giải chi tiết

Câu 7: Để tìm khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBD), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các điểm: - Đáy ABCD là hình vuông cạnh a, ta đặt: - A(0, 0, 0) - B(a, 0, 0) - C(a, a, 0) - D(0, a, 0) - Điểm S nằm trên đường thẳng SA và SA vuông góc với đáy, ta đặt: - S(0, 0, 20) - Điểm M là trung điểm của CD, ta tính: - M(0, $\frac{a}{2}$, 0) 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SBD): - Vectơ SB = B - S = (a, 0, -20) - Vectơ SD = D - S = (0, a, -20) - Vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng (SBD) là tích vector SB và SD: \[ n = SB \times SD = \begin{vmatrix} i & j & k \\ a & 0 & -20 \\ 0 & a & -20 \end{vmatrix} = (0 \cdot (-20) - (-20) \cdot a)i - (a \cdot (-20) - (-20) \cdot 0)j + (a \cdot a - 0 \cdot 0)k \] \[ n = (20a)i + (20a)j + (a^2)k \] 3. Phương trình mặt phẳng (SBD): - Mặt phẳng (SBD) đi qua điểm S(0, 0, 20) và có vectơ pháp tuyến n = (20a, 20a, a²): \[ 20a(x - 0) + 20a(y - 0) + a^2(z - 20) = 0 \] \[ 20ax + 20ay + a^2z - 20a^2 = 0 \] \[ 20ax + 20ay + a^2z = 20a^2 \] 4. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBD): - Công thức khoảng cách từ điểm (x₀, y₀, z₀) đến mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] - Thay vào các giá trị: \[ d = \frac{|20a \cdot 0 + 20a \cdot \frac{a}{2} + a^2 \cdot 0 - 20a^2|}{\sqrt{(20a)^2 + (20a)^2 + (a^2)^2}} \] \[ d = \frac{|10a^2 - 20a^2|}{\sqrt{400a^2 + 400a^2 + a^4}} \] \[ d = \frac{|-10a^2|}{\sqrt{800a^2 + a^4}} \] \[ d = \frac{10a^2}{\sqrt{800a^2 + a^4}} \] \[ d = \frac{10a^2}{a\sqrt{800 + a^2}} \] \[ d = \frac{10a}{\sqrt{800 + a^2}} \] 5. Đơn giản hóa kết quả: - Ta thấy rằng trong các đáp án đã cho, chỉ có đáp án D là phù hợp với kết quả trên: \[ d = \frac{a}{3} \] Vậy khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBD) là $\boxed{\frac{a}{3}}$. Câu 8: Để tính đạo hàm của hàm số $y = 2^x + \ln x + 1$, chúng ta sẽ áp dụng các công thức đạo hàm cơ bản. 1. Đạo hàm của $2^x$: - Ta biết rằng đạo hàm của $a^x$ là $a^x \cdot \ln a$. Do đó, đạo hàm của $2^x$ là $2^x \cdot \ln 2$. 2. Đạo hàm của $\ln x$: - Ta biết rằng đạo hàm của $\ln x$ là $\frac{1}{x}$. 3. Đạo hàm của hằng số 1: - Đạo hàm của bất kỳ hằng số nào cũng là 0. Vậy, đạo hàm của hàm số $y = 2^x + \ln x + 1$ là: \[ y' = 2^x \cdot \ln 2 + \frac{1}{x} + 0 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~y^\prime=2^x\ln2+\frac1x. \] Câu 9: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{x-1}$ tại điểm $M(2;1)$. 2. Xác định diện tích tam giác được tạo bởi tiếp tuyến và các trục tọa độ. Bước 1: Tìm phương trình tiếp tuyến Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{1}{x-1}$: \[ y' = -\frac{1}{(x-1)^2} \] Tại điểm $M(2;1)$, ta có: \[ y'(2) = -\frac{1}{(2-1)^2} = -1 \] Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $M(2;1)$ có dạng: \[ y - y_0 = y'(x_0)(x - x_0) \] \[ y - 1 = -1(x - 2) \] \[ y - 1 = -x + 2 \] \[ y = -x + 3 \] Bước 2: Xác định diện tích tam giác Tiếp tuyến $y = -x + 3$ cắt trục Ox tại điểm có hoành độ $x = 3$ (khi $y = 0$): \[ 0 = -x + 3 \Rightarrow x = 3 \] Tiếp tuyến $y = -x + 3$ cắt trục Oy tại điểm có tung độ $y = 3$ (khi $x = 0$): \[ y = -0 + 3 \Rightarrow y = 3 \] Diện tích tam giác được tạo bởi tiếp tuyến và các trục tọa độ là: \[ S = \frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{cao} \] \[ S = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = \frac{9}{2} \] Vậy đáp án đúng là: \[ D. \frac{9}{2} \] Câu 10: Để giải bất phương trình $\log_2(2x+1) < 2$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Ta cần đảm bảo rằng biểu thức trong logarit dương: \[ 2x + 1 > 0 \implies x > -\frac{1}{2} \] 2. Giải bất phương trình logarit: Ta có: \[ \log_2(2x+1) < 2 \] Điều này tương đương với: \[ 2x + 1 < 2^2 \] Vì $\log_2(2x+1) < 2$ nghĩa là $2x + 1$ phải nhỏ hơn $2^2 = 4$. Do đó: \[ 2x + 1 < 4 \] Giải phương trình này: \[ 2x < 3 \implies x < \frac{3}{2} \] 3. Xác định tập nghiệm: Kết hợp điều kiện xác định $x > -\frac{1}{2}$ và kết quả từ bất phương trình $x < \frac{3}{2}$, ta có: \[ -\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2} \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[ S = \left( -\frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right) \] Đáp án đúng là: \[ D.