Giải bài tập

Câu 23: a) Vectơ $\overrightarrow a=(0;5)$ được phân tích theo hai vectơ đơn vị $\overrightarrow i,\overrightarrow j$ là $\overrightarrow a=0\overrightarrow i+5\overrightarrow j$. Mệnh đề này sai vì nó đã viết thành $\overrightarrow a=\overrightarrow i+5\overrightarrow j$. b) Vectơ $\overrightarrow v=(-3;4)$ được phân tích theo hai vectơ đơn vị $\overrightarrow i,\overrightarrow j$ là $\overrightarrow v=-3\overrightarrow i+4\overrightarrow j$. Mệnh đề này đúng vì nó đã viết thành $\overrightarrow v=4\overrightarrow j-3\overrightarrow i$. c) Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm $M(1;5)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n=(2;1)$ là $2(x-1)+1(y-5)=0$, tức là $2x+y-7=0$. Mệnh đề này đúng. d) Đường thẳng đi qua điểm $M(2;-3)$ và có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n=(2;1)$ là $2(x-2)+1(y+3)=0$, tức là $2x+y-1=0$. Mệnh đề này đúng. e) Phương trình đường tròn đi qua ba điểm $A(5;-2),B(3;0),C(-1;2)$ là $(x-1)^2+(y-1)^2=25$. Mệnh đề này sai vì phương trình đã cho là $(x+4)^2+(y+9)^2=130$. f) Phương trình (C) đi qua $A(-2;-1),B(3;-2),C(-1;4)$ là: $(C):~x^2+y^2-2x-2y-11=0$. Mệnh đề này đúng. g) Điểm $A(3;0)$ nằm trên hypebol $(H):\frac{x^2}4-\frac{y^2}{16}=1$. Thay tọa độ của điểm $A$ vào phương trình hypebol ta có $\frac{3^2}{4}-\frac{0^2}{16}=1$, tức là $\frac{9}{4}=1$. Mệnh đề này sai vì $\frac{9}{4}\neq 1$. Đáp số: a) S b) Đ c) Đ d) Đ e) S f) Đ g) S Câu 24: Để tìm số véctơ khác $\overrightarrow{0}$ có điểm đầu, điểm cuối là hai trong 6 đỉnh của lục giác ABCDEF, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các đỉnh của lục giác: Lục giác ABCDEF có 6 đỉnh là A, B, C, D, E, F. 2. Lập danh sách các véctơ: Ta sẽ liệt kê tất cả các véctơ có thể tạo thành từ các đỉnh của lục giác này. Mỗi véctơ được xác định bởi điểm đầu và điểm cuối. - Điểm đầu là A: + $\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{AC}$ + $\overrightarrow{AD}$ + $\overrightarrow{AE}$ + $\overrightarrow{AF}$ - Điểm đầu là B: + $\overrightarrow{BA}$ + $\overrightarrow{BC}$ + $\overrightarrow{BD}$ + $\overrightarrow{BE}$ + $\overrightarrow{BF}$ - Điểm đầu là C: + $\overrightarrow{CA}$ + $\overrightarrow{CB}$ + $\overrightarrow{CD}$ + $\overrightarrow{CE}$ + $\overrightarrow{CF}$ - Điểm đầu là D: + $\overrightarrow{DA}$ + $\overrightarrow{DB}$ + $\overrightarrow{DC}$ + $\overrightarrow{DE}$ + $\overrightarrow{DF}$ - Điểm đầu là E: + $\overrightarrow{EA}$ + $\overrightarrow{EB}$ + $\overrightarrow{EC}$ + $\overrightarrow{ED}$ + $\overrightarrow{EF}$ - Điểm đầu là F: + $\overrightarrow{FA}$ + $\overrightarrow{FB}$ + $\overrightarrow{FC}$ + $\overrightarrow{FD}$ + $\overrightarrow{FE}$ 3. Đếm số véctơ: Mỗi đỉnh có thể làm điểm đầu và kết nối với 5 đỉnh còn lại, tạo thành 5 véctơ. Vì vậy, tổng số