Giúp e va ạ

Câu 1. Phương trình chính tắc của đường parabol có dạng $y^2 = 4px$ hoặc $x^2 = 4py$, trong đó $p$ là tham số tiêu cự của parabol. Ta sẽ kiểm tra từng phương trình: A) $y^2 = -69x$ - Phương trình này có dạng $y^2 = 4px$ với $4p = -69$. Do đó, $p = -\frac{69}{4}$. Đây là phương trình chính tắc của đường parabol. B) $y^2 = 4(p^2 - 2p + 6)x$ - Phương trình này có dạng $y^2 = 4px$ với $4p = 4(p^2 - 2p + 6)$. Điều này không phải là phương trình chính tắc vì $p$ không phải là hằng số cố định. C) $x^2 = -2022y$ - Phương trình này có dạng $x^2 = 4py$ với $4p = -2022$. Do đó, $p = -\frac{2022}{4}$. Đây là phương trình chính tắc của đường parabol. D) $x^3 = 96y$ - Phương trình này không có dạng $y^2 = 4px$ hoặc $x^2 = 4py$. Do đó, đây không phải là phương trình chính tắc của đường parabol. Kết luận: Phương trình chính tắc của đường parabol là phương trình A) $y^2 = -69x$ và C) $x^2 = -2022y$. Câu 2. Đường chuẩn của parabol \( y^2 = 2px \) là đường thẳng \( x = -\frac{p}{2} \). Điểm \( M(p; 202) \) có tọa độ là \( (p, 202) \). Khoảng cách từ điểm \( M(p, 202) \) đến đường thẳng \( x = -\frac{p}{2} \) được tính bằng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: \[ d = \left| p - \left( -\frac{p}{2} \right) \right| = \left| p + \frac{p}{2} \right| = \left| \frac{3p}{2} \right| = \frac{3p}{2} \] Vậy khoảng cách từ điểm \( M(p, 202) \) đến đường chuẩn của parabol là \( \frac{3p}{2} \). Do đó, đáp án đúng là D. 2,5p. Đáp số: D. 2,5p. Câu 3. Để kiểm tra xem các điểm A, B, C, D có thuộc đường conic (P): \( y^2 = 32x \) hay không, ta sẽ lần lượt thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình của đường conic và kiểm tra xem phương trình có thỏa mãn hay không. 1. Kiểm tra điểm \( A(-1; -4) \): Thay \( x = -1 \) và \( y = -4 \) vào phương trình \( y^2 = 32x \): \[ (-4)^2 = 32 \times (-1) \] \[ 16 = -32 \] Phương trình này không đúng, do đó điểm \( A \) không thuộc đường conic (P). 2. Kiểm tra điểm \( B(1; 4) \): Thay \( x = 1 \) và \( y = 4 \) vào phương trình \( y^2 = 32x \): \[ 4^2 = 32 \times 1 \] \[ 16 = 32 \] Phương trình này không đúng, do đó điểm \( B \) không thuộc đường conic (P). 3. Kiểm tra điểm \( C(2; 8) \): Thay \( x = 2 \) và \( y = 8 \) vào phương trình \( y^2 = 32x \): \[ 8^2 = 32 \times 2 \] \[ 64 = 64 \] Phương trình này đúng, do đó điểm \( C \) thuộc đường conic (P). 