giải giúp mình với

Câu 10: Để tìm đạo hàm của hàm số \( y = x^{\frac{-2}{3}} \), ta áp dụng công thức đạo hàm của hàm số lũy thừa \( y = x^n \): \[ y' = n \cdot x^{n-1} \] Trong trường hợp này, \( n = \frac{-2}{3} \). Áp dụng công thức trên, ta có: \[ y' = \left( \frac{-2}{3} \right) \cdot x^{\left( \frac{-2}{3} - 1 \right)} \] Tính toán phần mũ của \( x \): \[ \frac{-2}{3} - 1 = \frac{-2}{3} - \frac{3}{3} = \frac{-5}{3} \] Vậy đạo hàm của hàm số là: \[ y' = \frac{-2}{3} \cdot x^{\frac{-5}{3}} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~y' = \frac{-2}{3} x^{\frac{-5}{3}} \] Câu 11: Để tìm đạo hàm của hàm số \( y = [u(x)]^\alpha \), chúng ta sẽ áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm số lũy thừa. Quy tắc đạo hàm của hàm số lũy thừa \( y = [u(x)]^\alpha \) là: \[ y' = \alpha \cdot [u(x)]^{\alpha - 1} \cdot u'(x) \] Trong đó: - \( \alpha \) là hằng số. - \( u(x) \) là hàm số phụ thuộc vào biến \( x \). - \( u'(x) \) là đạo hàm của hàm số \( u(x) \). Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~\alpha.[u(x)]^{\alpha-1}.u^\prime(x). \] Lập luận từng bước: 1. Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số lũy thừa \( y = [u(x)]^\alpha \): \[ y' = \alpha \cdot [u(x)]^{\alpha - 1} \cdot u'(x) \] 2. So sánh với các lựa chọn đã cho: - A. \( \alpha \cdot [u(x)]^{\alpha - 1} \) - B. \( \alpha \cdot [u(x)]^{\alpha - 1} \cdot u'(x) \) - C. \( \alpha \cdot [u(x)]^{\alpha + 1} \cdot u'(x) \) - D. \( \alpha \cdot [u(x)]^{\alpha - 1} \cdot u'(x) \) Như vậy, đáp án đúng là: \[ B.~\alpha.[u(x)]^{\alpha-1}.u^\prime(x). \] Câu 12: Để tìm đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{4x^2 - 3x + 1}$, ta áp dụng công thức đạo hàm của hàm số dạng căn bậc hai. Công thức đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{f(x)}$ là: \[ y' = \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}} \] Trong đó, $f(x) = 4x^2 - 3x + 1$. Ta tính đạo hàm của $f(x)$: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(4x^2 - 3x + 1) = 8x - 3 \] Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số dạng căn bậc hai: \[ y' = \frac{8x - 3}{2\sqrt{4x^2 - 3x + 1}} \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~\frac{8x-3}{2\sqrt{4x^2-3x+1}} \] Câu 13: Để tìm vận tốc lớn nhất của vật trong khoảng thời gian 10 giây, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm công thức của vận tốc: Vận tốc tức thời của vật là đạo hàm của quãng đường theo thời gian. Do đó, ta có: \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = -\frac{3}{2}t^2 + 18t \] 2. Tìm điểm cực đại của vận tốc: Để tìm vận tốc lớn nhất, ta cần tìm giá trị của \( t \) làm cho đạo hàm của \( v(t) \) bằng 0: \[ v'(t) = -3t + 18 \] Đặt \( v'(t) = 0 \): \[ -3t + 18 = 0 \implies t = 6 \] 3. Kiểm tra tính chất của điểm cực đại: Ta kiểm tra đạo hàm thứ hai của \( v(t) \): \[ v''(t) = -3 \] Vì \( v''(t) < 0 \), nên \( t = 6 \) là điểm cực đại của \( v(t) \). 