giải giúp mình với

Câu 22: Phương trình chuyển động của con lắc lò xo là: \[ x = 2 \cos \left( \pi t - \frac{\pi}{3} \right) - 5 \] Để tìm thời điểm mà vận tốc tức thời của con lắc lò xo bằng 0, ta cần tính đạo hàm của phương trình chuyển động để tìm vận tốc tức thời \( v(t) \). Vận tốc tức thời \( v(t) \) là đạo hàm của \( x \) theo thời gian \( t \): \[ v(t) = \frac{dx}{dt} \] Tính đạo hàm của \( x \): \[ x = 2 \cos \left( \pi t - \frac{\pi}{3} \right) - 5 \] \[ \frac{dx}{dt} = 2 \cdot (-\sin \left( \pi t - \frac{\pi}{3} \right)) \cdot \pi \] \[ v(t) = -2\pi \sin \left( \pi t - \frac{\pi}{3} \right) \] Đặt \( v(t) = 0 \): \[ -2\pi \sin \left( \pi t - \frac{\pi}{3} \right) = 0 \] \[ \sin \left( \pi t - \frac{\pi}{3} \right) = 0 \] Ta biết rằng \( \sin \theta = 0 \) khi \( \theta = k\pi \) (với \( k \in \mathbb{Z} \)): \[ \pi t - \frac{\pi}{3} = k\pi \] \[ \pi t = k\pi + \frac{\pi}{3} \] \[ t = k + \frac{1}{3} \] Vậy thời điểm mà vận tốc tức thời của con lắc lò xo bằng 0 là: \[ t = \frac{1}{3} + k \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Đáp án đúng là: \[ A.~t = \frac{1}{3} + k \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Câu 23: Để tính gia tốc của vật tại thời điểm \( t = 0,25 \) giờ, ta cần biết rằng gia tốc là đạo hàm của vận tốc theo thời gian. Trước tiên, ta xác định phương trình của đường parabol dựa trên thông tin về đỉnh và trục đối xứng. Phương trình tổng quát của đường parabol có dạng: \[ v(t) = a(t - h)^2 + k \] Trong đó, \( (h, k) \) là tọa độ đỉnh của parabol. Với đỉnh \( I\left(\frac{1}{2}; 8\right) \), ta có: \[ v(t) = a\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + 8 \] Ta cần xác định hệ số \( a \). Vì đồ thị đi qua điểm \( (0, 0) \) (do khi \( t = 0 \), \( v = 0 \)), ta thay vào phương trình: \[ 0 = a\left(0 - \frac{1}{2}\right)^2 + 8 \] \[ 0 = a \cdot \frac{1}{4} + 8 \] \[ a \cdot \frac{1}{4} = -8 \] \[ a = -32 \] Vậy phương trình vận tốc là: \[ v(t) = -32\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + 8 \] Tiếp theo, ta tính đạo hàm của \( v(t) \) để tìm gia tốc \( a(t) \): \[ v(t) = -32\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + 8 \] \[ v'(t) = -32 \cdot 2 \left(t - \frac{1}{2}\right) \] \[ v'(t) = -64 \left(t - \frac{1}{2}\right) \] Gia tốc của vật tại thời điểm \( t = 0,25 \) giờ là: \[ a(0,25) = -64 \left(0,25 - \frac{1}{2}\right) \] \[ a(0,25) = -64 \left(0,25 - 0,5\right) \] \[ a(0,25) = -64 \left(-0,25\right) \] \[ a(0,25) = 16 \text{ (km/h}^2) \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~16(km/h^2) \] Câu 24: Để tìm vận tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm \( t = 1 \) giây, ta cần tính đạo hàm của phương trình chuyển động \( s(t) \) để tìm được phương trình vận tốc \( v(t) \). Phương trình chuyển động của chất điểm là: \[ s(t) = \sin\left(\frac{\pi}{3t + 1}\right) + 2t^2 \] Bước 1: Tính đạo hàm của \( s(t) \) để tìm \( v(t) \): \[ v(t) = \frac{d}{dt} \left[ \sin\left(\frac{\pi}{3t + 1}\right) + 2t^2 \right] \] Áp dụng quy tắc đạo hàm tổng và chuỗi: \[ v(t) = \cos\left(\frac{\pi}{3t + 1}\right) \cdot \frac{d}{dt} \left( \frac{\pi}{3t + 1} \right) + \frac{d}{dt} (2t^2) \] Tính đạo hàm từng phần: \[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\pi}{3t + 1} \right) = \pi \cdot \frac{d}{dt} \left( (3t + 1)^{-1} \right) = \pi \cdot (-1) \cdot (3t + 1)^{-2} \cdot 3 = -\frac{3\pi}{(3t + 1)^2} \] \[ \frac{d}{dt} (2t^2) = 4t \] Vậy: \[ v(t) = \cos\left(\frac{\pi}{3t + 1}\right) \cdot \left(-\frac{3\pi}{(3t + 1)^2}\right) + 4t \] Bước 2: Thay \( t = 1 \) vào phương trình vận tốc \( v(t) \): \[ v(1) = \cos\left(\frac{\pi}{3 \cdot 1 + 1}\right) \cdot \left(-\frac{3\pi}{(3 \cdot 1 + 1)^2}\right) + 4 \cdot 1 \] \[ v(1) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \cdot \left(-\frac{3\pi}{16}\right) + 4 \] Biết rằng \( \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \): \[ v(1) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{3\pi}{16}\right) + 4 \] \[ v(1) = -\frac{3\pi \sqrt{2}}{32} + 4 \] Bước 3: Tính giá trị số: \[ \pi \approx 3.14159 \] \[ \sqrt{2} \approx 1.414 \] \[ -\frac{3 \cdot 3.14159 \cdot 1.414}{32} + 4 \approx -\frac{13.350}{32} + 4 \approx -0.417 + 4 \approx 3.583 \] Vậy vận tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm \( t = 1 \) giây gần bằng: \[ \boxed{3.58 \text{ (m/s)}} \] Đáp án đúng là: B. 3,58 (m/s). Câu 25: Để tìm đạo hàm của hàm số $y = \frac{x - 1}{\sqrt{x^2 + 1}}$, ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm của thương hai hàm số. Gọi $u = x - 1$ và $v = \sqrt{x^2 + 1}$. Ta có: \[ y = \frac{u}{v} \] Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Tính đạo hàm của $u$ và $v$: \[ u' = 1 \] \[ v = (x^2 + 1)^{\frac{1}{2}} \] \[ v' = \frac{1}{2}(x^2 + 1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \] Thay vào công thức đạo hàm của thương: \[ y' = \frac{1 \cdot \sqrt{x^2 + 1} - (x - 1) \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{(\sqrt{x^2 + 1})^2} \] \[ y' = \frac{\sqrt{x^2 + 1} - \frac{x(x - 1)}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1} \] \[ y' = \frac{\sqrt{x^2 + 1} - \frac{x^2 - x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1} \] \[ y' = \frac{\frac{(x^2 + 1) - (x^2 - x)}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1} \] \[ y' = \frac{\frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1} \] \[ y' = \frac{x + 1}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}} \] \[ y' = \frac{x + 1}{(x^2 + 1)^{\frac{3}{2}}} \] \[ y' = \frac{x + 1}{\sqrt{(x^2 + 1)^3}} \] So sánh với biểu thức $\frac{ax + b}{\sqrt{(x^2 + 1)^3}}$, ta thấy $a = 1$ và $b = 1$. Do đó, $P = a \cdot b = 1 \cdot 1 = 1$. Vậy đáp án đúng là: \[ A.~P = 1 \] Câu 26: Để tìm gia tốc của chuyển động tại thời điểm \( t = 3 \) giây, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vận tốc tức thời \( v(t) \): Vận tốc tức thời \( v(t) \) là đạo hàm của phương trình chuyển động \( s(t) \). \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^4 + 6t^2 - 3t + 1) \] Áp dụng công thức đạo hàm: \[ v(t) = 8t^3 + 12t - 3 \] 2. Tìm gia tốc tức thời \( a(t) \): Gia tốc tức thời \( a(t) \) là đạo hàm của vận tốc tức thời \( v(t) \). \[ a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(8t^3 + 12t - 3) \] Áp dụng công thức đạo hàm: \[ a(t) = 24t^2 + 12 \] 3. Tính gia tốc tại thời điểm \( t = 3 \) giây: Thay \( t = 3 \) vào phương trình gia tốc: \[ a(3) = 24(3)^2 + 12 \] Tính toán: \[ a(3) = 24 \times 9 + 12 = 216 + 12 = 228 \text{ m/s}^2 \] Vậy gia tốc của chuyển động tại thời điểm \( t = 3 \) giây là \( 228 \text{ m/s}^2 \). Đáp án đúng là: \( B.