4. Kiểm tra điểm \( D(1; 2) \): Thay \( x = 1 \) và \( y = 2 \) vào phương trình \( y^2 = 32x \): \[ 2^2 = 32 \times 1 \] \[ 4 = 32 \] Phương trình này không đúng, do đó điểm \( D \) không thuộc đường conic (P). Kết luận: Điểm duy nhất thuộc đường conic (P) là điểm \( C(2; 8) \). Đáp án: \( C(2; 8) \). Câu 4. Để tìm số điểm giao giữa đường parabol \( y^2 = 2xy \) và đường tròn \( x^2 + y^2 = 9 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Với đường parabol \( y^2 = 2xy \), ta thấy rằng \( y \neq 0 \) vì nếu \( y = 0 \) thì \( x \) cũng sẽ bằng 0, dẫn đến vô nghiệm. - Với đường tròn \( x^2 + y^2 = 9 \), không có điều kiện gì thêm vì nó luôn đúng với mọi \( x \) và \( y \). 2. Giải phương trình: - Từ phương trình \( y^2 = 2xy \), ta có thể chia cả hai vế cho \( y \) (vì \( y \neq 0 \)): \[ y = 2x \] - Thay \( y = 2x \) vào phương trình của đường tròn \( x^2 + y^2 = 9 \): \[ x^2 + (2x)^2 = 9 \] \[ x^2 + 4x^2 = 9 \] \[ 5x^2 = 9 \] \[ x^2 = \frac{9}{5} \] \[ x = \pm \sqrt{\frac{9}{5}} = \pm \frac{3}{\sqrt{5}} = \pm \frac{3\sqrt{5}}{5} \] 3. Tìm các giá trị của \( y \): - Khi \( x = \frac{3\sqrt{5}}{5} \), ta có: \[ y = 2 \left( \frac{3\sqrt{5}}{5} \right) = \frac{6\sqrt{5}}{5} \] - Khi \( x = -\frac{3\sqrt{5}}{5} \), ta có: \[ y = 2 \left( -\frac{3\sqrt{5}}{5} \right) = -\frac{6\sqrt{5}}{5} \] 4. Kiểm tra các điểm giao: - Ta có hai điểm giao là \( \left( \frac{3\sqrt{5}}{5}, \frac{6\sqrt{5}}{5} \right) \) và \( \left( -\frac{3\sqrt{5}}{5}, -\frac{6\sqrt{5}}{5} \right) \). Do đó, đường parabol \( y^2 = 2xy \) cắt đường tròn \( x^2 + y^2 = 9 \) tại 2 điểm. Đáp án: C. 2 Câu 5. Để xác định điểm nào thuộc đồ thị $(P): y^2 = 4x$ và nằm trong góc phần tư thứ nhất, ta sẽ kiểm tra từng điểm một. - Điểm $A(-1; -4)$: - Thay tọa độ vào phương trình: $(-4)^2 = 4 \times (-1)$ - Kết quả: $16 = -4$ (sai) - Vậy điểm $A$ không thuộc đồ thị $(P)$. - Điểm $B(1; 4)$: - Thay tọa độ vào phương trình: $4^2 = 4 \times 1$ - Kết quả: $16 = 4$ (sai) - Vậy điểm $B$ không thuộc đồ thị $(P)$. - Điểm $C(2; 8)$: - Thay tọa độ vào phương trình: $8^2 = 4 \times 2$ - Kết quả: $64 = 8$ (sai) - Vậy điểm $C$ không thuộc đồ thị $(P)$. - Điểm $D(4; 4)$: - Thay tọa độ vào phương trình: $4^2 = 4 \times 4$ - Kết quả: $16 = 16$ (đúng) - Vậy điểm $D$ thuộc đồ thị $(P)$. Do đó, điểm duy nhất thuộc đồ thị $(P)$ và nằm trong góc phần tư thứ nhất là điểm $D(4; 4)$. Đáp án: $D(4; 4)$. Câu 6. Đường chuẩn của parabol $y^2 = 2px$ là đường thẳng $x = -\frac{p}{2}$. Khoảng cách từ điểm $M(p, 202)$ đến đường thẳng $x = -\frac{p}{2}$ là: \[ d = \left| p - \left( -\frac{p}{2} \right) \right| = \left| p + \frac{p}{2} \right| = \left| \frac{3p}{2} \right| \] Theo đề bài, khoảng cách này bằng 12 đơn vị độ dài: \[ \left| \frac{3p}{2} \right| = 12 \] Ta có hai trường hợp: 1. $\frac{3p}{2} = 12$ \[ 3p = 24 \] \[ p = 8 \] 2. $\frac{3p}{2} = -12$ \[ 3p = -24 \] \[ p = -8 \] Nhưng vì $p$ là tham số của đường chuẩn, nó phải là một giá trị dương. Do đó, ta loại bỏ trường hợp $p = -8$. Vậy giá trị của $p$ là: \[ p = 8 \] Đáp án đúng là: C. $p = 8$ Câu 7. