: $I(2, -3)$ - Bán kính: $R = 3$ Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~I(2, -3),~R = 3 \] Câu 12. Để tìm phương trình của đường tròn tâm \( I(-1; 2) \) và bán kính bằng 3, ta sử dụng công thức tổng quát của phương trình đường tròn: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \] Trong đó: - \( (a, b) \) là tọa độ tâm của đường tròn. - \( r \) là bán kính của đường tròn. Áp dụng vào bài toán: - Tâm \( I(-1; 2) \) nên \( a = -1 \) và \( b = 2 \). - Bán kính \( r = 3 \). Thay các giá trị này vào công thức, ta có: \[ (x - (-1))^2 + (y - 2)^2 = 3^2 \] Rút gọn biểu thức: \[ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 9 \] Vậy phương trình của đường tròn tâm \( I(-1; 2) \) và bán kính bằng 3 là: \[ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 9 \]