Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên AA' = a√3. M là trung điểm của BC. Các mệnh đề sau đúng hay sai? a) AM là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng ché...

maichi

Bài giải:

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, cạnh bên $AA' = a\sqrt{3}$. $M$ là trung điểm của $BC$.

a) $AM$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau $AA'$ và $BC$.

Ta có: $AM \perp BC$ (vì $AM$ là đường trung tuyến của tam giác đều $ABC$).

$AA' \perp (ABC)$ nên $AA' \perp BC$.

Vậy $BC \perp (AA'M)$. Suy ra $AA'$ và $BC$ vuông góc.

$AA' \subset (AA'M)$ và $BC \subset (AA'M)$.

Gọi $I$ là giao điểm của $AM$ và $BC$ thì $I=M$.

Do $AM \perp BC$ và $AA' \perp BC$ nên $AM$ là đoạn vuông góc chung của $AA'$ và $BC$.

Vậy mệnh đề a) đúng.

b) Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(A'BC)$ là $\frac{a\sqrt{15}}{15}$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $A'M$.

Ta có: $BC \perp (AA'M)$ (chứng minh ở câu a). Suy ra $BC \perp AH$.

Mặt khác, $AH \perp A'M$. Vậy $AH \perp (A'BC)$.

Suy ra $d(A,(A'BC))=AH$.

Trong tam giác vuông $AA'M$, ta có:

$\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{AA'^2} + \frac{1}{AM^2}$

$AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

$AA' = a\sqrt{3}$.

$\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{(a\sqrt{3})^2} + \frac{1}{(\frac{a\sqrt{3}}{2})^2} = \frac{1}{3a^2} + \frac{4}{3a^2} = \frac{5}{3a^2}$

$AH^2 = \frac{3a^2}{5}$.

$AH = \frac{a\sqrt{15}}{5}$.

Vậy mệnh đề b) sai. Khoảng cách từ $A$ đến $(A'BC)$ là $\frac{a\sqrt{15}}{5}$.

c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(A'B'C')$ bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Vì lăng trụ $ABC.A'B'C'$ là lăng trụ đứng nên $AA' \perp (ABC)$ và $AA' \perp (A'B'C')$.

Do đó, khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(A'B'C')$ là $AA' = a\sqrt{3}$.

Vậy mệnh đề c) sai.

d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AA'$ và $BC$ là $\frac{a\sqrt{5}}{2}$.

Vì $BC \perp (AA'M)$ nên $d(AA', BC) = AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Vậy mệnh đề d) sai.