Giup mik vs

Câu 3. Ta xét tứ diện ABCD với các điều kiện đã cho: - \(AB = AC\) - \(DB = DC\) Để tìm khẳng định đúng, ta sẽ kiểm tra từng trường hợp: 1. Khẳng định A: \(CD \bot AB\) - Để \(CD \bot AB\), ta cần chứng minh rằng đường thẳng \(CD\) vuông góc với đường thẳng \(AB\). Tuy nhiên, từ các điều kiện \(AB = AC\) và \(DB = DC\) không đủ để suy ra \(CD \bot AB\). 2. Khẳng định B: \(AC \bot BD\) - Để \(AC \bot BD\), ta cần chứng minh rằng đường thẳng \(AC\) vuông góc với đường thẳng \(BD\). Tuy nhiên, từ các điều kiện \(AB = AC\) và \(DB = DC\) không đủ để suy ra \(AC \bot BD\). 3. Khẳng định C: \(BC \bot AD\) - Để \(BC \bot AD\), ta cần chứng minh rằng đường thẳng \(BC\) vuông góc với đường thẳng \(AD\). Ta sẽ kiểm tra xem liệu điều này có thể xảy ra không. - Xét tam giác \(ABC\) với \(AB = AC\), ta có \(BC\) là đường cao hạ từ đỉnh \(A\) xuống đáy \(BC\). - Xét tam giác \(DBC\) với \(DB = DC\), ta có \(BC\) là đường cao hạ từ đỉnh \(D\) xuống đáy \(BC\). - Do đó, \(BC\) là đường chung của hai tam giác cân \(ABC\) và \(DBC\), và nó vuông góc với cả \(AB\) và \(DB\). Điều này có nghĩa là \(BC\) cũng vuông góc với \(AD\) vì \(AD\) nằm trong mặt phẳng chứa \(AB\) và \(DB\). 4. Khẳng định D: \(BC \bot CD\) - Để \(BC \bot CD\), ta cần chứng minh rằng đường thẳng \(BC\) vuông góc với đường thẳng \(CD\). Tuy nhiên, từ các điều kiện \(AB = AC\) và \(DB = DC\) không đủ để suy ra \(BC \bot CD\). Từ các lập luận trên, ta thấy rằng khẳng định đúng là: \[ \boxed{C.~BC \bot AD} \] Câu 4. Trước tiên, ta nhận thấy rằng hình chóp S.ABCD là hình chóp đều, tức là đáy ABCD là hình vuông và các cạnh bên SA, SB, SC, SD đều bằng nhau. Ta sẽ tìm góc giữa đường thẳng EM và mặt phẳng (SBD). 1. Xác định tâm O của đáy ABCD: - Vì ABCD là hình vuông, tâm O của đáy ABCD là giao điểm của các đường chéo AC và BD. 2. Xác định trung điểm F của đoạn thẳng BD: - Điểm F là trung điểm của BD, do đó OF vuông góc với BD. 3. Xác định đường thẳng SO: - Đường thẳng SO vuông góc với đáy ABCD tại tâm O. 4. Xác định đường thẳng SF: - Đường thẳng SF nằm trong mặt phẳng (SBD) và vuông góc với BD tại F. 5. Xác định đường thẳng EF: - Điểm E thuộc cạnh BC, do đó EF nằm trong mặt phẳng (SBD). 6. Xác định góc giữa đường thẳng EM và mặt phẳng (SBD): - Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống mặt phẳng (SBD). Ta cần tìm góc MEH. 7. Tính toán: - Vì SA = SB = SC = SD và ABCD là hình vuông, ta có thể suy ra rằng tam giác SAB, SBC, SCD, SDA đều là tam giác đều. - Do đó, tam giác SBD cũng là tam giác đều, và SF là đường cao của tam giác đều này. - Ta có SF = $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot SB$. 8. Xác định vị trí của M trên SA: - Giả sử M là trung điểm của SA, do đó SM = MA = $\frac{1}{2}SA$. 9. Tính toán khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBD): - Vì M là trung điểm của SA, khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBD) là $\frac{1}{2}SO$. 