bsjsidbdbbdbdbd

Câu 4. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp liệt kê và nhân các trường hợp có thể xảy ra. Bước 1: Xác định các trường hợp mà hai chữ số 4 và 5 luôn đứng cạnh nhau: - 45xx - 54xx - x45x - x54x - xx45 - xx54 Trong đó, 'x' đại diện cho các chữ số còn lại từ 0 đến 9, ngoại trừ 4 và 5. Bước 2: Xác định số lượng các chữ số có thể điền vào mỗi vị trí 'x': - Vị trí hàng nghìn (trừ 0 vì số tự nhiên có bốn chữ số không thể bắt đầu bằng 0): 8 chữ số (1, 2, 3, 6, 7, 8, 9) - Vị trí hàng trăm, chục và đơn vị: 8 chữ số (0, 1, 2, 3, 6, 7, 8, 9) Bước 3: Tính số trường hợp cho mỗi cấu trúc: - 45xx: 8 × 8 = 64 - 54xx: 8 × 8 = 64 - x45x: 7 × 8 = 56 (vì hàng nghìn không thể là 0) - x54x: 7 × 8 = 56 (vì hàng nghìn không thể là 0) - xx45: 8 × 8 = 64 - xx54: 8 × 8 = 64 Bước 4: Cộng tất cả các trường hợp lại: 64 + 64 + 56 + 56 + 64 + 64 = 368 Vậy có 368 số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau sao cho hai chữ số 4 và 5 luôn đứng cạnh nhau. Câu 5. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ xem xét từng trường hợp có mặt chữ số 0 và 1 trong số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau. Trường hợp 1: Chữ số 0 ở hàng trăm hoặc hàng chục a) Chữ số 0 ở hàng trăm: - Hàng nghìn có thể là bất kỳ chữ số nào từ 1 đến 9 trừ 1 (vì 1 đã được chọn ở hàng đơn vị hoặc hàng chục). Do đó, có 8 lựa chọn. - Hàng chục có thể là bất kỳ chữ số nào từ 0 đến 9 trừ 0, 1 và chữ số đã chọn ở hàng nghìn. Do đó, có 8 lựa chọn. - Hàng đơn vị có thể là bất kỳ chữ số nào từ 0 đến 9 trừ 0, 1 và hai chữ số đã chọn ở hàng nghìn và hàng chục. Do đó, có 7 lựa chọn. Số trường hợp: $$ b) Chữ số 0 ở hàng chục: - Hàng nghìn có thể là bất kỳ chữ số nào từ 1 đến 9 trừ 1 (vì 1 đã được chọn ở hàng đơn vị hoặc hàng trăm). Do đó, có 8 lựa chọn. - Hàng trăm có thể là bất kỳ chữ số nào từ 0 đến 9 trừ 0, 1 và chữ số đã chọn ở hàng nghìn. Do đó, có 8 lựa chọn. - Hàng đơn vị có thể là bất kỳ chữ số nào từ 0 đến 9 trừ 0, 1 và hai chữ số đã chọn ở hàng nghìn và hàng trăm. Do đó, có 7 lựa chọn. Số trường hợp: $$ Trường hợp 2: Chữ số 0 ở hàng đơn vị a) Chữ số 0 ở hàng đơn vị: - Hàng nghìn có thể là bất kỳ chữ số nào từ 1 đến 9 trừ 1 (vì 1 đã được chọn ở hàng trăm hoặc hàng chục). Do đó, có 8 lựa chọn. - Hàng trăm có thể là bất kỳ chữ số nào từ 0 đến 9 trừ 0, 1 và chữ số đã chọn ở hàng nghìn. Do đó, có 8 lựa chọn. - Hàng chục có thể là bất kỳ chữ số nào từ 0 đến 9 trừ 0, 1 và hai chữ số đã chọn ở hàng nghìn và hàng trăm. Do đó, có 7 lựa chọn. Số trường hợp: $$ Tổng số trường hợp Tổng số các số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau sao cho trong các chữ số đó có mặt