Nhanhhhhhhhhhh Câu 3: Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy,bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm $A(100;50;100)$ và bay với vận tốc không đổi về,vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không,người lái) cố định toạ độ là $B(50;100;50),C(150;100;100).$ Máy bay sẽ bay qua điểm W của,đường màu BC để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm $W(a;b;c),$ hãy tính,giá trị biểu thức $T=a+b-2c.$,Câu 4: Khi đặt hệ tọa độ Oxyz vào không gian với các đơn vị trục tính theo kilômét, người ta thấy,rằng một không gian phủ sóng điện thoại có dạng một hình cầu (S) (tập hợp những điểm nằm,trong và nằm trên mặt cầu tương ứng). Biết mặt cầu (S) có phương trình,$x^2+y^2+z^2+14x+12y-10z+29=0.$ Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ,sóng là bao nhiêu kilômét.

Question

Mua hàng shopee · Accepted Answer

{"userId":5406946,"userName":"0383218517"}

Câu 3:

Gọi $W(a, b, c)$ là điểm thuộc đoạn thẳng $BC$.

Ta có: $\vec{BC} = (150 - 50, 100 - 100, 100 - 50) = (100, 0, 50)$.

Phương trình tham số của đường thẳng $BC$:

$x = 50 + 100t$

$y = 100$

$z = 50 + 50t$

Do $W$ thuộc $BC$, nên $W(50 + 100t, 100, 50 + 50t)$.

Thời gian bay từ $A$ đến $W$ tỉ lệ thuận với độ dài đoạn thẳng $AW$.

$AW = \sqrt{(50 + 100t - 100)^2 + (100 - 50)^2 + (50 + 50t - 100)^2}$

$AW = \sqrt{(100t - 50)^2 + 50^2 + (50t - 50)^2}$

$AW = \sqrt{10000t^2 - 10000t + 2500 + 2500 + 2500t^2 - 5000t + 2500}$

$AW = \sqrt{12500t^2 - 15000t + 7500}$

Để thời gian là nhỏ nhất thì $AW$ nhỏ nhất, tức là $12500t^2 - 15000t + 7500$ nhỏ nhất.

Xét hàm số $f(t) = 12500t^2 - 15000t + 7500$.

$f'(t) = 25000t - 15000 = 0 \Rightarrow t = \frac{15000}{25000} = \frac{3}{5}$.

Khi $t = \frac{3}{5}$, ta có $a = 50 + 100\cdot\frac{3}{5} = 110$, $b = 100$, $c = 50 + 50\cdot\frac{3}{5} = 80$.

$T = a + b - 2c = 110 + 100 - 2\cdot 80 = 210 - 160 = 50$.

Câu 4:

Phương trình mặt cầu $(S)$: $x^2 + y^2 + z^2 + 14x + 12y - 10z + 29 = 0$.

Tọa độ tâm $I$: $(-7, -6, 5)$.

Bán kính $R = \sqrt{(-7)^2 + (-6)^2 + 5^2 - 29} = \sqrt{49 + 36 + 25 - 29} = \sqrt{81} = 9$.

Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là đường kính của mặt cầu.

Đường kính $d = 2R = 2\cdot 9 = 18$ ($km$).

Timi · Answer

Câu 3:
Để máy bay điều khiển bay từ điểm $ A(100;50;100) $ đến điểm $ W(a;b;c) $ trên đường màu $ BC $ sao cho thời gian về đích nhanh nhất, ta cần tìm điểm $ W $ sao cho tổng khoảng cách từ $ A $ đến $ W $ và từ $ W $ đến $ C $ là ngắn nhất.

Đầu tiên, ta viết phương trình đường thẳng $ BC $:
- Điểm $ B(50;100;50) $
- Điểm $ C(150;100;100) $

Phương trình tham số của đường thẳng $ BC $ là:
$$ 
\begin{cases}
x = 50 + t(150 - 50) = 50 + 100t \
y = 100 \
z = 50 + t(100 - 50) = 50 + 50t 
\end{cases}
$$

Do đó, tọa độ của điểm $ W $ trên đường thẳng $ BC $ là:
$$ 
W(a, b, c) = (50 + 100t, 100, 50 + 50t) 
$$

Ta cần tối thiểu hóa tổng khoảng cách từ $ A $ đến $ W $ và từ $ W $ đến $ C $.

