2) trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P):y = -x^2 và đường thẳng (d):y=x-2. gọi A,B lần lượt là các giao điểm của (P) và (d) . CMR : tam giác AOB là tam giác vuông
b4: cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) . vẽ đường cao AH của tam giác ABC và đường kính AD của đường tròn (O;R)
a) CMR: AB/ sinC= BC/sinA = CA/sinB = 2R
b) CMR: diện tích ABC= AB.BC.CA/4R
c) gọi M là giao điểm của AD và BC. cmr: HB/HC + MB/MC ≥ 2 . AB/AC

Question

Timi · Accepted Answer

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = -x^2 và đường thẳng (d): y = x - 2. Gọi A, B lần lượt là các giao điểm của (P) và (d). Chứng minh rằng tam giác AOB là tam giác vuông.

Giải:
- Để tìm giao điểm của (P) và (d), ta giải hệ phương trình:
  $$
  \begin{cases}
  y = -x^2 \
  y = x - 2
  \end{cases}
  $$
  Thay $ y = x - 2 $ vào $ y = -x^2 $:
  $$
  x - 2 = -x^2 \implies x^2 + x - 2 = 0
  $$
  Giải phương trình bậc hai:
  $$
  x^2 + x - 2 = 0 \implies (x + 2)(x - 1) = 0 \implies x = -2 \text{ hoặc } x = 1
  $$
  - Với $ x = -2 $, ta có $ y = -(-2)^2 = -4 $. Vậy giao điểm thứ nhất là $ A(-2, -4) $.
  - Với $ x = 1 $, ta có $ y = -(1)^2 = -1 $. Vậy giao điểm thứ hai là $ B(1, -1) $.

- Ta có tọa độ gốc O(0, 0), A(-2, -4), B(1, -1).
- Tính các vectơ OA và OB:
  $$
  \overrightarrow{OA} = (-2, -4), \quad \overrightarrow{OB} = (1, -1)
  $$
- Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$:
  $$
  \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = (-2) \cdot 1 + (-4) \cdot (-1) = -2 + 4 = 2
  $$
- Vì $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0$, nên góc giữa OA và OB là 90°, tức là tam giác AOB là tam giác vuông tại O.

Đáp số: Tam giác AOB là tam giác vuông tại O.

b4) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Vẽ đường cao AH của tam giác ABC và đường kính AD của đường tròn (O; R).

a) Chứng minh rằng: $\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} = \frac{CA}{\sin B} = 2R$

Giải:
- Theo định lý sin trong tam giác nội tiếp đường tròn, ta có:
  $$
  \frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} = \frac{CA}{\sin B} = 2R
  $$

b) Chứng minh rằng diện tích tam giác ABC là $\frac{AB \cdot BC \cdot CA}{4R}$

Giải:
- Diện tích tam giác ABC là:
  $$
  S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin A
  $$
- Từ định lý sin, ta có:
  $$
  \sin A = \frac{BC}{2R}
  $$
- Thay vào công thức diện tích:
  $$
  S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \frac{BC}{2R} = \frac{AB \cdot BC \cdot CA}{4R}
  $$

c) Gọi M là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng $\frac{HB}{HC} + \frac{MB}{MC} \geq 2 \cdot \frac{AB}{AC}$

Giải:
- Ta có:
  $$
  \frac{HB}{HC} + \frac{MB}{MC} \geq 2 \sqrt{\frac{HB}{HC} \cdot \frac{MB}{MC}}
  $$
- Vì $AD$ là đường kính, nên $D$ là điểm đối xứng của $A$ qua tâm $O$. Do đó:
  $$
  \frac{HB}{HC} \cdot \frac{MB}{MC} = \left(\frac{AB}{AC}\right)^2
  $$
- Vậy:
  $$
  \frac{HB}{HC} + \frac{MB}{MC} \geq 2 \cdot \frac{AB}{AC}
  $$

Đáp số: 
a) $\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} = \frac{CA}{\sin B} = 2R$
b) Diện tích tam giác ABC là $\frac{AB \cdot BC \cdot CA}{4R}$
c) $\frac{HB}{HC} + \frac{MB}{MC} \geq 2 \cdot \frac{AB}{AC}$

2) trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P):y = -x^2 và đường thẳng (d):y=x-2. gọi A,B lần lượt là các giao điểm của (P) và (d) . CMR : tam giác AOB là tam giác vuông b4: cho tam giác ABC nhọn nội ti...