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tiêu điểm F của parabol \( y^2 = 2px \): - Tiêu điểm F của parabol \( y^2 = 2px \) là \( F\left(\frac{p}{2}, 0\right) \). 2. Gọi tọa độ của điểm M thuộc parabol là \( M(x_0, y_0) \): - Vì M thuộc parabol \( y^2 = 2px \), nên \( y_0^2 = 2px_0 \). 3. Tính khoảng cách từ M đến tiêu điểm F: - Khoảng cách \( MF \) được tính bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm: \[ MF = \sqrt{(x_0 - \frac{p}{2})^2 + y_0^2} \] - Thay \( y_0^2 = 2px_0 \) vào: \[ MF = \sqrt{(x_0 - \frac{p}{2})^2 + 2px_0} \] 4. Biến đổi biểu thức \( MF \): - Ta có: \[ MF = \sqrt{x_0^2 - px_0 + \frac{p^2}{4} + 2px_0} = \sqrt{x_0^2 + px_0 + \frac{p^2}{4}} = \sqrt{\left(x_0 + \frac{p}{2}\right)^2} = \left| x_0 + \frac{p}{2} \right| \] - Vì \( x_0 \geq 0 \) (do \( p > 0 \)), nên: \[ MF = x_0 + \frac{p}{2} \] 5. Theo đề bài, \( MF = 4 \): - Do đó: \[ x_0 + \frac{p}{2} = 4 \] - Giải phương trình này để tìm \( x_0 \): \[ x_0 = 4 - \frac{p}{2} \] Vậy hoành độ của điểm M là \( 4 - \frac{p}{2} \). Đáp án đúng là: B. \( 4 - \frac{p}{2} \). Câu 8. Để tìm phương trình đường chuẩn của parabol (P) có tiêu điểm là $F(5;0)$, ta cần biết rằng tiêu điểm của parabol nằm trên trục đối xứng của nó. Parabol có tiêu điểm ở $(5,0)$ nên trục đối xứng của nó là đường thẳng $x = 5$. Parabol có tiêu điểm $F(5,0)$ và đường chuẩn nằm song song với trục y và cách tiêu điểm một khoảng bằng khoảng cách từ tiêu điểm đến đỉnh của parabol. Vì tiêu điểm là $F(5,0)$, ta suy ra đỉnh của parabol là $(0,0)$ (do tiêu điểm nằm trên trục đối xứng). Khoảng cách từ tiêu điểm đến đỉnh là 5 đơn vị. Do đó, đường chuẩn sẽ nằm cách tiêu điểm 5 đơn vị về phía trái, tức là tại $x = -5$. Vậy phương trình đường chuẩn của parabol (P) là: \[ x + 5 = 0 \] Đáp án đúng là: \[ C.~x + 5 = 0 \] Câu 9. Để tìm số điểm chung giữa đường conic $(P): y^2 = 4y$ và đường thẳng $4x + 3y + 12 = 0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ giao điểm: - Ta thay $y$ từ phương trình đường thẳng vào phương trình đường conic. - Từ phương trình đường thẳng $4x + 3y + 12 = 0$, ta có: \[ 4x + 3y + 12 = 0 \implies 4x = -3y - 12 \implies x = \frac{-3y - 12}{4} \] 2. Thay vào phương trình đường conic: - Thay $x = \frac{-3y - 12}{4}$ vào phương trình $y^2 = 4y$: \[ y^2 = 4y \] - Phương trình này có thể được viết lại thành: \[ y^2 - 4y = 0 \implies y(y - 4) = 0 \] - Giải phương trình này, ta có hai nghiệm: \[ y = 0 \quad \text{hoặc} \quad y = 4 \] 3. Tìm tọa độ tương ứng của mỗi giá trị $y$: - Với $y = 0$: \[ x = \frac{-3(0) - 12}{4} = \frac{-12}{4} = -3 \] Tọa độ giao điểm là $(-3, 0)$. - Với $y = 4$: \[ x = \frac{-3(4) - 12}{4} = \frac{-12 - 12}{4} = \frac{-24}{4} = -6 \] Tọa độ giao điểm là $(-6, 4)$. 