véctơ là: \[ 6 \text{ đỉnh} \times 5 \text{ véctơ mỗi đỉnh} = 30 \text{ véctơ} \] Vậy, số véctơ khác $\overrightarrow{0}$ có điểm đầu, điểm cuối là hai trong 6 đỉnh của lục giác ABCDEF là 30 véctơ. Câu 25: Để tìm số cách chọn một ban quản lý gồm 1 tổ trưởng, 1 tổ phó, và 1 thủ quỹ từ một tổ công nhân có 17 người, ta thực hiện theo các bước sau: 1. Chọn tổ trưởng: Có 17 người để chọn, nên có 17 cách chọn tổ trưởng. 2. Chọn tổ phó: Sau khi đã chọn tổ trưởng, còn lại 16 người để chọn tổ phó, nên có 16 cách chọn tổ phó. 3. Chọn thủ quỹ: Sau khi đã chọn tổ trưởng và tổ phó, còn lại 15 người để chọn thủ quỹ, nên có 15 cách chọn thủ quỹ. Số cách chọn ban quản lý là tích của số cách chọn từng chức danh: \[ 17 \times 16 \times 15 = 4080 \] Vậy số cách chọn một ban quản lý gồm 1 tổ trưởng, 1 tổ phó, và 1 thủ quỹ là 4080 cách. Đáp số: 4080 cách. Câu 26: Để lập được các số gồm 3 chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ta thực hiện như sau: - Chọn chữ số hàng trăm: Có 8 lựa chọn (vì bất kỳ chữ số nào trong 8 chữ số đều có thể là chữ số hàng trăm). - Chọn chữ số hàng chục: Có 7 lựa chọn (vì đã chọn 1 chữ số cho hàng trăm, còn lại 7 chữ số để chọn). - Chọn chữ số hàng đơn vị: Có 6 lựa chọn (vì đã chọn 2 chữ số cho hàng trăm và hàng chục, còn lại 6 chữ số để chọn). Vậy tổng số các số gồm 3 chữ số đôi một khác nhau là: \[ 8 \times 7 \times 6 = 336 \] Đáp số: 336 số Câu 27: Để chọn 4 bông hoa từ bó hoa gồm 5 bông hoa đỏ, 6 bông hoa vàng, 7 bông hoa tím sao cho đủ cả 3 màu, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các trường hợp có thể xảy ra: - Chọn 2 bông hoa đỏ, 1 bông hoa vàng, 1 bông hoa tím. - Chọn 1 bông hoa đỏ, 2 bông hoa vàng, 1 bông hoa tím. - Chọn 1 bông hoa đỏ, 1 bông hoa vàng, 2 bông hoa tím. 2. Tính số cách chọn trong mỗi trường hợp: - Trường hợp 1: Chọn 2 bông hoa đỏ, 1 bông hoa vàng, 1 bông hoa tím. \[ \binom{5}{2} \times \binom{6}{1} \times \binom{7}{1} = 10 \times 6 \times 7 = 420 \] - Trường hợp 2: Chọn 1 bông hoa đỏ, 2 bông hoa vàng, 1 bông hoa tím. \[ \binom{5}{1} \times \binom{6}{2} \times \binom{7}{1} = 5 \times 15 \times 7 = 525 \] - Trường hợp 3: Chọn 1 bông hoa đỏ, 1 bông hoa vàng, 2 bông hoa tím. \[ \binom{5}{1} \times \binom{6}{1} \times \binom{7}{2} = 5 \times 6 \times 21 = 630 \] 3. Tổng hợp số cách chọn: Tổng số cách chọn 4 bông hoa có đủ cả 3 màu là: \[ 420 + 525 + 630 = 1575 \] Vậy, có 1575 cách chọn 4 bông hoa có đủ cả 3 màu. Câu 28: Để tìm bán kính của đường tròn, ta cần tính khoảng cách từ tâm của đường tròn đến đường thẳng tiếp xúc với nó. Bước 1: Xác định tâm của đường tròn và phương trình đường thẳng. - Tâm của đường tròn là \( S(-3; -4) \). - Phương trình đường thẳng là \( \Delta: 3x + 4y - 10 = 0 \). Bước 2: Áp dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Công thức khoảng