Đúng sau toán ạ giúp e vs ạ

Câu 1. Để giải quyết các phần của bài toán, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. Phần a) Tính đạo hàm \( f'(x) \) Hàm số đã cho là: \[ f(x) = \frac{-1}{8} \cos 2x + \sin x + \frac{3}{4} x^2 + 2x + 3 \] Tính đạo hàm \( f'(x) \): \[ f'(x) = \left( \frac{-1}{8} \cos 2x \right)' + (\sin x)' + \left( \frac{3}{4} x^2 \right)' + (2x)' + (3)' \] \[ f'(x) = \frac{-1}{8} (-2 \sin 2x) + \cos x + \frac{3}{4} \cdot 2x + 2 + 0 \] \[ f'(x) = \frac{1}{4} \sin 2x + \cos x + \frac{3}{2} x + 2 \] Phần b) Tính đạo hàm bậc hai \( f''(x) \) Từ \( f'(x) \): \[ f'(x) = \frac{1}{4} \sin 2x + \cos x + \frac{3}{2} x + 2 \] Tính đạo hàm bậc hai \( f''(x) \): \[ f''(x) = \left( \frac{1}{4} \sin 2x \right)' + (\cos x)' + \left( \frac{3}{2} x \right)' + (2)' \] \[ f''(x) = \frac{1}{4} \cdot 2 \cos 2x - \sin x + \frac{3}{2} + 0 \] \[ f''(x) = \frac{1}{2} \cos 2x - \sin x + \frac{3}{2} \] Phần c) Phương trình \( f''(x) = 0 \) Phương trình: \[ f''(x) = \frac{1}{2} \cos 2x - \sin x + \frac{3}{2} = 0 \] Phần d) Tổng các nghiệm thuộc đoạn \([0; 100\pi]\) của phương trình \( f'(x) = 0 \) Phương trình: \[ f'(x) = \frac{1}{4} \sin 2x + \cos x + \frac{3}{2} x + 2 = 0 \] Để tìm tổng các nghiệm của phương trình \( f'(x) = 0 \) trong đoạn \([0; 100\pi]\), chúng ta cần xem xét tính chất của hàm số và phương trình. Phương trình \( f'(x) = 0 \) có dạng phức tạp, nhưng chúng ta biết rằng nó có thể có nhiều nghiệm trong khoảng rộng như \([0; 100\pi]\). Để tìm tổng các nghiệm, chúng ta cần xem xét các nghiệm của phương trình này trong mỗi chu kỳ của hàm số. Giả sử phương trình \( f'(x) = 0 \) có \( n \) nghiệm trong mỗi chu kỳ \( [0; 2\pi] \). Số chu kỳ trong đoạn \([0; 100\pi]\) là: \[ \frac{100\pi}{2\pi} = 50 \] Nếu mỗi chu kỳ có \( n \) nghiệm, thì tổng số nghiệm trong đoạn \([0; 100\pi]\) là: \[ 50n \] Giả sử mỗi nghiệm trong mỗi chu kỳ là \( x_i \), tổng các nghiệm trong mỗi chu kỳ là: \[ x_1 + x_2 + \cdots + x_n \] Tổng các nghiệm trong đoạn \([0; 100\pi]\) là: \[ 50 \times (x_1 + x_2 + \cdots + x_n) \] Theo đề bài, tổng các nghiệm là \( 2475\pi \). Do đó, tổng các nghiệm thuộc đoạn \([0; 100\pi]\) của phương trình \( f'(x) = 0 \) là: \[ 2475\pi \] Đáp số: \[ \boxed{2475\pi} \] Câu 2. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phần của câu hỏi. a) Biến cố "Ít nhất 1 lần chọn được học sinh nữ" được biểu diễn là $\overline A \cup \overline B.$ Biến cố "Ít nhất 1 lần chọn được học sinh nữ" có nghĩa là ít nhất một trong hai lần chọn là học sinh nữ. Điều này có thể được biểu diễn bằng cách lấy tổng của các trường hợp mà ít nhất một lần chọn là học sinh nữ. - Biến cố $\overline A$ là "Lần thứ nhất chọn được học sinh nữ". - Biến cố $\overline B$ là "Lần thứ hai chọn được học sinh nữ". Do đó, $\overline A \cup \overline B$ đúng là biểu diễn cho biến cố "Ít nhất 1 lần chọn được học sinh nữ". b) Biến cố "Có không quá 1 lần chọn được học sinh nữ" được biểu diễn là $\overline A B \cup A B.$ Biến cố "Có không quá 1 lần chọn được học sinh nữ" có nghĩa là hoặc cả hai lần đều chọn học sinh nam hoặc chỉ một lần chọn học sinh nữ. - Biến cố $\overline A B$ là "Lần thứ nhất chọn được học sinh nữ và lần thứ hai chọn được học sinh nam". - Biến cố $A B$ là "Cả hai lần đều chọn được học sinh nam". Do đó, $\overline A B \cup A B$ đúng là biểu diễn cho biến cố "Có không quá 1 lần chọn được học sinh nữ". c) $n(A \cup B) = 462$ Biến cố $A \cup B$ là "ít nhất một lần chọn được học sinh nam". Ta tính số cách chọn ít nhất một lần là học sinh nam từ tổng số cách chọn 2 học sinh từ 40 học sinh trừ đi số cách chọn cả hai lần đều là học sinh nữ. - Số cách chọn 2 học sinh từ 40 học sinh: $C_{40}^2 = \frac{40 \times 39}{2} = 780$ - Số cách chọn 2 học sinh nữ từ 18 học sinh nữ: $C_{18}^2 = \frac{18 \times 17}{2} = 153$ Số cách