giải giúp em ạ

Câu 1: Mặt phẳng (Oyz) là mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và trục Oy, Oz. Phương trình của mặt phẳng (Oyz) sẽ là phương trình của mặt phẳng đi qua trục Oy và Oz, tức là phương trình của mặt phẳng này sẽ không phụ thuộc vào biến x. Do đó, phương trình của mặt phẳng (Oyz) là: \[ x = 0 \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~x=0. \] Câu 2: Để tìm đường thẳng đi qua điểm \( A(1;0;2) \) và vuông góc với mặt phẳng \((BCD)\), ta cần xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((BCD)\). Bước 1: Tìm hai vectơ trong mặt phẳng \((BCD)\): - Vectơ \(\overrightarrow{BC} = C - B = (3-1, 2-2, 0-1) = (2, 0, -1)\) - Vectơ \(\overrightarrow{BD} = D - B = (1-1, 1-2, 3-1) = (0, -1, 2)\) Bước 2: Tính vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((BCD)\) bằng tích vector của \(\overrightarrow{BC}\) và \(\overrightarrow{BD}\): \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 2 - (-1) \cdot (-1)) - \mathbf{j}(2 \cdot 2 - (-1) \cdot 0) + \mathbf{k}(2 \cdot (-1) - 0 \cdot 0) = \mathbf{i}(-1) - \mathbf{j}(4) + \mathbf{k}(-2) = (-1, -4, -2) \] Bước 3: Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(1;0;2) \) và có vectơ pháp tuyến \((-1, -4, -2)\) là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 - t \\ y = 0 - 4t \\ z = 2 - 2t \end{array} \right. \] So sánh với các phương án đã cho, ta thấy phương án đúng là: \[ D.\left\{\begin{array}{l} x = 1 - t \\ y = 2 - 4t \\ z = 2 - 2t \end{array}\right. \] Vậy đáp án đúng là: \( D \). Câu 3: Để tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng \( d_1 \) và \( d_2 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng: - Đường thẳng \( d_1 \) có vectơ chỉ phương \( \vec{u}_1 = (2, 1, -2) \). - Đường thẳng \( d_2 \) có vectơ chỉ phương \( \vec{u}_2 = (1, 2, -2) \). 2. Xác định hai điểm trên mỗi đường thẳng: - Trên \( d_1 \), ta chọn điểm \( A(0, 1, -1) \). - Trên \( d_2 \), ta chọn điểm \( B(1, 2, 3) \). 3. Tìm vectơ \( \overrightarrow{AB} \): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 0, 2 - 1, 3 + 1) = (1, 1, 4) \] 4. Tìm vectơ pháp tuyến \( \vec{n} \) của mặt phẳng chứa \( \vec{u}_1 \) và \( \vec{u}_2 \): \[ \vec{n} = \vec{u}_1 \times \vec{u}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot (-2) - (-2) \cdot 2) - \vec{j}(2 \cdot (-2) - (-2) \cdot 1) + \vec{k}(2 \cdot 2 - 1 \cdot 1) = \vec{i}( -2 + 4 ) - \vec{j}( -4 + 2 ) + \vec{k}( 4 - 1 ) = 2\vec{i} + 2\vec{j} + 3\vec{k} = (2, 2, 3) \] 5. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng: Khoảng cách \( d \) giữa hai đường thẳng \( d_1 \) và \( d_2 \) được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|\overrightarrow{AB} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} \] - Tính tích vô hướng \( \overrightarrow{AB} \cdot \vec{n} \): \[ \overrightarrow{AB} \cdot \vec{n} = (1, 1, 4) \cdot (2, 2, 3) = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 4 \cdot 3 = 2 + 2 + 12 = 16 \] - Tính độ dài vectơ \( \vec{n} \): \[ |\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 4 + 9} = \sqrt{17} \] - Tính khoảng cách \( d \): \[ d = \frac{|16|}{\sqrt{17}} = \frac{16}{\sqrt{17}} \] Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \( d_1 \) và \( d_2 \) là \( \frac{16}{\sqrt{17}} \). Đáp án đúng là \( D.~\frac{16}{\sqrt{17}} \). Câu 4: Để tìm phương trình của mặt cầu có đường kính AB, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung điểm của đoạn thẳng AB: - Tọa độ của điểm A là (-2, 1, 0). - Tọa độ của điểm B là (2, -1, 2). Trung điểm M của đoạn thẳng AB là: \[ M = \left( \frac{-2 + 2}{2}, \frac{1 + (-1)}{2}, \frac{0 + 2}{2} \right) = (0, 0, 1) \] 2. Tính bán kính của mặt cầu: - Bán kính R của mặt cầu là khoảng cách từ trung điểm M đến một trong hai điểm A hoặc B. Ta tính khoảng cách từ M đến A: \[ R = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (0 - 1)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \] 3. Viết phương trình mặt cầu: - Mặt cầu có tâm tại M(0, 0, 1) và bán kính R = $\sqrt{6}$ có phương trình: \[ (x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - 1)^2 = (\sqrt{6})^2 \] \[ x^2 + y^2 + (z - 1)^2 = 6 \] Vậy phương trình của mặt cầu có đường kính AB là: \[ \boxed{x^2 + y^2 + (z - 1)^2 = 6} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{D.