lllllllllllllllllllllllllll

Câu 11. Để tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $(d_1)$ và $(d_2)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình tham số của mỗi đường thẳng: - Đường thẳng $(d_1)$ có phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 22 + 2t \\ y = 55 + 5t \end{array} \right. \] - Đường thẳng $(d_2)$ có phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 12 + 4t' \\ y = -15 - 5t' \end{array} \right. \] 2. Tìm tọa độ giao điểm: - Giao điểm của hai đường thẳng là điểm có tọa độ $(x, y)$ thỏa mãn cả hai phương trình tham số. - Ta đặt $x$ và $y$ của $(d_1)$ bằng $x$ và $y$ của $(d_2)$: \[ 22 + 2t = 12 + 4t' \quad \text{(1)} \] \[ 55 + 5t = -15 - 5t' \quad \text{(2)} \] 3. Giải hệ phương trình: - Từ phương trình (1): \[ 22 + 2t = 12 + 4t' \implies 2t - 4t' = 12 - 22 \implies 2t - 4t' = -10 \implies t - 2t' = -5 \quad \text{(3)} \] - Từ phương trình (2): \[ 55 + 5t = -15 - 5t' \implies 5t + 5t' = -15 - 55 \implies 5t + 5t' = -70 \implies t + t' = -14 \quad \text{(4)} \] 4. Giải hệ phương trình (3) và (4): - Nhân phương trình (4) với 2: \[ 2(t + t') = 2(-14) \implies 2t + 2t' = -28 \quad \text{(5)} \] - Cộng phương trình (3) và (5): \[ (t - 2t') + (2t + 2t') = -5 + (-28) \implies 3t = -33 \implies t = -11 \] - Thay $t = -11$ vào phương trình (4): \[ -11 + t' = -14 \implies t' = -14 + 11 \implies t' = -3 \] 5. Tìm tọa độ giao điểm: - Thay $t = -11$ vào phương trình tham số của $(d_1)$: \[ x = 22 + 2(-11) = 22 - 22 = 0 \] \[ y = 55 + 5(-11) = 55 - 55 = 0 \] - Vậy tọa độ giao điểm là $(0, 0)$. Đáp án: D. $(0, 0)$ Câu 12. Để hai đường thẳng $(d_1)$ và $(d_2)$ song song nhau, ta cần thỏa mãn điều kiện: \[ \frac{3m}{m^2 + 2} = \frac{2}{2m} \neq \frac{6}{-6} \] Trước tiên, ta giải phương trình: \[ \frac{3m}{m^2 + 2} = \frac{2}{2m} \] Nhân cả hai vế với $(m^2 + 2) \cdot 2m$, ta có: \[ 3m \cdot 2m = 2 \cdot (m^2 + 2) \] \[ 6m^2 = 2m^2 + 4 \] \[ 6m^2 - 2m^2 = 4 \] \[ 4m^2 = 4 \] \[ m^2 = 1 \] \[ m = 1 \text{ hoặc } m = -1 \] Tiếp theo, ta kiểm tra điều kiện $\frac{3m}{m^2 + 2} \neq \frac{6}{-6}$: \[ \frac{3m}{m^2 + 2} \neq -1 \] Thay $m = 1$ vào: \[ \frac{3 \cdot 1}{1^2 + 2} = \frac{3}{3} = 1 \neq -1 \] Thay $m = -1$ vào: \[ \frac{3 \cdot (-1)}{(-1)^2 + 2} = \frac{-3}{3} = -1 \] Do đó, $m = -1$ không thỏa mãn điều kiện $\frac{3m}{m^2 + 2} \neq -1$. Vậy chỉ có $m = 1$ thỏa mãn tất cả các điều kiện. Đáp án đúng là: B. $m = 1$ Câu 13. Để tính khoảng cách từ điểm \( M(5; -1) \) đến đường thẳng \( (d): 3x + 2y + 13 = 0 \), ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] Trong đó: - \( A = 3 \) - \( B = 2 \) - \( C = 13 \) - \( (x_0, y_0) = (5, -1) \) Bước 1: Thay các giá trị vào công thức: \[ d = \frac{|3 \cdot 5 + 2 \cdot (-1) + 13|}{\sqrt{3^2 + 2^2}} \] Bước 2: Tính toán biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối: \[ 3 \cdot 5 + 2 \cdot (-1) + 13 = 15 - 2 + 13 = 26 \] Bước 3: Tính giá trị tuyệt đối: \[ |26| = 26 \] Bước 4: Tính căn bậc hai ở mẫu số: \[ \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \] Bước 5: Thay các giá trị đã tính vào công thức: \[ d = \frac{26}{\sqrt{13}} \] Bước 6: Rút gọn kết quả: \[ d = \frac{26}{\sqrt{13}} = 2 \sqrt{13} \] Vậy khoảng cách từ điểm \( M(5; -1) \) đến đường thẳng \( (d): 3x + 2y + 13 = 0 \) là \( 2 \sqrt{13} \). Đáp án đúng là: \( C.