kbzkhsbzlbđ k dlwbk

Câu 27.1. Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm $M(1, 1)$, ta cần biết giá trị của đạo hàm $f'(1)$. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm $(x_0, y_0)$ có dạng: \[ y = f'(x_0)(x - x_0) + y_0 \] Trong bài này, điểm $M(1, 1)$ có tọa độ $(x_0, y_0) = (1, 1)$. Do đó, phương trình tiếp tuyến sẽ có dạng: \[ y = f'(1)(x - 1) + 1 \] Ta thấy rằng trong các phương án đã cho, chỉ có phương án A có dạng $y = 2x - 1$, tức là $f'(1) = 2$. Ta kiểm tra lại: \[ y = 2(x - 1) + 1 = 2x - 2 + 1 = 2x - 1 \] Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm $M(1, 1)$ là: \[ y = 2x - 1 \] Đáp án đúng là: A. $y = 2x - 1$ Câu 27.2. Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm $M(1; -1)$, ta cần biết giá trị của đạo hàm $f'(1)$. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm $(x_0, y_0)$ có dạng: \[ y = f'(x_0)(x - x_0) + y_0 \] Trong đó, $(x_0, y_0)$ là tọa độ của điểm tiếp xúc, ở đây là $M(1, -1)$. Ta có: \[ y = f'(1)(x - 1) - 1 \] Để xác định phương trình tiếp tuyến, ta cần biết giá trị của $f'(1)$. Ta sẽ kiểm tra các phương án đã cho để xác định giá trị của $f'(1)$. A. $y = 2x - 1$ B. $y = -2x - 1$ C. $y = 2x$ D. $y = -2x + 1$ Ta thấy rằng phương án D có dạng $y = -2x + 1$, và khi thay $x = 1$ vào phương trình này, ta có: \[ y = -2(1) + 1 = -2 + 1 = -1 \] Điểm $(1, -1)$ nằm trên đường thẳng này, do đó phương án D là phương trình tiếp tuyến đúng. Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm $M(1, -1)$ là: \[ y = -2x + 1 \] Đáp án đúng là: D. $y = -2x + 1$. Câu 27.3. Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm $M(1, 1)$, ta cần xác định hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm này. Hệ số góc của tiếp tuyến chính là đạo hàm của hàm số tại điểm đó. Trước tiên, ta cần biết giá trị của đạo hàm $f'(1)$. Tuy nhiên, trong đề bài không cung cấp trực tiếp giá trị của $f'(1)$. Ta sẽ dựa vào các lựa chọn đã cho để suy ra giá trị của $f'(1)$. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm $(x_0, y_0)$ có dạng: \[ y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \] Áp dụng vào điểm $M(1, 1)$, ta có: \[ y - 1 = f'(1)(x - 1) \] \[ y = f'(1)x - f'(1) + 1 \] Ta so sánh với các phương trình tiếp tuyến đã cho: - A. $y = 3x - 2$ - B. $y = 3x + 2$ - C. $y = 3x$ - D. $y = -3x - 2$ Nhìn vào các phương trình trên, ta thấy rằng phương trình $y = 3x - 2$ có dạng tương tự với phương trình tiếp tuyến ở trên nếu $f'(1) = 3$ và $-f'(1) + 1 = -2$. Thử lại: \[ -3 + 1 = -2 \] Do đó, phương trình tiếp tuyến đúng là: \[ y = 3x - 2 \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{A.~y = 3x - 2} \] Câu 27.4. Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm $M(1; -1)$, ta cần biết giá trị của đạo hàm $f'(1)$. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm $(x_0, y_0)$ có dạng: \[ y = f'(x_0)(x - x_0) + y_0 \] Trong bài này, điểm $M(1; -1)$ có tọa độ $(x_0, y_0) = (1, -1)$. Do đó, phương trình tiếp tuyến sẽ có dạng: \[ y = f'(1)(x - 1) - 1 \] Ta thấy rằng các phương án đã cho đều có dạng $y = ax + b$, do đó ta cần xác định giá trị của $a$ và $b$. - Phương án A: $y = -x$ - Phương án B: $y = -x + 2$ - Phương án C: $y = x$ - Phương án D: $y = -x + 1$ Ta thử lần lượt từng phương án để xem phương trình nào thỏa mãn điều kiện tiếp tuyến tại điểm $M(1; -1)$. 1. Thử phương án A: $y = -x$ - Tại điểm $x = 1$: $y = -1$ - Điều này đúng với điểm $M(1; -1)$. - Đạo hàm của $y = -x$ là $y' = -1$, tức là $f'(1) = -1$. 2. Thử phương án B: $y = -x + 2$ - Tại điểm $x = 1$: $y = -1 + 2 = 1$ - Điều này sai vì điểm $M(1; -1)$ có $y = -1$. 3. Thử phương án C: $y = x$ - Tại điểm $x = 1$: $y = 1$ - Điều này sai vì điểm $M(1; -1)$ có $y = -1$. 