giup em voi a

Câu 4: Để giải quyết các câu hỏi về gia tốc, vận tốc và các giá trị cực đại của hạt, chúng ta sẽ sử dụng phương trình chuyển động đã cho và các đạo hàm của nó. Phương trình chuyển động của hạt: \[ s(t) = 10 + \sqrt{2} \sin \left( \frac{\pi}{4} + 4\pi t \right) \] a) Gia tốc của hạt tại thời điểm \( t = 3 \) giây Gia tốc là đạo hàm thứ hai của phương trình chuyển động theo thời gian \( t \). Tính đạo hàm thứ nhất (vận tốc): \[ v(t) = s'(t) = \sqrt{2} \cdot 4\pi \cos \left( \frac{\pi}{4} + 4\pi t \right) = 4\pi \sqrt{2} \cos \left( \frac{\pi}{4} + 4\pi t \right) \] Tính đạo hàm thứ hai (gia tốc): \[ a(t) = v'(t) = -4\pi \sqrt{2} \cdot 4\pi \sin \left( \frac{\pi}{4} + 4\pi t \right) = -16\pi^2 \sqrt{2} \sin \left( \frac{\pi}{4} + 4\pi t \right) \] Tại thời điểm \( t = 3 \) giây: \[ a(3) = -16\pi^2 \sqrt{2} \sin \left( \frac{\pi}{4} + 4\pi \cdot 3 \right) = -16\pi^2 \sqrt{2} \sin \left( \frac{\pi}{4} + 12\pi \right) \] \[ = -16\pi^2 \sqrt{2} \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) = -16\pi^2 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -16\pi^2 \] Vậy gia tốc của hạt tại thời điểm \( t = 3 \) giây là \( -16\pi^2 \, \text{cm/s}^2 \). b) Vận tốc của hạt tại thời điểm \( t = 3 \) giây Tại thời điểm \( t = 3 \) giây: \[ v(3) = 4\pi \sqrt{2} \cos \left( \frac{\pi}{4} + 4\pi \cdot 3 \right) = 4\pi \sqrt{2} \cos \left( \frac{\pi}{4} + 12\pi \right) \] \[ = 4\pi \sqrt{2} \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = 4\pi \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\pi \] Vậy vận tốc của hạt tại thời điểm \( t = 3 \) giây là \( 4\pi \, \text{cm/s} \). c) Vận tốc lớn nhất của hạt đạt được Vận tốc lớn nhất xảy ra khi đạo hàm của vận tốc (gia tốc) bằng 0 và chuyển từ dương sang âm hoặc ngược lại. Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta có thể thấy rằng: \[ v(t) = 4\pi \sqrt{2} \cos \left( \frac{\pi}{4} + 4\pi t \right) \] Giá trị lớn nhất của hàm cos là 1, do đó: \[ v_{\text{max}} = 4\pi \sqrt{2} \cdot 1 = 4\pi \sqrt{2} \, \text{cm/s} \] Vậy vận tốc lớn nhất của hạt đạt được là \( 4\pi \sqrt{2} \, \text{cm/s} \). d) Gia tốc nhỏ nhất của hạt đạt được Gia tốc nhỏ nhất xảy ra khi đạo hàm của gia tốc (đạo hàm thứ ba của phương trình chuyển động) bằng 0 và chuyển từ dương sang âm hoặc ngược lại. Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta có thể thấy rằng: \[ a(t) = -16\pi^2 \sqrt{2} \sin \left( \frac{\pi}{4} + 4\pi t \right) \] Giá trị nhỏ nhất của hàm sin là -1, do đó: \[ a_{\text{min}} = -16\pi^2 \sqrt{2} \cdot (-1) = -16\pi^2 \, \text{cm/s}^2 \] Vậy gia tốc nhỏ nhất của hạt đạt được là \( -16\pi^2 \, \text{cm/s}^2 \).