chữ số 0 và 1 là: $$ Đáp số: 1344 Câu 6. Để xếp nhóm học sinh gồm 4 học sinh nam và 4 học sinh nữ thành một hàng ngang sao cho học sinh nam và học sinh nữ xen kẽ nhau, chúng ta có thể làm như sau: 1. Xác định các vị trí có thể cho học sinh nam và học sinh nữ: - Có hai cách xếp xen kẽ: Nam - Nữ - Nam - Nữ - Nam - Nữ - Nam - Nữ hoặc Nữ - Nam - Nữ - Nam - Nữ - Nam - Nữ - Nam. 2. Tính số cách xếp học sinh nam vào các vị trí: - Mỗi cách xếp xen kẽ sẽ có 4 vị trí cho học sinh nam. Số cách xếp 4 học sinh nam vào 4 vị trí là $$. 3. Tính số cách xếp học sinh nữ vào các vị trí còn lại: - Sau khi đã xếp học sinh nam vào các vị trí, mỗi cách xếp xen kẽ sẽ còn lại 4 vị trí cho học sinh nữ. Số cách xếp 4 học sinh nữ vào 4 vị trí là $$. 4. Kết hợp các cách xếp: - Mỗi cách xếp xen kẽ có $$ cách xếp. - Vì có 2 cách xếp xen kẽ, tổng số cách xếp là $$. Vậy, có 1152 cách xếp sao cho học sinh nam và học sinh nữ xen kẽ nhau. Câu 7. Để tính xác suất để rút được 2 quân bài khác màu từ bộ bài tây gồm 52 quân bài, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tổng số cách rút 2 quân bài từ bộ bài tây: - Bộ bài tây có 52 quân bài. - Số cách rút 2 quân bài từ 52 quân bài là: $$ 2. Tìm số cách rút 2 quân bài khác màu: - Bộ bài tây có 26 quân bài đen (♠️ và ♣️) và 26 quân bài đỏ (♥️ và ♦️). - Số cách rút 1 quân bài đen và 1 quân bài đỏ là: $$ 3. Tính xác suất để rút được 2 quân bài khác màu: - Xác suất để rút được 2 quân bài khác màu là: $$ - Rút gọn phân số: $$ Vậy xác suất để rút được 2 quân bài khác màu là $$. Câu 1. Để khai triển nhị thức $$, ta sử dụng công thức nhị thức Newton. Công thức này cho phép ta khai triển $$ dưới dạng tổng các hạng tử, trong đó mỗi hạng tử có dạng $$. Trong trường hợp của chúng ta, $$, $$, và $$. Ta sẽ áp dụng công thức nhị thức Newton như sau: $$ Bây giờ, ta sẽ tính từng hạng tử một: 1. Khi $$: $$ 2. Khi $$: $$ 3. Khi $$: $$ 4. Khi $$: $$ 5. Khi $$: $$ Gộp tất cả các hạng tử lại, ta có: $$ Vậy, khai triển của $$ là: $$ Câu 2. Để khai triển nhị thức $$, ta thực hiện như sau: Bước 1: Xác định các thành phần của nhị thức: - Phần tử thứ nhất là $$. - Phần tử thứ hai là $$. Bước 2: Áp dụng công thức khai triển nhị thức $$: $$ Trong trường hợp này, $$, $$ và $$. Do đó, ta có: $$ Bước 3: Tính toán từng hạng tử: - Hạng tử đầu tiên: $$ - Hạng tử thứ hai: $$ Bước 4: Cộng các hạng tử lại: $$ Vậy, khai triển của nhị thức $$ là: $$ Câu 3. a) Xác suất để trong 4 quả lấy ra chỉ có bóng xanh: - Số cách chọn 4 quả xanh từ 8 quả xanh: $$ - Tổng số cách chọn 4 quả từ 15 quả: $$ - Xác suất: $$ b) Xác suất để trong 4 quả lấy ra có 2 quả xanh và 2 quả đỏ: - Số cách chọn 2 quả xanh