~2\sqrt{13} \). Câu 14. Để tìm khoảng cách từ điểm \( M(15;1) \) đến đường thẳng \( (d): \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 3t \\ y = t \end{array} \right. \), ta thực hiện các bước sau: 1. Viết phương trình đường thẳng \( (d) \) dưới dạng đại lượng: - Từ phương trình tham số, ta có: \[ y = t \quad \text{và} \quad x = 2 + 3t \] - Thay \( t = y \) vào phương trình \( x = 2 + 3t \): \[ x = 2 + 3y \] - Sắp xếp lại phương trình này thành dạng đại lượng: \[ x - 3y - 2 = 0 \] 2. Áp dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: - Công thức khoảng cách từ điểm \( (x_0, y_0) \) đến đường thẳng \( ax + by + c = 0 \) là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] - Ở đây, \( a = 1 \), \( b = -3 \), \( c = -2 \), \( x_0 = 15 \), \( y_0 = 1 \). 3. Thay các giá trị vào công thức: \[ d = \frac{|1 \cdot 15 + (-3) \cdot 1 + (-2)|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2}} \] \[ d = \frac{|15 - 3 - 2|}{\sqrt{1 + 9}} \] \[ d = \frac{|10|}{\sqrt{10}} \] \[ d = \frac{10}{\sqrt{10}} \] \[ d = \sqrt{10} \] Vậy khoảng cách từ điểm \( M(15;1) \) đến đường thẳng \( (d) \) là \( \sqrt{10} \). Đáp án đúng là \( A.~\sqrt{10} \). Câu 15. Để tính cosin của góc giữa hai đường thẳng, ta cần biết phương trình của hai đường thẳng đó. Tuy nhiên, trong đề bài không cung cấp phương trình của hai đường thẳng. Do đó, chúng ta sẽ giả sử rằng hai đường thẳng này đã được cho và chúng ta sẽ áp dụng công thức tính cosin của góc giữa hai đường thẳng. Giả sử hai đường thẳng lần lượt có vectơ法向量分别为$\vec{n_1}$和$\vec{n_2}$。两直线之间的夹角余弦公式为： \[ \cos \theta = \left| \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} \right| \] 假设给定的两个法向量分别是$\vec{n_1} = (a_1, b_1)$和$\vec{n_2} = (a_2, b_2)$，那么我们可以计算它们的点积和模长： \[ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = a_1 a_2 + b_1 b_2 \] \[ |\vec{n_1}| = \sqrt{a_1^2 + b_1^2} \] \[ |\vec{n_2}| = \sqrt{a_2^2 + b_2^2} \] 将这些值代入公式中，我们得到： \[ \cos \theta = \left| \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2}} \right| \] 由于题目没有给出具体的数值，我们无法进行具体的计算。但是，根据选项，我们可以猜测可能的答案。 假设我们已经计算出结果，并且它与选项中的一个匹配。例如，如果计算结果是$\frac{\sqrt{2}}{10}$，那么答案就是选项A。 因此，最终答案可能是： \[ \boxed{A.~\frac{\sqrt{2}}{10}} \] 请注意，这只是一个示例，实际答案需要根据具体数值进行计算。 Câu 16. Để tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, ta sử dụng công thức: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} \] Trước tiên, ta tính tích vô hướng $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (1)(-1) + (-2)(-3) = -1 + 6 = 5 \] Tiếp theo, ta tính độ dài của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \] \[ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \] Bây giờ, ta thay các giá trị này vào công thức: \[ \cos(\theta) = \frac{5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Ta nhận thấy rằng: \[ \cos(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Góc $\theta$ có giá trị cosin bằng $\frac{\sqrt{2}}{2}$ là $45^\circ$. Do đó, góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là: \[ \theta = 45^\circ \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~45^\circ \] Câu 17. Để tìm số đo góc giữa hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm hệ số góc của mỗi đường thẳng: - Đường thẳng \(d_1: 2x - 4y - 3 = 0\) Ta viết lại phương trình dưới dạng \(y = mx + n\): \[ 2x - 4y - 3 = 0 \implies -4y = -2x + 3 \implies y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{4} \] Vậy hệ số góc của \(d_1\) là \(m_1 = \frac{1}{2}\). - Đường thẳng \(d_2: 3x - y + 17 = 0\) Ta viết lại phương trình dưới dạng \(y = mx + n\): \[ 3x - y + 17 = 0 \implies -y = -3x - 17 \implies y = 3x + 17 \] Vậy hệ số góc của \(d_2\) là \(m_2 = 3\). 2. Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng: Công thức tính góc giữa hai đường thẳng có hệ số góc \(m_1\) và \(m_2\) là: \[ \tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right| \] Thay \(m_1 = \frac{1}{2}\) và \(m_2 = 3\) vào công thức: \[ \tan \theta = \left| \frac{3 - \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2} \cdot 3} \right| = \left| \frac{\frac{6}{2} - \frac{1}{2}}{1 + \frac{3}{2}} \right| = \left| \frac{\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}} \right| = 1 \] 3. Xác định góc \(\theta\): \[ \tan \theta = 1 \implies \theta = \frac{\pi}{4} \] Vậy số đo góc giữa hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) là \(\frac{\pi}{4}\). Đáp án đúng là: \(A.~\frac{\pi}{4}\). Câu 18. Để tính cosin góc \( \angle BAC \) của tam giác \( ABC \), ta sẽ sử dụng công thức cosin trong hình học phẳng. Bước 1: Tính độ dài các cạnh của tam giác \( ABC \). - Độ dài đoạn thẳng \( AB \): \[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (-2 - 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \] - Độ dài đoạn thẳng \( AC \): \[ AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} = \sqrt{(3 - 1)^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] - Độ dài đoạn thẳng \( BC \): \[ BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (1 - (-2))^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \] Bước 2: Áp dụng công thức cosin để tính \( \cos \angle BAC \): \[ \cos \angle BAC = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} \] Thay các giá trị đã tính vào công thức: \[ \cos \angle BAC = \frac{(\sqrt{34})^2 + (2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{34})^2}{2 \cdot \sqrt{34} \cdot 2\sqrt{2}} \] \[ = \frac{34 + 8 - 34}{2 \cdot \sqrt{34} \cdot 2\sqrt{2}} \] \[ = \frac{8}{2 \cdot \sqrt{34} \cdot 2\sqrt{2}} \] \[ = \frac{8}{4 \cdot \sqrt{34} \cdot \sqrt{2}} \] \[ = \frac{2}{\sqrt{34} \cdot \sqrt{2}} \] \[ = \frac{2}{\sqrt{68}} \] \[ = \frac{2}{2\sqrt{17}} \] \[ = \frac{1}{\sqrt{17}} \] Vậy đáp án đúng là: \[ \cos \angle BAC = \frac{1}{\sqrt{17}} \] Đáp án: \( A.~\cos BAC = \frac{1}{\sqrt{17}} \) Câu 19. Để xác định khẳng định sai, ta cần kiểm tra lại phương trình đường tròn và tâm của nó. Phương trình đường tròn ban đầu là: \[ x^2 + y^2 + 2ax + 2by + c = 0 \] Ta thực hiện hoàn thành bình phương để viết lại phương trình này dưới dạng chuẩn của đường tròn. Bước 1: Nhóm các hạng tử liên quan đến \(x\) và \(y\): \[ x^2 + 2ax + y^2 + 2by + c = 0 \] Bước 2: Hoàn thành bình phương: \[ (x^2 + 2ax + a^2) + (y^2 + 2by + b^2) = a^2 + b^2 - c \] \[ (x + a)^2 + (y + b)^2 = a^2 + b^2 - c \] Từ đây, ta thấy rằng phương trình chuẩn của đường tròn là: \[ (x + a)^2 + (y + b)^2 = r^2 \] Trong đó \(r^2 = a^2 + b^2 - c\). Tâm của đường tròn là \(I(-a; -b)\), không phải \(I(a; b)\). Do đó, khẳng định "Đường tròn có tâm là \(I(a; b)\)" là sai. Đáp án: A. Đường tròn có tâm là \(I(a; b)\).