3) TÌM tham số m để pt x^2-2(m+1)x+m^2+2=0 có 2 nghiệm x1, x2 sao cho bth P = √2 (x1^2+x2^2) +16 - 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất
b4: từ điểm A bên ngoài đường tròn (O) kẻ 2 tiếp tuyến AB,AC tới đường tròn (B,C là các tiếp điểm). đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) tại D và E (D nằm giữa A và E. DE ko đi qua tâm O). gọi H là trung điểm của DE, AE cắt BC tại K.
a) cm: A, B, O , H, C cùng nằm trên 1 đường tròn
b) ABD=AEB
c) AB^2=AK . AH

Question

3) TÌM tham số m để pt x^2-2(m+1)x+m^2+2=0 có 2 nghiệm x1, x2 sao cho bth P = √2 (x1^2+x2^2) +16 - 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất 
b4: từ điểm A bên ngoài đường tròn (O) kẻ 2 tiếp tuyến AB,AC tới đường tròn (B,C là các tiếp điểm). đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) tại D và E (D nằm giữa A và E. DE ko đi qua tâm O). gọi H là trung điểm của DE, AE cắt BC tại K.
a) cm: A, B, O , H, C cùng nằm trên 1 đường tròn
b) ABD=AEB
c) AB^2=AK . AH

Mua hàng shopee · Accepted Answer

{"userId":5245269,"userName":"Hanh Hoà"}

Câu 3:

Cho phương trình $x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 2 = 0$.

Để phương trình có 2 nghiệm $x_1, x_2$, điều kiện là $\Delta' \geq 0$.

Ta có $\Delta' = (m+1)^2 - (m^2 + 2) = m^2 + 2m + 1 - m^2 - 2 = 2m - 1$.

Vậy $2m - 1 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq \frac{1}{2}$.

Theo định lý Vi-ét, ta có:

$x_1 + x_2 = 2(m+1)$

$x_1x_2 = m^2 + 2$

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 4(m+1)^2 - 2(m^2+2) = 4(m^2 + 2m + 1) - 2m^2 - 4 = 2m^2 + 8m$.

$P = \sqrt{2}(x_1^2 + x_2^2) + 16 - 3x_1x_2 = \sqrt{2}(2m^2 + 8m) + 16 - 3(m^2+2) = (2\sqrt{2} - 3)m^2 + 8\sqrt{2}m + 10$

Đặt $f(m) = (2\sqrt{2} - 3)m^2 + 8\sqrt{2}m + 10$.

Vì $2\sqrt{2} - 3 < 0$ nên đồ thị hàm $f(m)$ là parabol úp xuống. Giá trị lớn nhất của $f(m)$ đạt tại đỉnh parabol:

$m = \frac{-8\sqrt{2}}{2(2\sqrt{2} - 3)} = \frac{-4\sqrt{2}}{2\sqrt{2} - 3}$.

Vì $m \geq \frac{1}{2}$ nên không tồn tại $m$ để $P$ đạt giá trị lớn nhất.

Câu b4:

a) Tứ giác $ABOC$ nội tiếp vì $\angle ABO = \angle ACO = 90^\circ$.

$\angle AHO = 90^\circ$ (H là trung điểm của DE, DE là dây cung, OH vuông góc với dây cung DE)

Vậy A, B, O, H, C cùng thuộc một đường tròn.

b) Ta có $\angle ABD = \angle ADB$ (tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

Mặt khác, $\angle ADB = \angle AEB$ (góc nội tiếp cùng chắn cung DB)

Vậy $\angle ABD = \angle AEB$.

c) Ta có $\angle ABK = \angle ABC = \angle AEB$ (chứng minh ở câu b).

$\angle BAK = \angle HAB$ (góc chung)

Vậy $ riangle ABK \sim riangle AHB$

$\Rightarrow \frac{AB}{AH} = \frac{AK}{AB} \Rightarrow AB^2 = AK.AH$.

Timi · Answer

Câu 3:
Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $ P = \sqrt{2} (x_1^2 + x_2^2) + 16 - 3x_1x_2 $, ta cần sử dụng các kiến thức về phương trình bậc hai và bất đẳng thức.

1. Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm:
   Phương trình $ x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 2 = 0 $ có hai nghiệm khi và chỉ khi:
   $$
   \Delta = [2(m+1)]^2 - 4(m^2 + 2) \geq 0
   $$
   $$
   4(m+1)^2 - 4(m^2 + 2) \geq 0
   $$
   $$
   4(m^2 + 2m + 1) - 4m^2 - 8 \geq 0
   $$
   $$
   4m^2 + 8m + 4 - 4m^2 - 8 \geq 0
   $$
   $$
   8m - 4 \geq 0
   $$
   $$
   m \geq \frac{1}{2}
   $$

2. Áp dụng công thức Viète:
   Với hai nghiệm $ x_1 $ và $ x_2 $:
   $$
   x_1 + x_2 = 2(m+1)
   $$
   $$
   x_1 x_2 = m^2 + 2
   $$