4. Tính vận tốc tại điểm cực đại: Thay \( t = 6 \) vào công thức của \( v(t) \): \[ v(6) = -\frac{3}{2}(6)^2 + 18(6) = -\frac{3}{2} \cdot 36 + 108 = -54 + 108 = 54 \text{ (m/s)} \] 5. Kiểm tra biên của khoảng thời gian: Ta cũng cần kiểm tra vận tốc tại các biên của khoảng thời gian 0 đến 10 giây: \[ v(0) = -\frac{3}{2}(0)^2 + 18(0) = 0 \text{ (m/s)} \] \[ v(10) = -\frac{3}{2}(10)^2 + 18(10) = -\frac{3}{2} \cdot 100 + 180 = -150 + 180 = 30 \text{ (m/s)} \] So sánh các giá trị vận tốc tại các điểm: - \( v(0) = 0 \text{ (m/s)} \) - \( v(6) = 54 \text{ (m/s)} \) - \( v(10) = 30 \text{ (m/s)} \) Như vậy, vận tốc lớn nhất của vật trong khoảng thời gian 10 giây là 54 m/s. Đáp án: D. 54 (m/s) Câu 14: Để tính đạo hàm của hàm số \( y = \sqrt{\cos 6x} \), chúng ta sẽ áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp và đạo hàm của căn bậc hai. Bước 1: Xác định hàm con và hàm ngoài. - Hàm con là \( u = \cos 6x \). - Hàm ngoài là \( y = \sqrt{u} \). Bước 2: Tính đạo hàm của hàm con. \[ u' = (\cos 6x)' = -6 \sin 6x \] Bước 3: Tính đạo hàm của hàm ngoài. \[ y' = \left( \sqrt{u} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u' \] Bước 4: Thay \( u = \cos 6x \) và \( u' = -6 \sin 6x \) vào biểu thức đạo hàm của hàm ngoài. \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{\cos 6x}} \cdot (-6 \sin 6x) \] \[ y' = \frac{-6 \sin 6x}{2\sqrt{\cos 6x}} \] \[ y' = \frac{-3 \sin 6x}{\sqrt{\cos 6x}} \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~y' = \frac{-3 \sin 6x}{2\sqrt{\cos 6x}} \] Câu 15: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính đạo hàm của hàm số \( y = \sqrt{3} \sin x + \cos x - 2x + 2020 \). 2. Xét phương trình \( y' = 0 \) và tìm nghiệm của nó trong đoạn \([0; 4\pi]\). Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( y \). \[ y' = (\sqrt{3} \sin x + \cos x - 2x + 2020)' \] \[ y' = \sqrt{3} \cos x - \sin x - 2 \] Bước 2: Xét phương trình \( y' = 0 \). \[ \sqrt{3} \cos x - \sin x - 2 = 0 \] \[ \sqrt{3} \cos x - \sin x = 2 \] Chúng ta sẽ chia cả hai vế cho 2 để chuẩn hóa phương trình: \[ \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x = 1 \] Nhận thấy rằng \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) và \(\frac{1}{2}\) là các giá trị của cos và sin của một góc cụ thể: \[ \cos \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{và} \quad \sin \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} \] Do đó, phương trình trở thành: \[ \cos \left( \frac{\pi}{6} \right) \cos x - \sin \left( \frac{\pi}{6} \right) \sin x = 1 \] Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích: \[ \cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right) = 1 \] Phương trình \(\cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right) = 1\) có nghiệm khi: \[ x + \frac{\pi}{6} = 2k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = 2k\pi - \frac{\pi}{6} \] Chúng ta cần tìm các giá trị của \( x \) trong đoạn \([0; 4\pi]\): - Khi \( k = 0 \): \[ x = -\frac{\pi}{6} \quad (\text{loại vì } x < 0) \] - Khi \( k = 1 \): \[ x = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} \quad (\text{thuộc đoạn } [0; 4\pi]) \] - Khi \( k = 2 \): \[ x = 4\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{23\pi}{6} \quad (\text{loại vì } x > 4\pi) \] Vậy phương trình \( y' = 0 \) có duy nhất một nghiệm trong đoạn \([0; 4\pi]\) là \( x = \frac{11\pi}{6} \). Đáp án đúng là: A. 1. Câu 16: Để tính giá trị biểu thức \( P = f'(\frac{\pi}{6}) - f'(-\frac{\pi}{6}) \) với hàm số \( f(x) = \frac{\cos x}{1 - \sin x} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) \): Ta sử dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ f'(x) = \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \] Với \( u(x) = \cos x \) và \( v(x) = 1 - \sin x \): \[ u'(x) = -\sin x \quad \text{và} \quad v'(x) = -\cos x \] Do đó: \[ f'(x) = \frac{(-\sin x)(1 - \sin x) - (\cos x)(-\cos x)}{(1 - \sin x)^2} \] Rút gọn biểu thức: \[ f'(x) = \frac{-\sin x + \sin^2 x + \cos^2 x}{(1 - \sin x)^2} \] Biết rằng \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \): \[ f'(x) = \frac{-\sin x + 1}{(1 - \sin x)^2} = \frac{1 - \sin x}{(1 - \sin x)^2} = \frac{1}{1 - \sin x} \] 2. Tính giá trị đạo hàm tại \( x = \frac{\pi}{6} \) và \( x = -\frac{\pi}{6} \): \[ f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{1 - \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \] \[ f'\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{1 - \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} \] 3. Tính giá trị biểu thức \( P \): \[ P = f'\left(\frac{\pi}{6}\right) - f'\left(-\frac{\pi}{6}\right) = 2 - \frac{2}{3} = \frac{6}{3} - \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \] Vậy giá trị của biểu thức \( P \) là \( \frac{4}{3} \). Đáp án đúng là: \( A.~P = \frac{4}{3} \). Câu 17: Để tìm đạo hàm của hàm số \( y = 2x + \ln(x^2 - x + 1) \), chúng ta sẽ áp dụng các quy tắc đạo hàm cơ bản. 1. Tìm đạo hàm của mỗi thành phần trong tổng: - Đạo hàm của \( 2x \) là \( 2 \). - Đạo hàm của \( \ln(x^2 - x + 1) \) được tìm bằng cách sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm số lôgarit tự nhiên và chuỗi. 2. Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm số lôgarit tự nhiên: \[ \left( \ln(u) \right)' = \frac{u'}{u} \] Trong đó, \( u = x^2 - x + 1 \). 3. Tìm đạo hàm của \( u \): \[ u' = (x^2 - x + 1)' = 2x - 1 \] 4. Áp dụng vào công thức đạo hàm của hàm số lôgarit tự nhiên: \[ \left( \ln(x^2 - x + 1) \right)' = \frac{2x - 1}{x^2 - x + 1} \] 5. Gộp lại để tìm đạo hàm của toàn bộ hàm số: \[ y' = 2 + \frac{2x - 1}{x^2 - x + 1} \] 6. Quy đồng mẫu số để viết dưới dạng phân số duy nhất: \[ y' = \frac{2(x^2 - x + 1) + (2x - 1)}{x^2 - x + 1} \] \[ y' = \frac{2x^2 - 2x + 2 + 2x - 1}{x^2 - x + 1} \] \[ y' = \frac{2x^2 + 1}{x^2 - x + 1} \] Vậy đạo hàm của hàm số \( y = 2x + \ln(x^2 - x + 1) \) là: \[ y' = \frac{2x^2 + 1}{x^2 - x + 1} \] Đáp án đúng là: \( A.~y^\prime=\frac{2x^2+1}{x^2-x+1}. \) Câu 18: Để giải bài toán này, chúng ta cần tính đạo hàm của hàm số \( f(x) = e^x + e^{2x} \). Bước 1: Tính đạo hàm của \( f(x) \). \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x) + \frac{d}{dx}(e^{2x}) \] Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số mũ \( e^u \): \[ \frac{d}{dx}(e^x) = e^x \] \[ \frac{d}{dx}(e^{2x}) = e^{2x} \cdot \frac{d}{dx}(2x) = 2e^{2x} \] Vậy: \[ f'(x) = e^x + 2e^{2x} \] Bước 2: Thay các giá trị vào để kiểm tra các khẳng định. - Kiểm tra khẳng định A: \( f'(0) = 3 \) \[ f'(0) = e^0 + 2e^{2 \cdot 0} = 1 + 2 \cdot 1 = 3 \] Khẳng định A đúng. - Kiểm tra khẳng định B: \( f'(1) = 3e \) \[ f'(1) = e^1 + 2e^{2 \cdot 1} = e + 2e^2 \neq 3e \] Khẳng định B sai. - Kiểm tra khẳng định C: \( f'(-1) = -3e \) \[ f'(-1) = e^{-1} + 2e^{2 \cdot (-1)} = \frac{1}{e} + 2 \cdot \frac{1}{e^2} \neq -3e \] Khẳng định C sai. - Kiểm tra khẳng định D: \( f'(2) = 5e^2 \) \[ f'(2) = e^2 + 2e^{2 \cdot 2} = e^2 + 2e^4 \neq 5e^2 \] Khẳng định D sai. Vậy khẳng định đúng là: \[ \boxed{A.~f^\prime(0)=3.} \] Câu 19: Đầu tiên, ta tính đạo hàm của \( f(x) \) và \( g(x) \). 