từ 8 quả xanh: $$ - Số cách chọn 2 quả đỏ từ 7 quả đỏ: $$ - Tổng số cách chọn 4 quả từ 15 quả: $$ - Xác suất: $$ c) Số kết quả có lợi của biến cố trong 4 quả lấy ra có ít nhất 2 quả đỏ: - Số cách chọn 4 quả có ít nhất 2 quả đỏ = Tổng số cách chọn 4 quả - Số cách chọn 4 quả không có quả đỏ - Số cách chọn 3 quả đỏ và 1 quả xanh - Tổng số cách chọn 4 quả: $$ - Số cách chọn 4 quả không có quả đỏ (tức là 4 quả xanh): $$ - Số cách chọn 3 quả đỏ và 1 quả xanh: $$ - Số cách chọn 4 quả có ít nhất 2 quả đỏ: $$ Đáp số: a) $$ b) $$ c) 1015 Câu 4. Trước tiên, ta xác định tổng số cách chọn 5 thẻ từ 17 thẻ: $$ a) Tính xác suất để trong 5 thẻ rút ra chỉ có thẻ ghi số lẻ Các số lẻ từ 1 đến 17 là: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17. Có 9 số lẻ. Số cách chọn 5 thẻ từ 9 thẻ ghi số lẻ: $$ Xác suất để trong 5 thẻ rút ra chỉ có thẻ ghi số lẻ: $$ b) Tính xác suất để trong 5 thẻ rút ra có 2 thẻ ghi số lẻ và ba thẻ ghi số chẵn Các số chẵn từ 1 đến 17 là: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16. Có 8 số chẵn. Số cách chọn 2 thẻ từ 9 thẻ ghi số lẻ: $$ Số cách chọn 3 thẻ từ 8 thẻ ghi số chẵn: $$ Số cách chọn 2 thẻ ghi số lẻ và 3 thẻ ghi số chẵn: $$ Xác suất để trong 5 thẻ rút ra có 2 thẻ ghi số lẻ và ba thẻ ghi số chẵn: $$ c) Số kết quả có lợi của biến cố trong 5 thẻ rút ra có ít nhất 3 thẻ ghi số chẵn Ta tính số cách chọn 5 thẻ sao cho có ít nhất 3 thẻ ghi số chẵn. Ta sẽ tính các trường hợp có 3, 4 và 5 thẻ ghi số chẵn. Trường hợp 1: 3 thẻ ghi số chẵn và 2 thẻ ghi số lẻ Số cách chọn 3 thẻ từ 8 thẻ ghi số chẵn: $$ Số cách chọn 2 thẻ từ 9 thẻ ghi số lẻ: $$ Số cách chọn 3 thẻ ghi số chẵn và 2 thẻ ghi số lẻ: $$ Trường hợp 2: 4 thẻ ghi số chẵn và 1 thẻ ghi số lẻ Số cách chọn 4 thẻ từ 8 thẻ ghi số chẵn: $$ Số cách chọn 1 thẻ từ 9 thẻ ghi số lẻ: $$ Số cách chọn 4 thẻ ghi số chẵn và 1 thẻ ghi số lẻ: $$ Trường hợp 3: 5 thẻ ghi số chẵn Số cách chọn 5 thẻ từ 8 thẻ ghi số chẵn: $$ Tổng số cách chọn 5 thẻ sao cho có ít nhất 3 thẻ ghi số chẵn: $$ Đáp số: $$ Câu 5. Diện tích viên gạch hình vuông là $$. Diện tích mỗi tam giác là $$. Tổng diện tích bốn tam giác là $$. Theo đề bài ta có: $$. $$. $$. $$. $$. $$. Vậy các giá trị nguyên của x thỏa mãn là: 11, 12, 13, ..., 29. Câu 6. Để tính xác suất để ban thư ký được chọn có đủ cả ba lĩnh vực và có cả nam lẫn nữ, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính tổng số cách chọn 4 nhà khoa học từ 21 nhà khoa học. Số cách chọn 4 nhà khoa học từ 21 nhà khoa học là: $$ Bước 2: Xác định số cách chọn 4 nhà khoa học sao cho mỗi lĩnh vực đều có ít nhất một đại diện. Ta sẽ xét các trường hợp có thể xảy ra: - Một nhà khoa học từ Toán