3. Biểu thức $ P $:
   $$
   P = \sqrt{2} (x_1^2 + x_2^2) + 16 - 3x_1x_2
   $$
   Ta biết rằng:
   $$
   x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2
   $$
   Thay vào:
   $$
   x_1^2 + x_2^2 = [2(m+1)]^2 - 2(m^2 + 2)
   $$
   $$
   x_1^2 + x_2^2 = 4(m+1)^2 - 2m^2 - 4
   $$
   $$
   x_1^2 + x_2^2 = 4(m^2 + 2m + 1) - 2m^2 - 4
   $$
   $$
   x_1^2 + x_2^2 = 4m^2 + 8m + 4 - 2m^2 - 4
   $$
   $$
   x_1^2 + x_2^2 = 2m^2 + 8m
   $$

4. Thay vào biểu thức $ P $:
   $$
   P = \sqrt{2}(2m^2 + 8m) + 16 - 3(m^2 + 2)
   $$
   $$
   P = 2\sqrt{2}m^2 + 8\sqrt{2}m + 16 - 3m^2 - 6
   $$
   $$
   P = (2\sqrt{2} - 3)m^2 + 8\sqrt{2}m + 10
   $$

5. Tìm giá trị lớn nhất của $ P $:
   Để $ P $ đạt giá trị lớn nhất, ta cần tìm giá trị của $ m $ sao cho $ P $ đạt cực đại. Ta sử dụng phương pháp đạo hàm (nhưng ở đây ta sẽ sử dụng trực giác và kiểm tra các giá trị):

Ta thấy rằng $ P $ là một hàm bậc hai theo $ m $, và hệ số của $ m^2 $ là $ 2\sqrt{2} - 3 $. Vì $ 2\sqrt{2} \approx 2.828 $, nên $ 2\sqrt{2} - 3 < 0 $, tức là hàm này có dạng parabol mở xuống. Do đó, giá trị lớn nhất của $ P $ sẽ xảy ra khi $ m $ đạt giá trị làm cho đạo hàm của $ P $ bằng 0.

Đạo hàm của $ P $:
   $$
   \frac{dP}{dm} = 2(2\sqrt{2} - 3)m + 8\sqrt{2}
   $$
   Đặt đạo hàm bằng 0:
   $$
   2(2\sqrt{2} - 3)m + 8\sqrt{2} = 0
   $$
   $$
   (2\sqrt{2} - 3)m = -4\sqrt{2}
   $$
   $$
   m = \frac{-4\sqrt{2}}{2\sqrt{2} - 3}
   $$
   Nhân cả tử và mẫu với $ 2\sqrt{2} + 3 $:
   $$
   m = \frac{-4\sqrt{2}(2\sqrt{2} + 3)}{(2\sqrt{2} - 3)(2\sqrt{2} + 3)}
   $$
   $$
   m = \frac{-4\sqrt{2}(2\sqrt{2} + 3)}{8 - 9}
   $$
   $$
   m = \frac{-4\sqrt{2}(2\sqrt{2} + 3)}{-1}
   $$
   $$
   m = 4\sqrt{2}(2\sqrt{2} + 3)
   $$
   $$
   m = 8 + 12\sqrt{2}
   $$

Kiểm tra lại điều kiện $ m \geq \frac{1}{2} $, ta thấy $ m = 8 + 12\sqrt{2} $ thỏa mãn.

Vậy giá trị lớn nhất của $ P $ đạt được khi $ m = 8 + 12\sqrt{2} $.

Câu 4:
a) Chứng minh rằng $ A, B, O, H, C $ cùng nằm trên một đường tròn:
- $ AB $ và $ AC $ là các tiếp tuyến từ $ A $ đến đường tròn $(O)$, do đó $ OB \perp AB $ và $ OC \perp AC $.
- $ H $ là trung điểm của $ DE $, do đó $ OH \perp DE $.
- $ \angle OBA = \angle OCA = 90^\circ $, do đó $ A, B, O, C $ cùng nằm trên một đường tròn đường kính $ OA $.
- $ H $ cũng nằm trên đường tròn này vì $ OH \perp DE $ và $ DE $ là dây cung của đường tròn $(O)$.

b) Chứng minh rằng $ \angle ABD = \angle AEB $:
- $ \angle ABD = \angle ABE $ vì $ B $ và $ E $ đều là các điểm trên đường tròn $(O)$ và $ A $ là điểm chung.
- $ \angle AEB = \angle AEB $ vì $ E $ và $ B $ đều là các điểm trên đường tròn $(O)$ và $ A $ là điểm chung.

c) Chứng minh rằng $ AB^2 = AK \cdot AH $:
- $ AB $ là tiếp tuyến từ $ A $ đến đường tròn $(O)$, do đó $ AB^2 = AD \cdot AE $ (theo tính chất tiếp tuyến và dây cung).
- $ K $ là giao điểm của $ AE $ và $ BC $, do đó $ AK \cdot AH = AD \cdot AE $ (theo tính chất đường tròn nội tiếp).

Vậy $ AB^2 = AK \cdot AH $.

3) TÌM tham số m để pt x^2-2(m+1)x+m^2+2=0 có 2 nghiệm x1, x2 sao cho bth P = √2 (x1^2+x2^2) +16 - 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất b4: từ điểm A bên ngoài đường tròn (O) kẻ 2 tiếp tuyến AB,AC tới đường trò...