Giúp mình với!

Bài II 1) Gọi giá tiền mỗi kg táo và cam tuần trước lần lượt là x (nghìn đồng) và y (nghìn đồng, điều kiện: x > 0, y > 0). Theo đề bài ta có: \[ x + y = 130 \] Hôm nay, giá táo và cam tăng lần lượt là 20% và 15%, nên ta có phương trình: \[ 1,2x + 1,15y = 154 \] Ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} x + y = 130 \\ 1,2x + 1,15y = 154 \end{cases} \] Từ phương trình đầu tiên, ta có: \[ y = 130 - x \] Thay vào phương trình thứ hai: \[ 1,2x + 1,15(130 - x) = 154 \] \[ 1,2x + 149,5 - 1,15x = 154 \] \[ 0,05x = 4,5 \] \[ x = 90 \] Thay x = 90 vào phương trình đầu tiên: \[ y = 130 - 90 = 40 \] Vậy giá tiền mỗi kg táo và cam hôm nay lần lượt là: \[ 90 \times 1,2 = 108 \text{ (nghìn đồng)} \] \[ 40 \times 1,15 = 46 \text{ (nghìn đồng)} \] Đáp số: Giá tiền mỗi kg táo hôm nay là 108 nghìn đồng, giá tiền mỗi kg cam hôm nay là 46 nghìn đồng. 2) Diện tích bề mặt quả bóng rổ được tính theo công thức diện tích xung quanh của hình cầu: \[ S = 4 \pi r^2 \] Trong đó, r là bán kính của quả bóng rổ. Đường kính của quả bóng rổ là 24,5 cm, nên bán kính là: \[ r = \frac{24,5}{2} = 12,25 \text{ (cm)} \] Thay vào công thức: \[ S = 4 \times 3,14 \times (12,25)^2 \] \[ S = 4 \times 3,14 \times 150,0625 \] \[ S = 12 \times 3,14 \times 150,0625 \] \[ S = 1884,735 \text{ (cm}^2) \] Đáp số: Diện tích bề mặt quả bóng rổ là 1884,735 cm². Bài III 1) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}lx+\frac1y=3\\2x-\frac1y=3\end{array}\right.$ Điều kiện xác định: $y \neq 0$ Cộng hai phương trình lại ta có: \[ x + \frac{1}{y} + 2x - \frac{1}{y} = 3 + 3 \] \[ 3x = 6 \] \[ x = 2 \] Thay $x = 2$ vào phương trình đầu tiên: \[ 2 + \frac{1}{y} = 3 \] \[ \frac{1}{y} = 1 \] \[ y = 1 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = (2, 1)$. 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol $(P):~y = x^2$ và đường thẳng $d:~y = 2x + |m| + 1$ (m là tham số). a) Chứng minh đường thẳng d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và parabol (P): \[ x^2 = 2x + |m| + 1 \] \[ x^2 - 2x - |m| - 1 = 0 \] Ta xét phương trình bậc hai này: \[ x^2 - 2x - (|m| + 1) = 0 \] Để đường thẳng d luôn cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt, phương trình trên phải có 2 nghiệm phân biệt. Điều kiện để phương trình bậc hai có 2 nghiệm phân biệt là: \[ \Delta = b^2 - 4ac > 0 \] Ở đây, $a = 1$, $b = -2$, $c = -( |m| + 1 )$. Ta có: \[ \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(|m| + 1)) \] \[ \Delta = 4 + 4(|m| + 1) \] \[ \Delta = 4 + 4|m| + 4 \] \[ \Delta = 8 + 4|m| \] Vì $|m| \geq 0$, nên $4|m| \geq 0$. Do đó: \[ \Delta = 8 + 4|m| > 0 \] Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt, tức là đường thẳng d luôn cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt. b) Tìm m để đường thẳng d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ $x_1, x_2$ (với $x_1 < x_2$) thỏa mãn $|x_1x_2| + |x_2| - |x_1| = 8$. Từ phương trình $x^2 - 2x - (|m| + 1) = 0$, ta có: \[ x_1 + x_2 = 2 \] \[ x_1 x_2 = -(|m| + 1) \] Theo đề bài, ta có: \[ |x_1 x_2| + |x_2| - |x_1| = 8 \] Vì $x_1 x_2 = -(|m| + 1)$, nên $|x_1 x_2| = |m| + 1$. Thay vào ta có: \[ |m| + 1 + |x_2| - |x_1| = 8 \] Do $x_1 + x_2 = 2$, ta có thể giả sử $x_1 < 0$ và $x_2 > 0$. Khi đó: \[ |x_2| = x_2 \] \[ |x_1| = -x_1 \] Vậy: \[ |m| + 1 + x_2 + x_1 = 8 \] \[ |m| + 1 + 2 = 8 \] \[ |m| + 3 = 8 \] \[ |m| = 5 \] Vậy $m = 5$ hoặc $m = -5$. Đáp số: 1) Nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = (2, 1)$. 