10. Tính toán góc MEH: - Góc MEH là góc giữa đường thẳng EM và mặt phẳng (SBD). - Ta có $\tan(\angle MEH) = \frac{MH}{EH}$. - Vì M là trung điểm của SA và E là điểm trên BC, ta có thể suy ra rằng EH = $\frac{1}{2}SF$. - Do đó, $\tan(\angle MEH) = \frac{\frac{1}{2}SO}{\frac{1}{2}SF} = \frac{SO}{SF} = \frac{SO}{\frac{\sqrt{3}}{2}SB} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$. Nhưng vì ta đã giả sử M là trung điểm của SA và E là điểm trên BC, ta có thể suy ra rằng góc MEH là góc giữa đường thẳng EM và mặt phẳng (SBD) là $\sqrt{2}$. Vậy đáp án đúng là: \[ D. \sqrt{2} \] Câu 5. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một để xác định mệnh đề nào là sai. 1. Mệnh đề A: \( BC \perp AH \) - Vì \( ABCD \) là hình vuông nên \( BC \perp AB \). - Mặt khác, \( (SAB) \perp (ABCD) \) và \( AH \) là đường cao hạ từ \( A \) xuống \( SB \) trong tam giác \( SAB \). Do đó, \( AH \perp AB \). - Kết hợp hai điều trên, ta thấy rằng \( AH \) nằm trong mặt phẳng \( (SAB) \) và \( BC \) nằm trong mặt phẳng \( (ABCD) \). Vì \( (SAB) \perp (ABCD) \) và \( AH \perp AB \), suy ra \( AH \perp BC \). Do đó, mệnh đề A đúng. 2. Mệnh đề B: \( SA \perp AC \) - \( SA \) là đường thẳng từ đỉnh chóp \( S \) xuống đỉnh \( A \) của đáy. - \( AC \) là đường chéo của hình vuông \( ABCD \). - Vì \( (SAD) \perp (ABCD) \) và \( (SAB) \perp (ABCD) \), do đó \( SA \) nằm trong cả hai mặt phẳng \( (SAD) \) và \( (SAB) \). - \( AC \) nằm trong mặt phẳng \( (ABCD) \) và cắt qua \( A \). - Do \( (SAD) \perp (ABCD) \) và \( (SAB) \perp (ABCD) \), suy ra \( SA \perp AC \). Do đó, mệnh đề B đúng. 3. Mệnh đề C: \( HK \perp SC \) - \( H \) và \( K \) lần lượt là các điểm trên \( SB \) và \( SD \) sao cho \( AH \perp SB \) và \( AK \perp SD \). - \( HK \) là đoạn thẳng nối giữa \( H \) và \( K \). - \( SC \) là đường thẳng từ đỉnh chóp \( S \) xuống đỉnh \( C \) của đáy. - Để chứng minh \( HK \perp SC \), ta cần xem xét vị trí của \( HK \) và \( SC \) trong không gian. Tuy nhiên, không có thông tin trực tiếp về mối quan hệ vuông góc giữa \( HK \) và \( SC \). Do đó, mệnh đề C chưa chắc chắn và cần thêm thông tin để xác định. 4. Mệnh đề D: \( AK \perp BD \) - \( AK \) là đường cao hạ từ \( A \) xuống \( SD \) trong tam giác \( SAD \). - \( BD \) là đường chéo của hình vuông \( ABCD \). - Vì \( (SAD) \perp (ABCD) \), do đó \( AK \perp AD \) và \( AK \perp BD \) vì \( BD \) nằm trong mặt phẳng \( (ABCD) \). Do đó, mệnh đề D đúng. Từ các lập luận trên, ta thấy rằng mệnh đề C là mệnh đề chưa chắc chắn và cần thêm thông tin để xác định. Tuy nhiên, dựa vào các thông tin đã cho và các lập luận đã thực hiện, ta có thể kết luận rằng mệnh đề C là mệnh đề sai. Đáp án: C. \( HK \perp SC \) Câu 6. Trước tiên, ta nhận thấy rằng hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Điều này có nghĩa là SA là đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD. Gọi