chọn ít nhất một lần là học sinh nam: \[ n(A \cup B) = 780 - 153 = 627 \] d) $n(AB \cup \overline A \overline B) = 768$ Biến cố $AB \cup \overline A \overline B$ là "cả hai lần đều chọn học sinh nam hoặc cả hai lần đều chọn học sinh nữ". - Số cách chọn 2 học sinh nam từ 22 học sinh nam: $C_{22}^2 = \frac{22 \times 21}{2} = 231$ - Số cách chọn 2 học sinh nữ từ 18 học sinh nữ: $C_{18}^2 = \frac{18 \times 17}{2} = 153$ Số cách chọn cả hai lần đều là học sinh nam hoặc cả hai lần đều là học sinh nữ: \[ n(AB \cup \overline A \overline B) = 231 + 153 = 384 \] Kết luận: - a) Đúng. - b) Đúng. - c) Sai, vì $n(A \cup B) = 627$. - d) Sai, vì $n(AB \cup \overline A \overline B) = 384$. Câu 3. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông tin đã cho: - Hình chóp S.ABC có mặt bên (SAB) vuông góc với mặt đáy. - Tam giác SAB đều cạnh 2a. - Tam giác ABC vuông tại C và cạnh AC = a√3. 2. Tìm chiều cao SH từ đỉnh S đến mặt đáy (ABC): - Vì (SAB) vuông góc với (ABC) và tam giác SAB đều cạnh 2a, nên SH là đường cao hạ từ S xuống AB và cũng là đường cao của hình chóp S.ABC. - Chiều cao của tam giác đều cạnh 2a là: \[ SH = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2a = a\sqrt{3} \] 3. Xác định khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABC): - Khoảng cách từ S đến (ABC) chính là chiều cao SH, do đó: \[ d(S, (ABC)) = a\sqrt{3} \] 4. Xác định khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB): - Ta cần tìm khoảng cách từ C đến (SAB). Vì (SAB) vuông góc với (ABC), nên khoảng cách từ C đến (SAB) chính là khoảng cách từ C đến đường thẳng AB. - Ta có AC = a√3 và tam giác ABC vuông tại C, nên BC = a (vì AB = 2a và AC = a√3). - Diện tích tam giác ABC là: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times a\sqrt{3} \times a = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \] - Diện tích tam giác SAB là: \[ S_{SAB} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (2a)^2 = a^2\sqrt{3} \] - Khoảng cách từ C đến (SAB) là: \[ d(C, (SAB)) = \frac{2 \times S_{ABC}}{AB} = \frac{2 \times \frac{a^2\sqrt{3}}{2}}{2a} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \] 5. Tính thể tích của khối chóp S.ABC: - Diện tích đáy ABC là: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times a\sqrt{3} \times a = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \] - Thể tích khối chóp S.ABC là: \[ V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times SH = \frac{1}{3} \times \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \times a\sqrt{3} = \frac{a^3}{2} \] Tóm lại, các khẳng định đúng là: - a) SH ⊥ (ABC). - b) d(S, (ABC)) = a√3. - c) d(C, (SAB)) = \frac{a\sqrt{3}}{3}. - d) Thể tích của khối chóp S.ABC bằng \frac{a^3}{6}. Câu 4. a) Góc nhị diện $[A', BC, A]$ bằng góc $\widehat{A'MA}$ với M là trung điểm của BC vì trong hình lăng trụ đứng, đường thẳng A'M vuông góc với mặt phẳng đáy ABC tại M, do đó góc giữa A'M và AM chính là góc giữa hai mặt phẳng $A'BC$ và $ABC$, tức là góc nhị diện $[A', BC, A]$. b) Diện tích đáy của hình lăng trụ là: \[ S_{ABC} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \] c) Chiều cao của hình lăng trụ: Trong tam giác vuông $A'MA$, ta có: \[ \sin(30^\circ) = \frac{AM}{A'M} \] \[ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \] Do đó: \[ \frac{1}{2} = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{2}}{A'M} \] \[ A'M = a \sqrt{3} \times \frac{2}{2} = a \] d) Thể tích khối lăng trụ: \[ V = S_{ABC} \times A'A = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \times a = \frac{a^3 \sqrt{3}}{4} \] Đáp số: a) Góc nhị diện $[A', BC, A]$ bằng góc $\widehat{A'MA}$. b) Diện tích đáy của hình lăng trụ là $\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$. c) Chiều cao của hình lăng trụ là $a$. d) Thể tích khối lăng trụ là $\frac{a^3 \sqrt{3}}{4}$.