~228(m/s^2) \). Câu 27: Để tính gia tốc của chất điểm tại thời điểm \( t = 2 \) giây, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vận tốc tức thời \( v(t) \): Vận tốc tức thời \( v(t) \) là đạo hàm của phương trình chuyển động \( s(t) \). \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 + 2t^2 - 5t - 1) \] Áp dụng công thức đạo hàm: \[ v(t) = 3t^2 + 4t - 5 \] 2. Tìm gia tốc tức thời \( a(t) \): Gia tốc tức thời \( a(t) \) là đạo hàm của vận tốc tức thời \( v(t) \). \[ a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 + 4t - 5) \] Áp dụng công thức đạo hàm: \[ a(t) = 6t + 4 \] 3. Tính gia tốc tại thời điểm \( t = 2 \) giây: Thay \( t = 2 \) vào phương trình gia tốc: \[ a(2) = 6 \cdot 2 + 4 = 12 + 4 = 16 \text{ m/s}^2 \] Vậy gia tốc của chất điểm tại thời điểm \( t = 2 \) giây là \( 16 \text{ m/s}^2 \). Đáp án đúng là: \( A.~16~m/s^2 \). Câu 28: Để tìm đạo hàm của hàm số \( y = x^{2023} + 2\sqrt{x} \) tại \( x = 1 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của mỗi thành phần trong hàm số. - Đạo hàm của \( x^{2023} \): \[ \frac{d}{dx}(x^{2023}) = 2023x^{2022} \] - Đạo hàm của \( 2\sqrt{x} \): \[ \frac{d}{dx}(2\sqrt{x}) = 2 \cdot \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{x}} \] Bước 2: Kết hợp các đạo hàm lại để tìm đạo hàm của toàn bộ hàm số: \[ y' = 2023x^{2022} + \frac{1}{\sqrt{x}} \] Bước 3: Thay \( x = 1 \) vào đạo hàm vừa tìm được: \[ y'(1) = 2023(1)^{2022} + \frac{1}{\sqrt{1}} \] \[ y'(1) = 2023 \cdot 1 + 1 \] \[ y'(1) = 2023 + 1 \] \[ y'(1) = 2024 \] Vậy đạo hàm của hàm số \( y = x^{2023} + 2\sqrt{x} \) tại \( x = 1 \) bằng 2024. Đáp án đúng là: A. 2024. Câu 29: Để tính giá trị của biểu thức \( M = y'(-1) - 4y'(2) \), trước tiên chúng ta cần tìm đạo hàm của hàm số \( y = 2x - \frac{1}{x} \). Bước 1: Tìm đạo hàm \( y' \) \[ y = 2x - \frac{1}{x} \] \[ y' = \frac{d}{dx}(2x) - \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) \] \[ y' = 2 + \frac{1}{x^2} \] Bước 2: Tính \( y'(-1) \) \[ y'(-1) = 2 + \frac{1}{(-1)^2} \] \[ y'(-1) = 2 + 1 \] \[ y'(-1) = 3 \] Bước 3: Tính \( y'(2) \) \[ y'(2) = 2 + \frac{1}{2^2} \] \[ y'(2) = 2 + \frac{1}{4} \] \[ y'(2) = 2 + 0.25 \] \[ y'(2) = 2.25 \] Bước 4: Tính giá trị của biểu thức \( M \) \[ M = y'(-1) - 4y'(2) \] \[ M = 3 - 4 \times 2.25 \] \[ M = 3 - 9 \] \[ M = -6 \] Vậy giá trị của biểu thức \( M \) là \(-6\). Đáp án đúng là: C. -6. Câu 30: Để tìm vận tốc của vật tại thời điểm \( t = 4 \) giây, ta cần tính đạo hàm của hàm số \( s(t) \) để tìm được hàm số vận tốc \( v(t) \). Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( s(t) \): \[ s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t \] Tính đạo hàm: \[ s'(t) = \frac{d}{dt}(t^3 - 6t^2 + 9t) \] \[ s'(t) = 3t^2 - 12t + 9 \] Bước 2: Thay \( t = 4 \) vào hàm số vận tốc \( v(t) = s'(t) \): \[ v(4) = s'(4) = 3(4)^2 - 12(4) + 9 \] \[ v(4) = 3 \cdot 16 - 12 \cdot 4 + 9 \] \[ v(4) = 48 - 48 + 9 \] \[ v(4) = 9 \] Vậy vận tốc của vật tại thời điểm \( t = 4 \) giây là 9 m/s.