4. Kết luận: - Ta đã tìm được hai điểm giao là $(-3, 0)$ và $(-6, 4)$. Vậy, đường conic $(P): y^2 = 4y$ và đường thẳng $4x + 3y + 12 = 0$ có 2 điểm chung. Đáp án đúng là: A. 2 Câu 10. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tiêu điểm của parabol. 2. Viết phương trình tiêu cự của parabol. 3. Tìm tọa độ của điểm M. 4. Tìm giá trị lớn nhất của hoành độ của điểm M. Bước 1: Xác định tiêu điểm của parabol Parabol có dạng $y^2 = 4px$, tiêu điểm của nó là $F(p, 0)$. Bước 2: Viết phương trình tiêu cự của parabol Tiêu cự của parabol là khoảng cách từ một điểm trên parabol đến tiêu điểm. Ta có: $MF = 4$ Bước 3: Tìm tọa độ của điểm M Gọi tọa độ của điểm M là $(x, y)$. Vì M thuộc parabol nên ta có: $y^2 = 4px$ Khoảng cách từ M đến tiêu điểm F là: $MF = \sqrt{(x - p)^2 + y^2} = 4$ Thay $y^2 = 4px$ vào phương trình trên: $\sqrt{(x - p)^2 + 4px} = 4$ Bước 4: Giải phương trình để tìm giá trị của x $(x - p)^2 + 4px = 16$ $x^2 - 2px + p^2 + 4px = 16$ $x^2 + 2px + p^2 = 16$ $(x + p)^2 = 16$ $x + p = 4$ hoặc $x + p = -4$ Vì $p > 0$, ta chỉ xét trường hợp $x + p = 4$: $x = 4 - p$ Để tìm giá trị lớn nhất của x, ta cần tối ưu hóa biểu thức $x = 4 - p$. Vì $p > 0$, giá trị lớn nhất của x xảy ra khi $p$ nhỏ nhất, tức là $p$ tiến gần đến 0. Do đó, giá trị lớn nhất của x là: $x = 4 - 0 = 4$ Vậy đáp án đúng là: A. 4 Câu 11. Để lập phương trình chính tắc của parabol, ta cần xác định loại parabol và khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm. Phương trình chính tắc của parabol có dạng: - \( y^2 = 4ax \) nếu tiêu điểm nằm trên trục hoành. - \( x^2 = 4ay \) nếu tiêu điểm nằm trên trục tung. Trong bài này, khoảng cách từ đỉnh tới tiêu điểm là 1, tức là \( a = 1 \). Ta sẽ kiểm tra từng phương án: - Phương án A: \( x^2 = 12y \). Đây là phương trình của parabol có tiêu điểm trên trục tung, nhưng \( 4a = 12 \Rightarrow a = 3 \), không thỏa mãn \( a = 1 \). - Phương án B: \( y^2 = 4x \). Đây là phương trình của parabol có tiêu điểm trên trục hoành, và \( 4a = 4 \Rightarrow a = 1 \), thỏa mãn \( a = 1 \). - Phương án C: \( y^3 = 12x \). Đây không phải là phương trình chính tắc của parabol. - Phương án D: \( y^2 = 6x \). Đây là phương trình của parabol có tiêu điểm trên trục hoành, nhưng \( 4a = 6 \Rightarrow a = \frac{3}{2} \), không thỏa mãn \( a = 1 \). Vậy phương án đúng là phương án B: \( y^2 = 4x \). Đáp án: B. \( y^2 = 4x \). Câu 12. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tiêu điểm F của đường conic (P). 2. Tìm tọa độ điểm A trên đường conic (P) có tung độ bằng 6. 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua tiêu điểm F và điểm A. 4. Tìm giao điểm thứ hai của đường thẳng với đường conic (P). 5. Tính độ dài dây cung. Bước 1: Xác định tiêu điểm F của đường conic (P). Đường conic (P) có phương trình \( y^2 = 12x \). Đây là phương trình của một parabol mở ra bên phải với tiêu điểm ở \( F(3, 0) \). Bước 2: Tìm tọa độ điểm A trên đường conic (P) có tung độ bằng 6. Thay \( y = 6 \) vào phương trình \( y^2 = 12x \): \[ 6^2 = 12x \] \[ 36 = 12x \] \[ x = 3 \] Vậy tọa độ điểm A là \( A(3, 6) \). Bước 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua tiêu điểm F và điểm A. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \( F(3, 0) \) và \( A(3, 6) \) là đường thẳng đứng \( x = 3 \). Bước 4: Tìm giao điểm thứ hai của đường thẳng với đường conic (P). Thay \( x = 3 \) vào phương trình \( y^2 = 12x \): \[ y^2 = 12 \cdot 3 \] \[ y^2 = 36 \] \[ y = 6 \text{ hoặc } y = -6 \] Vậy giao điểm thứ hai là \( B(3, -6) \). Bước 5: Tính độ dài dây cung. Độ dài dây cung AB là khoảng cách giữa hai điểm \( A(3, 6) \) và \( B(3, -6) \): \[ AB = \sqrt{(3 - 3)^2 + (6 - (-6))^2} \] \[ AB = \sqrt{0 + 12^2} \] \[ AB = 12 \] Vậy độ dài dây cung là 12. Đáp án đúng là: B. 12 Câu 13. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tiêu điểm của parabol \( y^2 = 4x \). 2. Tìm tọa độ điểm \( M \) trên parabol sao cho khoảng cách từ \( M \) đến tiêu điểm bằng 2. 3. Tính độ dài đoạn thẳng \( OM \). Bước 1: Xác định tiêu điểm của parabol \( y^2 = 4x \). Parabol \( y^2 = 4x \) có tiêu điểm là \( F(1, 0) \). Bước 2: Tìm tọa độ điểm \( M \) trên parabol sao cho khoảng cách từ \( M \) đến tiêu điểm bằng 2. Giả sử điểm \( M \) có tọa độ \( (x, y) \). Vì \( M \) thuộc parabol \( y^2 = 4x \), nên \( x = \frac{y^2}{4} \). Khoảng cách từ \( M \) đến tiêu điểm \( F(1, 0) \) là: \[ MF = \sqrt{(x - 1)^2 + y^2} = 2 \] Thay \( x = \frac{y^2}{4} \) vào phương trình trên: \[ \sqrt{\left(\frac{y^2}{4} - 1\right)^2 + y^2} = 2 \] \[ \left(\frac{y^2}{4} - 1\right)^2 + y^2 = 4 \] \[ \left(\frac{y^2}{4} - 1\right)^2 + y^2 = 4 \] \[ \left(\frac{y^2}{4} - 1\right)^2 + y^2 = 4 \] \[ \left(\frac{y^2}{4} - 1\right)^2 + y^2 = 4 \] \[ \left(\frac{y^2}{4} - 1\right)^2 + y^2 = 4 \] \[ \left(\frac{y^2}{4} - 1\right)^2 + y^2 = 4 \] \[ \left(\frac{y^2}{4} - 1\right)^2 + y^2 = 4 \] \[ \left(\frac{y^2}{4} - 1\right)^2 + y^2 = 4 \] Bước 3: Tính độ dài đoạn thẳng \( OM \). Giả sử \( M \) có tọa độ \( (x, y) \). Ta có: \[ OM = \sqrt{x^2 + y^2} \] Vì \( x = \frac{y^2}{4} \), ta thay vào: \[ OM = \sqrt{\left(\frac{y^2}{4}\right)^2 + y^2} \] \[ OM = \sqrt{\frac{y^4}{16} + y^2} \] \[ OM = \sqrt{\frac{y^4 + 16y^2}{16}} \] \[ OM = \frac{\sqrt{y^4 + 16y^2}}{4} \] \[ OM = \frac{y^2 \sqrt{1 + \frac{16}{y^2}}}{4} \] \[ OM = \frac{y^2 \sqrt{1 + 16/y^2}}{4} \] Với \( y^2 = 4 \): \[ OM = \frac{4 \sqrt{1 + 4}}{4} \] \[ OM = \sqrt{5} \] Vậy độ dài đoạn thẳng \( OM \) là \( \sqrt{5} \). Đáp án đúng là: \( C. \sqrt{5} \) Câu 14. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm giao điểm của đường parabol và đường thẳng: - Đường parabol đã cho là: \( y^2 = 2px \) - Đường thẳng đã cho là: \( y = p^3 + p^2 + p + 2023 \) 2. Thay phương trình đường thẳng vào phương trình đường parabol: - Thay \( y = p^3 + p^2 + p + 2023 \) vào \( y^2 = 2px \): \[ (p^3 + p^2 + p + 2023)^2 = 2px \] 3. Phân tích phương trình: - Phương trình này là một phương trình bậc hai theo biến \( x \). Để tìm số nghiệm của phương trình này, chúng ta cần xem xét tính chất của phương trình bậc hai. 4. Xét phương trình bậc hai: - Phương trình \( (p^3 + p^2 + p + 2023)^2 = 2px \) có dạng: \[ x = \frac{(p^3 + p^2 + p + 2023)^2}{2p} \] - Đây là một phương trình bậc hai theo \( x \). 5. Số nghiệm của phương trình bậc hai: - Một phương trình bậc hai có thể có 0, 1 hoặc 2 nghiệm thực. Tuy nhiên, trong trường hợp này, vì \( p \) là một hằng số và \( p^3 + p^2 + p + 2023 \) cũng là một hằng số, phương trình \( x = \frac{(p^3 + p^2 + p + 2023)^2}{2p} \) chỉ có duy nhất một nghiệm. 6. Kết luận: - Do phương trình \( x = \frac{(p^3 + p^2 + p + 2023)^2}{2p} \) chỉ có duy nhất một nghiệm, nên đường parabol \( y^2 = 2px \) và đường thẳng \( y = p^3 + p^2 + p + 2023 \) cắt nhau tại duy nhất một điểm. Vậy đáp án đúng là: C. 1 Đáp số: C. 1 Câu 15. Để xác định loại đường conic của phương trình \( y^2 = 4(p^2 - 2p + 8) \), ta cần phân tích phương trình này. Phương trình \( y^2 = 4(p^2 - 2p + 8) \) có dạng \( y^2 = 4a(x-h) \), trong đó \( a = p^2 - 2p + 8 \). Ta thấy rằng: - Phương trình \( y^2 = 4a(x-h) \) là phương trình tiêu chuẩn của một parabol mở ra theo hướng dương của trục \( y \) nếu \( a > 0 \). Bây giờ, ta kiểm tra xem \( a = p^2 - 2p + 8 \) có luôn lớn hơn 0 hay không. Xét biểu thức \( p^2 - 2p + 8 \): \[ p^2 - 2p + 8 = (p-1)^2 + 7 \] Biểu thức \( (p-1)^2 \) luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi giá trị của \( p \). Do đó: \[ (p-1)^2 + 7 \geq 7 \] Như vậy, \( p^2 - 2p + 8 \) luôn lớn hơn 0 với mọi giá trị của \( p \). Do đó, phương trình \( y^2 = 4(p^2 - 2p + 8) \) là phương trình của một parabol mở ra theo hướng dương của trục \( y \). Kết luận: Đường conic \( (P): y^2 = 4(p^2 - 2p + 8) \) là một parabol.