4. Thử phương án D: $y = -x + 1$ - Tại điểm $x = 1$: $y = -1 + 1 = 0$ - Điều này sai vì điểm $M(1; -1)$ có $y = -1$. Như vậy, phương án duy nhất thỏa mãn điều kiện là phương án A: $y = -x$. Đáp án: A. $y = -x$ Câu 28 Để kiểm tra phương trình tiếp tuyến của một hàm số tại một điểm, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Đạo hàm của hàm số sẽ cho chúng ta hệ số góc của tiếp tuyến tại bất kỳ điểm nào trên đồ thị của hàm số đó. 2. Tính giá trị của đạo hàm tại điểm cần kiểm tra: Điều này sẽ cho chúng ta hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm cụ thể đó. 3. Viết phương trình tiếp tuyến: Sử dụng công thức của phương trình đường thẳng \( y = mx + b \), trong đó \( m \) là hệ số góc và \( b \) là khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng. 4. So sánh với phương trình đã cho: Kiểm tra xem phương trình tiếp tuyến mà chúng ta vừa tìm ra có trùng khớp với phương trình tiếp tuyến đã cho hay không. Bây giờ, giả sử chúng ta có hàm số \( f(x) \) và điểm \( (x_0, y_0) \) cần kiểm tra phương trình tiếp tuyến. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số Giả sử hàm số là \( f(x) = x^2 \). Đạo hàm của nó là: \[ f'(x) = 2x \] Bước 2: Tính giá trị của đạo hàm tại điểm cần kiểm tra Giả sử điểm cần kiểm tra là \( (1, 1) \). Ta tính giá trị của đạo hàm tại \( x = 1 \): \[ f'(1) = 2 \cdot 1 = 2 \] Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \( (1, 1) \) là 2. Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến Phương trình tiếp tuyến có dạng: \[ y - y_0 = m(x - x_0) \] Ở đây, \( m = 2 \), \( x_0 = 1 \), và \( y_0 = 1 \). Thay vào ta có: \[ y - 1 = 2(x - 1) \] \[ y - 1 = 2x - 2 \] \[ y = 2x - 1 \] Bước 4: So sánh với phương trình đã cho Giả sử phương trình tiếp tuyến đã cho là \( y = 2x - 1 \). Chúng ta thấy rằng phương trình tiếp tuyến mà chúng ta vừa tìm ra trùng khớp với phương trình đã cho. Vậy phương trình tiếp tuyến của hàm số \( f(x) = x^2 \) tại điểm \( (1, 1) \) là \( y = 2x - 1 \). Đáp số: Phương trình tiếp tuyến của hàm số \( f(x) = x^2 \) tại điểm \( (1, 1) \) là \( y = 2x - 1 \). Câu 28.1. Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x) = x^2$ tại điểm $x = 0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Ta có $f'(x) = 2x$. 2. Tính giá trị đạo hàm tại điểm $x = 0$: $f'(0) = 2 \cdot 0 = 0$. 3. Tìm tọa độ điểm tiếp xúc trên đồ thị: Khi $x = 0$, ta có $y = f(0) = 0^2 = 0$. Vậy điểm tiếp xúc là $(0, 0)$. 4. Lập phương trình tiếp tuyến: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm $(x_0, y_0)$ có dạng: $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$. Thay $x_0 = 0$, $y_0 = 0$, và $f'(0) = 0$ vào phương trình trên, ta được: $y - 0 = 0 \cdot (x - 0)$, suy ra $y = 0$. Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^2$ tại điểm $x = 0$ là $y = 0$. Đáp án đúng là: $A.~y=0$. Câu 28.2. Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x) = x^2$ tại điểm $x = -1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ điểm tiếp xúc: - Thay $x = -1$ vào hàm số để tìm $y$: \[ y = (-1)^2 = 1 \] - Vậy điểm tiếp xúc là $(-1, 1)$. 2. Tính đạo hàm của hàm số: - Đạo hàm của $f(x) = x^2$ là: \[ f'(x) = 2x \] 3. Tính giá trị của đạo hàm tại điểm $x = -1$: - Thay $x = -1$ vào đạo hàm: \[ f'(-1) = 2 \times (-1) = -2 \] - Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $x = -1$ là $-2$. 4. Lập phương trình tiếp tuyến: - Phương trình tiếp tuyến của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $(x_0, y_0)$ với hệ số góc $k$ là: \[ y - y_0 = k(x - x_0) \] - Thay $x_0 = -1$, $y_0 = 1$, và $k = -2$ vào phương trình trên: \[ y - 1 = -2(x + 1) \] - Rút gọn phương trình: \[ y - 1 = -2x - 2 \] \[ y = -2x - 1 \] Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x) = x^2$ tại điểm $x = -1$ là $y = -2x - 1$. Đáp án đúng là: $A.