2) a) Đường thẳng d luôn cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt. b) $m = 5$ hoặc $m = -5$. Bài IV a) Ta có $\widehat{MAO}=90^\circ$ (góc giữa tiếp tuyến và bán kính) và $\widehat{MBO}=90^\circ$ (góc giữa tiếp tuyến và bán kính). Tứ giác MAOB có $\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=180^\circ$, nên tứ giác MAOB nội tiếp. b) Ta có $\widehat{MAC}=\widehat{MBD}$ (hai góc so le trong). $\widehat{ACM}=\widehat{BDM}$ (cùng chắn cung AB). Do đó tam giác MAC và tam giác MDB đồng dạng (g.g). Từ đó ta có tỉ lệ $\frac{MA}{MD}=\frac{MC}{MA}$, suy ra $MA^2=MD.MC$. Ta cũng có $\widehat{BDM}=\widehat{MAC}$. Mà $\widehat{MAC}=\widehat{ADB}$ (cùng chắn cung BC), nên $\widehat{BDM}=\widehat{ADB}$. c) Ta có $\widehat{HAB}=\widehat{HBA}$ (tứ giác MAOB nội tiếp). Suy ra HA = HB. Tam giác HAB cân tại H, đường cao HO cũng là đường trung trực của AB. Suy ra F đối xứng với D qua HO, suy ra F đối xứng với D qua MO. Mà C đối xứng với D qua MO, nên C, H, F thẳng hàng. Bài V Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = \frac{1}{a^2 + b^2} + \frac{5}{ab} + ab \) với điều kiện \( a + b \leq 2\sqrt{2} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: Ta có: \[ (a^2 + b^2)(1 + 1) \geq (a + b)^2 \] Điều này dẫn đến: \[ 2(a^2 + b^2) \geq (a + b)^2 \] Do đó: \[ a^2 + b^2 \geq \frac{(a + b)^2}{2} \] 2. Áp dụng điều kiện \( a + b \leq 2\sqrt{2} \): Thay vào bất đẳng thức trên, ta có: \[ a^2 + b^2 \geq \frac{(2\sqrt{2})^2}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] Vậy: \[ a^2 + b^2 \geq 4 \] 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của \( \frac{1}{a^2 + b^2} \): Vì \( a^2 + b^2 \geq 4 \), nên: \[ \frac{1}{a^2 + b^2} \leq \frac{1}{4} \] 4. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: Ta có: \[ ab \leq \left( \frac{a + b}{2} \right)^2 \leq \left( \frac{2\sqrt{2}}{2} \right)^2 = 2 \] Do đó: \[ \frac{5}{ab} \geq \frac{5}{2} \] 5. Tổng hợp các thành phần: Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của: \[ P = \frac{1}{a^2 + b^2} + \frac{5}{ab} + ab \] Kết hợp các kết quả đã tìm được: \[ \frac{1}{a^2 + b^2} \leq \frac{1}{4}, \quad \frac{5}{ab} \geq \frac{5}{2}, \quad ab \leq 2 \] 6. Kiểm tra giá trị nhỏ nhất: Để \( P \) đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần \( a = b \). Giả sử \( a = b \), ta có: \[ a + b = 2a \leq 2\sqrt{2} \implies a \leq \sqrt{2} \] Chọn \( a = b = \sqrt{2} \): \[ a^2 + b^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 = 2 + 2 = 4 \] \[ ab = (\sqrt{2})(\sqrt{2}) = 2 \] Thay vào biểu thức \( P \): \[ P = \frac{1}{4} + \frac{5}{2} + 2 = \frac{1}{4} + \frac{10}{4} + \frac{8}{4} = \frac{19}{4} \] Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P \) là \( \frac{19}{4} \), đạt được khi \( a = b = \sqrt{2} \). Đáp số: \( \frac{19}{4} \)