I là điểm trên SC. Ta cần tìm khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABCD). Khi đó, khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABCD) sẽ là độ dài đoạn thẳng hạ từ I vuông góc xuống mặt phẳng (ABCD). Vì SA vuông góc với (ABCD), nên đoạn thẳng hạ từ I xuống (ABCD) sẽ nằm trên đường thẳng hạ từ S xuống (ABCD), tức là nằm trên SA. Do đó, khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABCD) chính là độ dài đoạn thẳng hạ từ I xuống SA, tức là đoạn thẳng IO. Vậy đáp án đúng là: A. IO Đáp số: A. IO Câu 7. Để tính thể tích khối chóp S.ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm diện tích đáy ABCD: Vì đáy ABCD là hình vuông cạnh a, nên diện tích đáy là: \[ S_{ABCD} = a^2 \] 2. Tìm chiều cao của khối chóp từ đỉnh S xuống đáy ABCD: Gọi H là hình chiếu trực giao của S lên mặt phẳng (ABCD). Theo đề bài, H là trung điểm của cạnh AB. Ta sẽ tính khoảng cách từ S đến H. - Vì H là trung điểm của AB, nên H nằm ở giữa A và B, tức là H cách mỗi đỉnh A và B một khoảng $\frac{a}{2}$. - Ta có SD = $\frac{3a}{2}$ và H là trung điểm của AB, nên SH là đường cao của khối chóp từ S xuống đáy ABCD. Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác SAD (với AD = a và SD = $\frac{3a}{2}$): \[ SH = \sqrt{SD^2 - HD^2} \] Trong đó, HD là khoảng cách từ H đến D. Vì H là trung điểm của AB, HD sẽ là khoảng cách từ trung điểm của AB đến D, tức là: \[ HD = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + a^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2} \] Do đó: \[ SH = \sqrt{\left(\frac{3a}{2}\right)^2 - \left(\frac{a\sqrt{5}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{4} - \frac{5a^2}{4}} = \sqrt{\frac{4a^2}{4}} = a \] 3. Tính thể tích khối chóp S.ABCD: Thể tích của khối chóp được tính bằng công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SH \] Thay các giá trị đã tìm được vào công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times a^2 \times a = \frac{a^3}{3} \] Vậy thể tích của khối chóp S.ABCD là: \[ \boxed{\frac{a^3}{3}} \] Đáp án đúng là: $B.~\frac{a^3}{3}$. Câu 8. Để tính xác suất để có ít nhất 1 cầu thủ ghi bàn, ta có thể tính xác suất để cả hai cầu thủ đều không ghi bàn và lấy 1 trừ đi xác suất đó. Xác suất để cầu thủ thứ nhất không ghi bàn là: \[ P(\text{không ghi bàn}) = 1 - 0,8 = 0,2 \] Xác suất để cầu thủ thứ hai không ghi bàn là: \[ P(\text{không ghi bàn}) = 1 - 0,7 = 0,3 \] Xác suất để cả hai cầu thủ đều không ghi bàn là: \[ P(\text{cả hai không ghi bàn}) = 0,2 \times 0,3 = 0,06 \] Vậy xác suất để có ít nhất 1 cầu thủ ghi bàn là: \[ P(\text{ít nhất 1 ghi bàn}) = 1 - P(\text{cả hai không ghi bàn}) = 1 - 0,06 = 0,94 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~P(X)=0,94. \] Câu 9. Để tìm xác suất của số có 3 chữ số được tạo ra từ các chữ số 1, 6, 9 là số chính phương, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tất cả các số có 3 chữ số có thể tạo ra từ các chữ số 1, 6, 9: - Các số có thể tạo ra là: 169, 196, 619, 691, 916, 961. 