cho 2 điểm M(1;1;1 ), A(2;3;0) và mặt phẳng (P): x+y+z+3=0 . viết phương trình đường thẳng d qua M song song với (P) sao cho khoảng cách từ A đến d là nhỏ nhất

Để viết phương trình đường thẳng \(d\) qua điểm \(M(1;1;1)\) và song song với mặt phẳng \((P): x + y + z + 3 = 0\) sao cho khoảng cách từ điểm \(A(2;3;0)\) đến đường thẳng \(d\) là nhỏ nhất, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\) Mặt phẳng \((P)\) có phương trình \(x + y + z + 3 = 0\). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là: \[ \vec{n} = (1, 1, 1) \] Bước 2: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) Đường thẳng \(d\) song song với mặt phẳng \((P)\), do đó vectơ chỉ phương của \(d\) phải vuông góc với vectơ pháp tuyến của \((P)\). Ta chọn vectơ chỉ phương của \(d\) là: \[ \vec{u} = (a, b, c) \] với điều kiện: \[ \vec{u} \cdot \vec{n} = 0 \] \[ a + b + c = 0 \] Bước 3: Xác định vectơ MA Vectơ \(MA\) từ điểm \(M(1;1;1)\) đến điểm \(A(2;3;0)\) là: \[ \vec{MA} = (2 - 1, 3 - 1, 0 - 1) = (1, 2, -1) \] Bước 4: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) sao cho khoảng cách từ \(A\) đến \(d\) là nhỏ nhất Để khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(d\) là nhỏ nhất, vectơ chỉ phương của \(d\) phải vuông góc với vectơ \(MA\): \[ \vec{u} \cdot \vec{MA} = 0 \] \[ a + 2b - c = 0 \] Bước 5: Giải hệ phương trình để tìm vectơ chỉ phương của \(d\) Ta có hai phương trình: \[ a + b + c = 0 \] \[ a + 2b - c = 0 \] Giải hệ phương trình này: \[ a + b + c = 0 \quad \text{(1)} \] \[ a + 2b - c = 0 \quad \text{(2)} \] Cộng (1) và (2): \[ 2a + 3b = 0 \] \[ 2a = -3b \] \[ a = -\frac{3}{2}b \] Thay \(a = -\frac{3}{2}b\) vào (1): \[ -\frac{3}{2}b + b + c = 0 \] \[ -\frac{1}{2}b + c = 0 \] \[ c = \frac{1}{2}b \] Chọn \(b = 2\), ta có: \[ a = -3 \] \[ c = 1 \] Vậy vectơ chỉ phương của \(d\) là: \[ \vec{u} = (-3, 2, 1) \] Bước 6: Viết phương trình đường thẳng \(d\) Phương trình đường thẳng \(d\) qua điểm \(M(1;1;1)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec{u} = (-3, 2, 1)\) là: \[ \frac{x - 1}{-3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 1}{1} \] Đáp số: Phương trình đường thẳng \(d\) là: \[ \frac{x - 1}{-3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 1}{1} \]