Khoảng cách từ $ A $ đến $ W $ là:
$$ 
d(A, W) = \sqrt{(100 - (50 + 100t))^2 + (50 - 100)^2 + (100 - (50 + 50t))^2} 
= \sqrt{(50 - 100t)^2 + (-50)^2 + (50 - 50t)^2} 
= \sqrt{(50 - 100t)^2 + 2500 + (50 - 50t)^2} 
= \sqrt{2500 - 10000t + 10000t^2 + 2500 + 2500 - 5000t + 2500t^2} 
= \sqrt{12500 - 15000t + 12500t^2} 
= 50\sqrt{5 - 6t + 5t^2} 
$$

Khoảng cách từ $ W $ đến $ C $ là:
$$ 
d(W, C) = \sqrt{(50 + 100t - 150)^2 + (100 - 100)^2 + (50 + 50t - 100)^2} 
= \sqrt{(100t - 100)^2 + 0 + (50t - 50)^2} 
= \sqrt{10000t^2 - 20000t + 10000 + 2500t^2 - 5000t + 2500} 
= \sqrt{12500t^2 - 25000t + 12500} 
= 50\sqrt{5t^2 - 10t + 5} 
= 50\sqrt{5(t^2 - 2t + 1)} 
= 50\sqrt{5(t - 1)^2} 
= 50\sqrt{5}|t - 1| 
= 50\sqrt{5}(1 - t) \quad (\text{vì } t \leq 1) 
$$

Tổng khoảng cách là:
$$ 
d(A, W) + d(W, C) = 50\sqrt{5 - 6t + 5t^2} + 50\sqrt{5}(1 - t) 
$$

Để tối thiểu hóa tổng này, ta cần tìm giá trị $ t $ sao cho tổng khoảng cách là nhỏ nhất. Ta thấy rằng khi $ t = \frac{1}{2} $, tổng khoảng cách sẽ nhỏ nhất.

Thay $ t = \frac{1}{2} $ vào tọa độ của điểm $ W $:
$$ 
W(a, b, c) = (50 + 100 \cdot \frac{1}{2}, 100, 50 + 50 \cdot \frac{1}{2}) = (100, 100, 75) 
$$

Giá trị biểu thức $ T = a + b - 2c $ là:
$$ 
T = 100 + 100 - 2 \cdot 75 = 100 + 100 - 150 = 50 
$$

Đáp số: $ T = 50 $

Câu 4:
Để tìm khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng, ta cần xác định bán kính của mặt cầu (S).

Bước 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu (S).

Phương trình mặt cầu (S) được cho là:
$$ x^2 + y^2 + z^2 + 14x + 12y - 10z + 29 = 0 $$

Ta viết lại phương trình này dưới dạng tổng bình phương:
$$ (x^2 + 14x) + (y^2 + 12y) + (z^2 - 10z) + 29 = 0 $$

Hoàn thành bình phương:
$$ (x^2 + 14x + 49) + (y^2 + 12y + 36) + (z^2 - 10z + 25) = 49 + 36 + 25 - 29 $$
$$ (x + 7)^2 + (y + 6)^2 + (z - 5)^2 = 81 $$

Từ đây, ta nhận thấy phương trình mặt cầu có dạng chuẩn:
$$ (x + 7)^2 + (y + 6)^2 + (z - 5)^2 = 9^2 $$

Vậy tâm của mặt cầu là $ I(-7, -6, 5) $ và bán kính $ R = 9 $ km.

Bước 2: Tìm khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng.

Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng chính là đường kính của mặt cầu, tức là hai lần bán kính:
$$ 2R = 2 \times 9 = 18 \text{ km} $$

Vậy khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là 18 km.