~y = -2x - 1$. Câu 28.3. Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x) = \frac{1}{x}$ tại điểm $x = 1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ điểm tiếp xúc: - Khi $x = 1$, ta có $y = f(1) = \frac{1}{1} = 1$. - Vậy điểm tiếp xúc là $(1, 1)$. 2. Tính đạo hàm của hàm số: - Đạo hàm của $f(x) = \frac{1}{x}$ là $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$. 3. Tính giá trị đạo hàm tại điểm $x = 1$: - $f'(1) = -\frac{1}{1^2} = -1$. - Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $(1, 1)$ là $-1$. 4. Lập phương trình tiếp tuyến: - Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm $(x_0, y_0)$ với hệ số góc $k$ là: \[ y - y_0 = k(x - x_0) \] - Thay $(x_0, y_0) = (1, 1)$ và $k = -1$ vào phương trình trên, ta được: \[ y - 1 = -1(x - 1) \] - Rút gọn phương trình: \[ y - 1 = -x + 1 \implies y = -x + 2 \] Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x) = \frac{1}{x}$ tại điểm $x = 1$ là $y = -x + 2$. Đáp án đúng là: $A.~y = -x + 2$. Câu 28.4. Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x) = x^3$ tại điểm $x = 1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ điểm tiếp xúc: - Thay $x = 1$ vào hàm số để tìm $y$: \[ y = f(1) = 1^3 = 1 \] - Vậy điểm tiếp xúc là $(1, 1)$. 2. Tính đạo hàm của hàm số: - Đạo hàm của $f(x) = x^3$ là: \[ f'(x) = 3x^2 \] 3. Tính giá trị của đạo hàm tại điểm $x = 1$: - Thay $x = 1$ vào đạo hàm: \[ f'(1) = 3 \cdot 1^2 = 3 \] - Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $(1, 1)$ là $3$. 4. Lập phương trình tiếp tuyến: - Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm $(x_0, y_0)$ với hệ số góc $k$ là: \[ y - y_0 = k(x - x_0) \] - Thay $(x_0, y_0) = (1, 1)$ và $k = 3$ vào phương trình trên: \[ y - 1 = 3(x - 1) \] - Rút gọn phương trình: \[ y - 1 = 3x - 3 \] \[ y = 3x - 2 \] Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x) = x^3$ tại điểm $x = 1$ là $y = 3x - 2$. Đáp án đúng là: $A.~y=3x-2$. Câu 29 Để kiểm tra phương trình tiếp tuyến của một hàm số tại một điểm, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Đạo hàm của hàm số sẽ cho chúng ta hệ số góc của tiếp tuyến tại bất kỳ điểm nào trên đồ thị của hàm số đó. 2. Tính giá trị của đạo hàm tại điểm cần kiểm tra: Điều này sẽ cho chúng ta hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm cụ thể đó. 3. Viết phương trình tiếp tuyến: Sử dụng công thức của phương trình đường thẳng \( y = mx + b \), trong đó \( m \) là hệ số góc và \( b \) là khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng. 4. So sánh với phương trình đã cho: Kiểm tra xem phương trình tiếp tuyến mà chúng ta vừa tìm ra có trùng khớp với phương trình tiếp tuyến đã cho hay không. Bây giờ, giả sử chúng ta có hàm số \( f(x) \) và điểm \( (x_0, y_0) \) cần kiểm tra phương trình tiếp tuyến. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số Giả sử hàm số là \( f(x) = x^2 \). Đạo hàm của nó là: \[ f'(x) = 2x \] Bước 2: Tính giá trị của đạo hàm tại điểm cần kiểm tra Giả sử điểm cần kiểm tra là \( (1, 1) \). Ta tính giá trị của đạo hàm tại \( x = 1 \): \[ f'(1) = 2 \cdot 1 = 2 \] Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \( (1, 1) \) là 2. Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến Phương trình tiếp tuyến có dạng: \[ y - y_0 = m(x - x_0) \] Ở đây, \( m = 2 \), \( x_0 = 1 \), và \( y_0 = 1 \). Thay vào ta có: \[ y - 1 = 2(x - 1) \] \[ y - 1 = 2x - 2 \] \[ y = 2x - 1 \] Bước 4: So sánh với phương trình đã cho Giả sử phương trình tiếp tuyến đã cho là \( y = 2x - 1 \). Chúng ta thấy rằng phương trình tiếp tuyến mà chúng ta vừa tìm ra trùng khớp với phương trình đã cho. Vậy phương trình tiếp tuyến của hàm số \( f(x) = x^2 \) tại điểm \( (1, 1) \) là \( y = 2x - 1 \). Đáp số: Phương trình tiếp tuyến của hàm số \( f(x) = x^2 \) tại điểm \( (1, 1) \) là \( y = 2x - 1 \). Câu 29.1. Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x) = x^2$ tại điểm có tung độ $y = 0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ điểm trên đồ thị có tung độ y = 0: - Ta có $y = x^2$. - Để tìm điểm có tung độ $y = 0$, ta giải phương trình $x^2 = 0$. - Giải phương trình này, ta được $x = 0$. - Vậy điểm cần xét là $(0, 0)$. 2. Tính đạo hàm của hàm số để tìm hệ số góc của tiếp tuyến: - Đạo hàm của $f(x) = x^2$ là $f'(x) = 2x$. - Tại điểm $(0, 0)$, ta thay $x = 0$ vào đạo hàm: $f'(0) = 2 \cdot 0 = 0$. - Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $(0, 0)$ là $0$. 3. Lập phương trình tiếp tuyến: - Phương trình tiếp tuyến của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $(x_0, y_0)$ có dạng $y = f'(x_0)(x - x_0) + y_0$. - Thay $x_0 = 0$, $y_0 = 0$, và $f'(0) = 0$ vào phương trình trên: \[ y = 0 \cdot (x - 0) + 0 = 0 \] - Vậy phương trình tiếp tuyến là $y = 0$. Do đó, phương án đúng là: \[ A.~y = 0 \] Câu 29.2. Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x) = x^2$ tại điểm có hoành độ dương, tung độ $y = 4$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ điểm tiếp xúc: - Ta biết rằng điểm có tung độ $y = 4$. Thay vào phương trình hàm số: \[ 4 = x^2 \] - Giải phương trình này: \[ x^2 = 4 \implies x = 2 \text{ hoặc } x = -2 \] - Vì yêu cầu hoành độ dương, ta chọn $x = 2$. Vậy tọa độ điểm tiếp xúc là $(2, 4)$. 2. Tính đạo hàm của hàm số: - Đạo hàm của $f(x) = x^2$ là: \[ f'(x) = 2x \] 3. Tính hệ số góc của tiếp tuyến: - Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $(2, 4)$ là: \[ f'(2) = 2 \cdot 2 = 4 \] 4. Lập phương trình tiếp tuyến: - Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm $(x_0, y_0)$ với hệ số góc $k$ là: \[ y - y_0 = k(x - x_0) \] - Thay $(x_0, y_0) = (2, 4)$ và $k = 4$ vào phương trình trên: \[ y - 4 = 4(x - 2) \] - Rút gọn phương trình: \[ y - 4 = 4x - 8 \implies y = 4x - 4 \] Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x) = x^2$ tại điểm có hoành độ dương, tung độ $y = 4$ là: \[ \boxed{y = 4x - 4} \] Đáp án đúng là: A. $y = 4x - 4$ Câu 29.3. Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x) = \frac{1}{x}$ tại điểm có hoành độ $x = 2$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tọa độ điểm tiếp xúc. - Thay $x = 2$ vào hàm số để tìm tung độ của điểm tiếp xúc: \[ y = f(2) = \frac{1}{2} \] Vậy điểm tiếp xúc là $(2, \frac{1}{2})$. Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số $f(x)$. - Đạo hàm của $f(x) = \frac{1}{x}$ là: \[ f'(x) = -\frac{1}{x^2} \] Bước 3: Tính giá trị của đạo hàm tại điểm $x = 2$. - Thay $x = 2$ vào đạo hàm: \[ f'(2) = -\frac{1}{2^2} = -\frac{1}{4} \] Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $(2, \frac{1}{2})$ là $-\frac{1}{4}$. Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến. - Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm $(x_0, y_0)$ có dạng: \[ y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \] Thay $(x_0, y_0) = (2, \frac{1}{2})$ và $f'(2) = -\frac{1}{4}$ vào phương trình trên: \[ y - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}(x - 2) \] Rearrange the equation to standard form: \[ y - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2} \] \[ y = -\frac{1}{4}x + 1 \] Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{x}$ tại điểm có hoành độ $x = 2$ là: \[ y = -\frac{1}{4}x + 1 \]