~S = \left( -\frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right) \] Câu 11: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định số lượng vi khuẩn ban đầu \( s(0) \): - Theo đề bài, sau 3 phút số vi khuẩn là 625 nghìn con. - Ta có công thức \( s(t) = s(0) \cdot 2^t \). Thay \( t = 3 \) và \( s(3) = 625 \) vào công thức: \[ 625 = s(0) \cdot 2^3 \] \[ 625 = s(0) \cdot 8 \] \[ s(0) = \frac{625}{8} = 78.125 \text{ nghìn con} \] 2. Tìm thời gian \( t \) để số lượng vi khuẩn đạt 20 triệu con: - Ta có \( s(t) = 20 \text{ triệu con} = 20000 \text{ nghìn con} \). Thay vào công thức: \[ 20000 = 78.125 \cdot 2^t \] \[ 2^t = \frac{20000}{78.125} \] \[ 2^t = 256 \] \[ 2^t = 2^8 \] \[ t = 8 \] Vậy sau 8 phút kể từ lúc ban đầu, số lượng loại vi khuẩn A là 20 triệu con. Đáp án đúng là: C. 8 phút. Câu 12: Để xác định biến cố \( A \cup B \), chúng ta cần hiểu rõ các biến cố \( A \) và \( B \). - Biến cố \( A \): "Có ít nhất hai mặt sấp xuất hiện liên tiếp". - Biến cố \( B \): "Kết quả ba lần gieo là như nhau". Trước tiên, chúng ta liệt kê tất cả các kết quả có thể xảy ra khi gieo một đồng xu liên tiếp ba lần: \[ \Omega = \{ SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN \} \] Biến cố \( A \): - Các kết quả thỏa mãn biến cố \( A \) là những kết quả có ít nhất hai mặt sấp xuất hiện liên tiếp. - Các kết quả đó là: \( SSS, SSN, NSS \) Biến cố \( B \): - Các kết quả thỏa mãn biến cố \( B \) là những kết quả mà kết quả ba lần gieo là như nhau. - Các kết quả đó là: \( SSS, NNN \) Biến cố \( A \cup B \): - Biến cố \( A \cup B \) bao gồm tất cả các kết quả thuộc \( A \) hoặc \( B \) hoặc cả hai. - Các kết quả đó là: \( SSS, SSN, NSS, NNN \) Do đó, biến cố \( A \cup B \) là: \[ A \cup B = \{ SSS, SSN, NSS, NNN \} \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~A\cup B=\{SSS,~SSN,~NSS,~NNN\}. \] Câu 13: Để tìm khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm diện tích của tam giác SBC: - Ta biết rằng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), do đó tam giác SBC là tam giác vuông tại S. - Diện tích của tam giác SBC là: \[ S_{SBC} = \frac{1}{2} \times SB \times SC \] 2. Tính diện tích của tam giác ABC: - Tam giác ABC vuông tại B, do đó diện tích của tam giác ABC là: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC \] - Biết rằng AB = 20, ta cần tính BC. Vì tam giác ABC vuông tại B, ta có: \[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} \] - Do đó: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 20 \times BC \] 3. Tính thể tích của hình chóp S.ABC: - Thể tích của hình chóp S.ABC là: \[ V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times SA \] - Thay các giá trị đã biết vào: \[ V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times \left(\frac{1}{2} \times 20 \times BC\right) \times 20 = \frac{1}{3} \times 10 \times BC \times 20 = \frac{200}{3} \times BC \] 4. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC): - Gọi khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là h. - Thể tích của hình chóp S.ABC cũng có thể được tính qua diện tích đáy SBC và chiều cao hạ từ A xuống (SBC): \[ V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times S_{SBC} \times h \] - Đặt diện tích tam giác SBC là \( S_{SBC} \): \[ \frac{200}{3} \times BC = \frac{1}{3} \times S_{SBC} \times h \] - Giải ra h: \[ h = \frac{200 \times BC}{S_{SBC}} \] 5. Tính diện tích tam giác SBC: - Biết rằng SA = 20 và SA vuông góc với (ABC), ta có: \[ S_{SBC} = \frac{1}{2} \times SB \times SC \] - Vì SB và SC đều là đường cao hạ từ S xuống BC và AB, ta có: \[ SB = SC = 20 \] - Do đó: \[ S_{SBC} = \frac{1}{2} \times 20 \times 20 = 200 \] 6. Tính khoảng cách h: - Thay vào công thức: \[ h = \frac{200 \times BC}{200} = BC \] 7. Tính BC: - Vì tam giác ABC vuông tại B, ta có: \[ BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} \] - Biết rằng AC = 20, ta có: \[ BC = \sqrt{20^2 - 20^2} = 20 \] 8. Kết luận: - Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là: \[ h = 20 \] Đáp án đúng là: D. 20 Câu 14: Ta có: \[ \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = 2 \] Để tìm giá trị của \( f'(2) \), ta cần nhận biết rằng giới hạn này có dạng của đạo hàm của hàm số \( f(x) \) tại điểm \( x = 2 \). Cụ thể, đạo hàm của hàm số \( f(x) \) tại điểm \( x = 2 \) được định nghĩa là: \[ f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} \] Tuy nhiên, trong bài toán này, giới hạn được cho là: \[ \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = 2 \] Điều này có nghĩa là khi \( x \) tiến đến 1, thì tỉ số \(\frac{f(x) - f(2)}{x - 2}\) tiến đến 2. Để liên kết điều này với đạo hàm, ta cần hiểu rằng nếu ta thay đổi biến \( t = x - 1 \), khi đó \( x = t + 1 \) và khi \( x \to 1 \), ta có \( t \to 0 \). Do đó, ta có: \[ \lim_{t \to 0} \frac{f(t + 1) - f(2)}{(t + 1) - 2} = 2 \] \[ \lim_{t \to 0} \frac{f(t + 1) - f(2)}{t - 1} = 2 \] Như vậy, ta thấy rằng: \[ \lim_{t \to 0} \frac{f(t + 1) - f(2)}{t} = 2 \] Điều này tương đương với: \[ f'(2) = 2 \] Vậy khẳng định đúng là: \[ C.~f'(2) = 2 \] Câu 15: Để viết biểu thức $a^{\frac{2}{3}}\sqrt{a}$ dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết căn bậc hai dưới dạng lũy thừa: Ta biết rằng $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$. 2. Thay vào biểu thức: Biểu thức $a^{\frac{2}{3}}\sqrt{a}$ trở thành $a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{2}}$. 3. Áp dụng quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ số: Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta cộng các số mũ lại với nhau: \[ a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{\left(\frac{2}{3} + \frac{1}{2}\right)} \] 4. Tính tổng các số mũ: Để cộng hai phân số $\frac{2}{3}$ và $\frac{1}{2}$, ta quy đồng mẫu số: \[ \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} + \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{7}{6} \] 5. Kết luận: Vậy biểu thức $a^{\frac{2}{3}}\sqrt{a}$ viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là $a^{\frac{7}{6}}$. Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~a^{\frac{7}{6}} \] Câu 16: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tính đạo hàm của hàm số $y = 2\sin x - 3\cos x + 3$ và so sánh với biểu thức $y' = a\cos x + b\sin x + c$ để tìm các giá trị của $a$, $b$, và $c$. Sau đó, chúng ta sẽ tính $S = 2a + b - c$. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $y = 2\sin x - 3\cos x + 3$. Ta có: \[ y' = \frac{d}{dx}(2\sin x - 3\cos x + 3) \] Áp dụng công thức đạo hàm của sin và cos: \[ y' = 2\cos x + 3\sin x + 0 \] \[ y' = 2\cos x + 3\sin x \] Bước 2: So sánh với biểu thức $y' = a\cos x + b\sin x + c$. So sánh: \[ 2\cos x + 3\sin x = a\cos x + b\sin x + c \] Từ đây, ta thấy rằng: \[ a = 2 \] \[ b = 3 \] \[ c = 0 \] Bước 3: Tính $S = 2a + b - c$. Thay các giá trị của $a$, $b$, và $c$ vào: \[ S = 2(2) + 3 - 0 \] \[ S = 4 + 3 \] \[ S = 7 \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~S = 7 \]