cách \( d \) từ điểm \( (x_1, y_1) \) đến đường thẳng \( ax + by + c = 0 \) là: \[ d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] Bước 3: Thay các giá trị vào công thức. - \( a = 3 \) - \( b = 4 \) - \( c = -10 \) - \( x_1 = -3 \) - \( y_1 = -4 \) Thay vào công thức: \[ d = \frac{|3(-3) + 4(-4) - 10|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \] \[ d = \frac{|-9 - 16 - 10|}{\sqrt{9 + 16}} \] \[ d = \frac{|-35|}{\sqrt{25}} \] \[ d = \frac{35}{5} \] \[ d = 7 \] Vậy bán kính của đường tròn là 7. Đáp số: Bán kính của đường tròn là 7. Câu 29: Để tìm xác suất của biến cố A, ta cần tính số cách chọn 2 quả cầu xanh và 1 quả cầu trắng từ tổng số cách chọn 3 quả cầu từ 10 quả cầu. Bước 1: Tính tổng số cách chọn 3 quả cầu từ 10 quả cầu. Số cách chọn 3 quả cầu từ 10 quả cầu là: \[ C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 \] Bước 2: Tính số cách chọn 2 quả cầu xanh từ 4 quả cầu xanh. Số cách chọn 2 quả cầu xanh từ 4 quả cầu xanh là: \[ C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \] Bước 3: Tính số cách chọn 1 quả cầu trắng từ 6 quả cầu trắng. Số cách chọn 1 quả cầu trắng từ 6 quả cầu trắng là: \[ C_6^1 = \frac{6!}{1!(6-1)!} = \frac{6}{1} = 6 \] Bước 4: Tính số cách chọn 2 quả cầu xanh và 1 quả cầu trắng. Số cách chọn 2 quả cầu xanh và 1 quả cầu trắng là: \[ C_4^2 \times C_6^1 = 6 \times 6 = 36 \] Bước 5: Tính xác suất của biến cố A. Xác suất của biến cố A là: \[ P(A) = \frac{\text{số cách chọn 2 quả cầu xanh và 1 quả cầu trắng}}{\text{tổng số cách chọn 3 quả cầu từ 10 quả cầu}} = \frac{36}{120} = \frac{3}{10} \] Bước 6: Tìm \(a + b\) trong phân số tối giản $\frac{3}{10}$. Ở đây, \(a = 3\) và \(b = 10\), nên: \[ a + b = 3 + 10 = 13 \] Đáp số: \(a + b = 13\). Câu 30: a) Điều kiện: \( x \geq 2 \). \[ \sqrt{x^2 - 4} = x - 2 \] Cách 1: Bình phương hai vế: \[ x^2 - 4 = (x - 2)^2 \] \[ x^2 - 4 = x^2 - 4x + 4 \] \[ 0 = -4x + 8 \] \[ 4x = 8 \] \[ x = 2 \] Kiểm tra lại điều kiện: \( x = 2 \) thỏa mãn điều kiện \( x \geq 2 \). Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 2 \). Cách 2: Nhận thấy rằng \( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \): \[ \sqrt{(x - 2)(x + 2)} = x - 2 \] Do \( x \geq 2 \), ta có \( x - 2 \geq 0 \) và \( x + 2 > 0 \). Do đó: \[ \sqrt{(x - 2)(x + 2)} = x - 2 \] \[ x + 2 = x - 2 \] \[ 2 = -2 \] Điều này vô lý, vậy phương trình chỉ có nghiệm duy nhất \( x = 2 \). b) Điều kiện: \( x \geq 2 \). \[ \sqrt{3x^2 - 9x + 7} = x - 2 \] Bình phương hai vế: \[ 3x^2 - 9x + 7 = (x - 2)^2 \] \[ 3x^2 - 9x + 7 = x^2 - 4x + 4 \] \[ 2x^2 - 5x + 3 = 0 \] Phương trình bậc hai này có nghiệm: \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4} = \frac{5 \pm 1}{4} \] \[ x_1 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}, \quad x_2 = 1 \] Kiểm tra lại điều kiện: \( x \geq 2 \). Chỉ có \( x = \frac{3}{2} \) thỏa mãn điều kiện. Kiểm tra lại phương trình ban đầu: \[ \sqrt{3 \left( \frac{3}{2} \right)^2 - 9 \left( \frac{3}{2} \right) + 7} = \frac{3}{2} - 2 \] \[ \sqrt{\frac{27}{4} - \frac{27}{2} + 7} = -\frac{1}{2} \] \[ \sqrt{\frac{27}{4} - \frac{54}{4} + \frac{28}{4}} = -\frac{1}{2} \] \[ \sqrt{\frac{1}{4}} = -\frac{1}{2} \] \[ \frac{1}{2} \neq -\frac{1}{2} \] Vậy phương trình không có nghiệm. c) Điều kiện: \( x \leq 4 \). \[ \sqrt{x^2 - 2x + 4} = 4 - x \] Bình phương hai vế: \[ x^2 - 2x + 4 = (4 - x)^2 \] \[ x^2 - 2x + 4 = 16 - 8x + x^2 \] \[ 0 = 16 - 6x \] \[ 6x = 16 \] \[ x = \frac{8}{3} \] Kiểm tra lại điều kiện: \( x = \frac{8}{3} \leq 4 \). Vậy nghiệm của phương trình là \( x = \frac{8}{3} \). d) Điều kiện: \( x \geq \frac{1}{2} \). \[ \sqrt{2x - 1} = 2 - x \] Bình phương hai vế: \[ 2x - 1 = (2 - x)^2 \] \[ 2x - 1 = 4 - 4x + x^2 \] \[ x^2 - 6x + 5 = 0 \] Phương trình bậc hai này có nghiệm: \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2} \] \[ x_1 = 5, \quad x_2 = 1 \] Kiểm tra lại điều kiện: \( x \geq \frac{1}{2} \). Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện. Kiểm tra lại phương trình ban đầu: \[ \sqrt{2 \cdot 5 - 1} = 2 - 5 \Rightarrow \sqrt{9} = -3 \Rightarrow 3 \neq -3 \] \[ \sqrt{2 \cdot 1 - 1} = 2 - 1 \Rightarrow \sqrt{1} = 1 \Rightarrow 1 = 1 \] Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \( x = 1 \). Đáp số: a) \( x = 2 \) b) Không có nghiệm c) \( x = \frac{8}{3} \) d) \( x = 1 \) Câu 31: Để khai triển các biểu thức đã cho, ta sẽ sử dụng công thức nhị thức Newton. Công thức này cho phép ta mở rộng biểu thức $(a + b)^n$ thành tổng của các hạng tử theo công thức: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Trong đó $\binom{n}{k}$ là hệ số nhị thức, được tính bằng công thức: \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] a) Khai triển $(x + 7)^5$ Áp dụng công thức nhị thức Newton: \[ (x + 7)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^{5-k} 7^k \] Tính từng hạng tử: - Khi $k = 0$: $\binom{5}{0} x^{5-0} 7^0 = 1 \cdot x^5 \cdot 1 = x^5$ - Khi $k = 1$: $\binom{5}{1} x^{5-1} 7^1 = 5 \cdot x^4 \cdot 7 = 35x^4$ - Khi $k = 2$: $\binom{5}{2} x^{5-2} 7^2 = 10 \cdot x^3 \cdot 49 = 490x^3$ - Khi $k = 3$: $\binom{5}{3} x^{5-3} 7^3 = 10 \cdot x^2 \cdot 343 = 3430x^2$ - Khi $k = 4$: $\binom{5}{4} x^{5-4} 7^4 = 5 \cdot x \cdot 2401 = 12005x$ - Khi $k = 5$: $\binom{5}{5} x^{5-5} 7^5 = 1 \cdot 1 \cdot 16807 = 16807$ Vậy khai triển của $(x + 7)^5$ là: \[ (x + 7)^5 = x^5 + 35x^4 + 490x^3 + 3430x^2 + 12005x + 16807 \] b) Khai triển $(x - 3)^5$ Áp dụng công thức nhị thức Newton: \[ (x - 3)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^{5-k} (-3)^k \] Tính từng hạng tử: - Khi $k = 0$: $\binom{5}{0} x^{5-0} (-3)^0 = 1 \cdot x^5 \cdot 1 = x^5$ - Khi $k = 1$: $\binom{5}{1} x^{5-1} (-3)^1 = 5 \cdot x^4 \cdot (-3) = -15x^4$ - Khi $k = 2$: $\binom{5}{2} x^{5-2} (-3)^2 = 10 \cdot x^3 \cdot 9 = 90x^3$ - Khi $k = 3$: $\binom{5}{3} x^{5-3} (-3)^3 = 10 \cdot x^2 \cdot (-27) = -270x^2$ - Khi $k = 4$: $\binom{5}{4} x^{5-4} (-3)^4 = 5 \cdot x \cdot 81 = 405x$ - Khi $k = 5$: $\binom{5}{5} x^{5-5} (-3)^5 = 1 \cdot 1 \cdot (-243) = -243$ Vậy khai triển của $(x - 3)^5$ là: \[ (x - 3)^5 = x^5 - 15x^4 + 90x^3 - 270x^2 + 405x - 243 \] c) Khai triển $(2 + 3x)^4$ Áp dụng công thức nhị thức Newton: \[ (2 + 3x)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} 2^{4-k} (3x)^k \] Tính từng hạng tử: - Khi $k = 0$: $\binom{4}{0} 2^{4-0} (3x)^0 = 1 \cdot 16 \cdot 1 = 16$ - Khi $k = 1$: $\binom{4}{1} 2^{4-1} (3x)^1 = 4 \cdot 8 \cdot 3x = 96x$ - Khi $k = 2$: $\binom{4}{2} 2^{4-2} (3x)^2 = 6 \cdot 4 \cdot 9x^2 = 216x^2$ - Khi $k = 3$: $\binom{4}{3} 2^{4-3} (3x)^3 = 4 \cdot 2 \cdot 27x^3 = 216x^3$ - Khi $k = 4$: $\binom{4}{4} 2^{4-4} (3x)^4 = 1 \cdot 1 \cdot 81x^4 = 81x^4$ Vậy khai triển của $(2 + 3x)^4$ là: \[ (2 + 3x)^4 = 16 + 96x + 216x^2 + 216x^3 + 81x^4 \] d) Khai triển $(1 - 2x)^4$ Áp dụng công thức nhị thức Newton: \[ (1 - 2x)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} 1^{4-k} (-2x)^k \] Tính từng hạng tử: - Khi $k = 0$: $\binom{4}{0} 1^{4-0} (-2x)^0 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$ - Khi $k = 1$: $\binom{4}{1} 1^{4-1} (-2x)^1 = 4 \cdot 1 \cdot (-2x) = -8x$ - Khi $k = 2$: $\binom{4}{2} 1^{4-2} (-2x)^2 = 6 \cdot 1 \cdot 4x^2 = 24x^2$ - Khi $k = 3$: $\binom{4}{3} 1^{4-3} (-2x)^3 = 4 \cdot 1 \cdot (-8x^3) = -32x^3$ - Khi $k = 4$: $\binom{4}{4} 1^{4-4} (-2x)^4 = 1 \cdot 1 \cdot 16x^4 = 16x^4$ Vậy khai triển của $(1 - 2x)^4$ là: \[ (1 - 2x)^4 = 1 - 8x + 24x^2 - 32x^3 + 16x^4 \] Câu 32: a) Ta có: - Vector $\overrightarrow{AB} = (6 - (-2), 4 - 2) = (8, 2)$ - Phương trình đường thẳng đi qua điểm $A(-2, 2)$ và có vector pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (a, b)$ là: $a(x + 2) + b(y - 2) = 0$ Chọn $\overrightarrow{n} = (1, -4)$ (vì $\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 1 \times 8 + (-4) \times 2 = 0$): Phương trình đường thẳng là: $(x + 2) - 4(y - 2) = 0$ Simplifying, ta có: $x + 2 - 4y + 8 = 0$ $x - 4y + 10 = 0$ b) Ta có: - Vector $\overrightarrow{IP} = (-1 - 2, 8 - (-10)) = (-3, 18)$ - Phương trình đường thẳng đi qua điểm $I(2, -10)$ và có vector pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (a, b)$ là: $a(x - 2) + b(y + 10) = 0$ Chọn $\overrightarrow{n} = (6, 1)$ (vì $\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{IP} = 6 \times (-3) + 1 \times 18 = 0$): Phương trình đường thẳng là: $6(x - 2) + (y + 10) = 0$ Simplifying, ta có: $6x - 12 + y + 10 = 0$ $6x + y - 2 = 0$ Đáp số: a) $x - 4y + 10 = 0$ b) $6x + y - 2 = 0$