học, một nhà khoa học từ Vật lý, một nhà khoa học từ Hóa học và một nhà khoa học từ bất kỳ lĩnh vực nào. - Ta sẽ tính số cách chọn từng trường hợp này. Trường hợp 1: Chọn 1 nhà khoa học từ Toán học, 1 nhà khoa học từ Vật lý, 1 nhà khoa học từ Hóa học và 1 nhà khoa học từ bất kỳ lĩnh vực nào. Số cách chọn 1 nhà khoa học từ Toán học là: $$ Số cách chọn 1 nhà khoa học từ Vật lý là: $$ Số cách chọn 1 nhà khoa học từ Hóa học là: $$ Số cách chọn 1 nhà khoa học từ bất kỳ lĩnh vực nào còn lại là: $$ Tổng số cách chọn trong trường hợp này là: $$ Bước 3: Xác định số cách chọn 4 nhà khoa học sao cho có cả nam lẫn nữ. Ta sẽ xét các trường hợp có thể xảy ra: - Chọn 1 nam và 3 nữ. - Chọn 2 nam và 2 nữ. - Chọn 3 nam và 1 nữ. Trường hợp 1: Chọn 1 nam và 3 nữ. Số cách chọn 1 nam từ 11 nam là: $$ Số cách chọn 3 nữ từ 10 nữ là: $$ Tổng số cách chọn trong trường hợp này là: $$ Trường hợp 2: Chọn 2 nam và 2 nữ. Số cách chọn 2 nam từ 11 nam là: $$ Số cách chọn 2 nữ từ 10 nữ là: $$ Tổng số cách chọn trong trường hợp này là: $$ Trường hợp 3: Chọn 3 nam và 1 nữ. Số cách chọn 3 nam từ 11 nam là: $$ Số cách chọn 1 nữ từ 10 nữ là: $$ Tổng số cách chọn trong trường hợp này là: $$ Tổng số cách chọn 4 nhà khoa học sao cho có cả nam lẫn nữ là: $$ Bước 4: Kết hợp các điều kiện để tính xác suất. Số cách chọn 4 nhà khoa học sao cho mỗi lĩnh vực đều có ít nhất một đại diện và có cả nam lẫn nữ là: $$ Xác suất để ban thư ký được chọn có đủ cả ba lĩnh vực và có cả nam lẫn nữ là: $$ Đáp số: $$ Câu 7. Để tính chiều cao $$ của ô thoáng tại điểm $$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ của các điểm: - Điểm $$ là tâm của nửa hình elip, nằm ở chính giữa đoạn $$. Do đó, tọa độ của $$ là $$. - Điểm $$ có tọa độ $$ vì nó nằm trên trục $$ và cách điểm $$ 60 cm. - Điểm $$ và $$ nằm trên trục $$ và cách điểm $$ mỗi bên 120 cm (vì $$ cm). Do đó, tọa độ của $$ là $$ và tọa độ của $$ là $$. 2. Xác định tọa độ của điểm $$: - Điểm $$ có hình chiếu vuông góc lên trục $$ cách điểm $$ 75 cm. Do đó, tọa độ của điểm $$ là $$. 3. Phương trình của nửa hình elip: - Phương trình của nửa hình elip có dạng: $$ Trong đó, $$ cm và $$ cm. Vì ta đang xét nửa hình elip phía trên trục $$, nên $$. 4. Thay tọa độ của điểm $$ vào phương trình elip: - Thay $$ và $$ vào phương trình elip: $$ 5. Giải phương trình để tìm $$: - Tính $$: $$ - Thay vào phương trình: $$ - Chuyển $$ sang vế phải: $$ - Tính $$: $$ - Nhân cả hai vế với 3600: $$ - Lấy căn bậc hai của cả hai vế: $$ 6. Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị: - Chiều cao $$ của ô thoáng tại điểm $$ là khoảng 47 cm. Vậy, chiều cao $$ của ô thoáng tại điểm $$ là 47 cm.