~x^2 + y^2 + (z - 1)^2 = 6} \] Câu 5: Để tìm phương trình của mặt cầu (S) tâm I(1;1;1) và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một đường tròn bán kính r = 4, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P): Mặt phẳng (P) có phương trình: \(2x + y + 2z + 4 = 0\). Khoảng cách \(d\) từ điểm \(I(1;1;1)\) đến mặt phẳng (P) được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 4|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}} = \frac{|2 + 1 + 2 + 4|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{9}{3} = 3 \] 2. Áp dụng công thức liên quan đến bán kính của đường tròn giao tuyến: Bán kính \(r\) của đường tròn giao tuyến là 4. Ta biết rằng bán kính \(R\) của mặt cầu liên quan đến khoảng cách \(d\) và bán kính \(r\) của đường tròn giao tuyến theo công thức: \[ R^2 = d^2 + r^2 \] Thay \(d = 3\) và \(r = 4\) vào công thức trên: \[ R^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \] Vậy \(R = 5\). 3. Viết phương trình của mặt cầu (S): Mặt cầu (S) có tâm \(I(1;1;1)\) và bán kính \(R = 5\). Phương trình của mặt cầu là: \[ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = 25 \] Do đó, phương trình của mặt cầu (S) là: \[ A.~(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=25 \] Câu 6: Để tìm $\int f(x)dx$, ta thực hiện phép tích phân từng thành phần của hàm số $f(x)$. Hàm số đã cho là: \[ f(x) = 2^x + x + 1 \] Ta sẽ tính tích phân từng thành phần: 1. Tính $\int 2^x dx$: \[ \int 2^x dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C_1 \] 2. Tính $\int x dx$: \[ \int x dx = \frac{x^2}{2} + C_2 \] 3. Tính $\int 1 dx$: \[ \int 1 dx = x + C_3 \] Gộp lại ta có: \[ \int f(x) dx = \int (2^x + x + 1) dx = \frac{2^x}{\ln 2} + \frac{x^2}{2} + x + C \] Trong đó, $C$ là hằng số tích phân tổng hợp từ $C_1$, $C_2$, và $C_3$. Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~\int f(x)dx = \frac{1}{\ln 2}2^x + \frac{1}{2}x^2 + x + C} \] Câu 7: Để tính giá trị của $\int^4_1\frac{x+1}{\sqrt x}dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tách phân thức trong dấu tích phân: \[ \int^4_1\frac{x+1}{\sqrt x}dx = \int^4_1 \left( \frac{x}{\sqrt x} + \frac{1}{\sqrt x} \right) dx = \int^4_1 \left( \sqrt x + \frac{1}{\sqrt x} \right) dx \] Bước 2: Tính tích phân từng phần: \[ \int^4_1 \left( \sqrt x + \frac{1}{\sqrt x} \right) dx = \int^4_1 \sqrt x \, dx + \int^4_1 \frac{1}{\sqrt x} \, dx \] Bước 3: Tính từng tích phân riêng lẻ: - Tích phân của $\sqrt x$: \[ \int \sqrt x \, dx = \int x^{1/2} \, dx = \frac{x^{3/2}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}x^{3/2} \] Do đó, \[ \int^4_1 \sqrt x \, dx = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]^4_1 = \frac{2}{3}(4)^{3/2} - \frac{2}{3}(1)^{3/2} = \frac{2}{3}(8) - \frac{2}{3}(1) = \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14}{3} \] - Tích phân của $\frac{1}{\sqrt x}$: \[ \int \frac{1}{\sqrt x} \, dx = \int x^{-1/2} \, dx = \frac{x^{1/2}}{\frac{1}{2}} = 2x^{1/2} \] Do đó, \[ \int^4_1 \frac{1}{\sqrt x} \, dx = \left[ 2x^{1/2} \right]^4_1 = 2(4)^{1/2} - 2(1)^{1/2} = 2(2) - 2(1) = 4 - 2 = 2 \] Bước 4: Cộng các kết quả lại: \[ \int^4_1 \left( \sqrt x + \frac{1}{\sqrt x} \right) dx = \frac{14}{3} + 2 = \frac{14}{3} + \frac{6}{3} = \frac{20}{3} \] Vậy giá trị của $\int^4_1\frac{x+1}{\sqrt x}dx$ là $\frac{20}{3}$.