1. Tính đạo hàm của \( f(x) \): \[ f(x) = \ln(x^2 + 1) \] \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \ln(x^2 + 1) \right) = \frac{2x}{x^2 + 1} \] Tại \( x = 1 \): \[ f'(1) = \frac{2 \cdot 1}{1^2 + 1} = \frac{2}{2} = 1 \] 2. Tính đạo hàm của \( g(x) \): \[ g(x) = e^x + x^2 + x + 1 \] \[ g'(x) = \frac{d}{dx} \left( e^x + x^2 + x + 1 \right) = e^x + 2x + 1 \] Tại \( x = 0 \): \[ g'(0) = e^0 + 2 \cdot 0 + 1 = 1 + 0 + 1 = 2 \] 3. Tính giá trị của \( g(0) \): \[ g(0) = e^0 + 0^2 + 0 + 1 = 1 + 0 + 0 + 1 = 2 \] Bây giờ, thay các giá trị đã tính vào bất phương trình: \[ f'(1)x^2 - \frac{g'(0)}{2}x - 3g(0) \leq 0 \] \[ 1 \cdot x^2 - \frac{2}{2}x - 3 \cdot 2 \leq 0 \] \[ x^2 - x - 6 \leq 0 \] Ta giải bất phương trình bậc hai \( x^2 - x - 6 \leq 0 \): \[ x^2 - x - 6 = 0 \] Phương trình này có các nghiệm: \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} \] \[ x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = -2 \] Do đó, tập nghiệm của bất phương trình \( x^2 - x - 6 \leq 0 \) là: \[ [-2, 3] \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[ C.~[-2;3] \] Đáp án đúng là: \( C.~[-2;3] \) Câu 20: Để xác định tính chất đồng biến và nghịch biến của hàm số $f(x) = xe^x$, ta cần tìm đạo hàm của hàm số này. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $f(x)$: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(xe^x) = e^x + xe^x = e^x(1 + x) \] Bước 2: Xác định dấu của đạo hàm $f'(x)$: - Ta thấy rằng $e^x > 0$ với mọi $x$. - Do đó, dấu của $f'(x)$ phụ thuộc vào dấu của $(1 + x)$. Bước 3: Xét dấu của $1 + x$: - Nếu $x > -1$, thì $1 + x > 0$ và do đó $f'(x) > 0$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-1; +\infty)$. - Nếu $x < -1$, thì $1 + x < 0$ và do đó $f'(x) < 0$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; -1)$. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-1; 5)$. - Đúng vì $(-1; 5)$ nằm trong khoảng $(-1; +\infty)$. B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; -1)$. - Đúng vì $(-\infty; -1)$ nằm trong khoảng mà $f'(x) < 0$. C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-2; 1)$. - Đúng vì $(-2; 1)$ bao gồm cả đoạn từ $-1$ đến $1$, nằm trong khoảng mà $f'(x) > 0$. D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-10; -4)$. - Sai vì $(-10; -4)$ nằm trong khoảng mà $f'(x) < 0$, nhưng khẳng định này không đúng vì $(-10; -4)$ nằm trong khoảng mà $f'(x) < 0$. Vậy khẳng định sai là: D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-10; -4)$. Câu 21: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm thời điểm mà vận tốc của vật đạt giá trị lớn nhất và sau đó tính quãng đường vật đã đi được từ lúc bắt đầu chuyển động đến thời điểm đó. Bước 1: Tìm vận tốc của vật theo thời gian. Vận tốc \( v(t) \) là đạo hàm của quãng đường \( s(t) \): \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = -\frac{3}{2}t^2 + 6t \] Bước 2: Tìm thời điểm mà vận tốc đạt giá trị lớn nhất. Đạo hàm của vận tốc \( v(t) \) để tìm thời điểm mà vận tốc đạt cực đại: \[ \frac{dv}{dt} = -3t + 6 \] Đặt đạo hàm này bằng 0 để tìm giá trị của \( t \): \[ -3t + 6 = 0 \] \[ t = 2 \text{ (giây)} \] Bước 3: Tính quãng đường vật đã đi được từ lúc bắt đầu chuyển động đến thời điểm \( t = 2 \) giây. Thay \( t = 2 \) vào phương trình quãng đường \( s(t) \): \[ s(2) = -\frac{1}{2}(2)^3 + 3(2)^2 + 20 \] \[ s(2) = -\frac{1}{2}(8) + 3(4) + 20 \] \[ s(2) = -4 + 12 + 20 \] \[ s(2) = 28 \text{ (mét)} \] Vậy quãng đường vật đi được từ lúc bắt đầu chuyển động tới thời điểm vật đạt được vận tốc lớn nhất là 28 mét. Đáp án đúng là: B. 28m.