2. Kiểm tra xem các số này có phải là số chính phương hay không: - 169 = 13^2 (là số chính phương) - 196 = 14^2 (là số chính phương) - 619 (không phải số chính phương) - 691 (không phải số chính phương) - 916 (không phải số chính phương) - 961 = 31^2 (là số chính phương) 3. Tính xác suất: - Tổng số các số có thể tạo ra là 6. - Số các số chính phương trong đó là 3 (169, 196, 961). Xác suất là: \[ P = \frac{\text{số các số chính phương}}{\text{tổng số các số có thể tạo ra}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \] Vậy xác suất của số có 3 chữ số được tạo ra từ các chữ số 1, 6, 9 là số chính phương là $\frac{1}{2}$. Đáp án đúng là: $D.~\frac{1}{2}$. Câu 10. Để tính đạo hàm của hàm số $y = 17^{-x}$, ta áp dụng công thức đạo hàm của hàm mũ $a^u$ với $a > 0$, $a \neq 1$ và $u$ là hàm số của $x$. Công thức này là: \[ y' = a^u \cdot u' \cdot \ln(a) \] Trong trường hợp này, $a = 17$ và $u = -x$. Ta có: \[ u' = (-x)' = -1 \] Áp dụng công thức đạo hàm: \[ y' = 17^{-x} \cdot (-1) \cdot \ln(17) \] \[ y' = -17^{-x} \cdot \ln(17) \] Vậy đạo hàm của hàm số $y = 17^{-x}$ là: \[ y' = -17^{-x} \cdot \ln(17) \] Đáp án đúng là: \[ y' = -17^{-x} \cdot \ln(17) \] Câu 11. Để tìm đạo hàm cấp hai của hàm số \( y = \ln x \), chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm cấp một của hàm số \( y = \ln x \): \[ y' = \frac{d}{dx} (\ln x) = \frac{1}{x} \] 2. Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số \( y = \ln x \) bằng cách lấy đạo hàm của \( y' \): \[ y'' = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \right) = -\frac{1}{x^2} \] Vậy đạo hàm cấp hai của hàm số \( y = \ln x \) là: \[ y'' = -\frac{1}{x^2} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~y^{\prime\prime} = -\frac{1}{x^2}. \] Câu 12. Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{x^2}{3} + 3x^2 - 2$ với hệ số góc $k = -9$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left(\frac{x^2}{3} + 3x^2 - 2\right)' = \frac{2x}{3} + 6x = \frac{2x + 18x}{3} = \frac{20x}{3} \] 2. Xác định điểm tiếp xúc: Ta cần tìm giá trị của $x$ sao cho đạo hàm bằng $-9$: \[ \frac{20x}{3} = -9 \] Giải phương trình này: \[ 20x = -27 \implies x = -\frac{27}{20} \] 3. Tìm tọa độ điểm tiếp xúc: Thay $x = -\frac{27}{20}$ vào hàm số để tìm $y$: \[ y = \frac{\left(-\frac{27}{20}\right)^2}{3} + 3\left(-\frac{27}{20}\right)^2 - 2 \] Tính từng phần: \[ \left(-\frac{27}{20}\right)^2 = \frac{729}{400} \] \[ \frac{\frac{729}{400}}{3} = \frac{729}{1200} = \frac{243}{400} \] \[ 3 \cdot \frac{729}{400} = \frac{2187}{400} \] Cộng lại: \[ y = \frac{243}{400} + \frac{2187}{400} - 2 = \frac{243 + 2187}{400} - 2 = \frac{2430}{400} - 2 = \frac{2430}{400} - \frac{800}{400} = \frac{1630}{400} = \frac{163}{40} \] 4. Viết phương trình tiếp tuyến: Phương trình tiếp tuyến có dạng: \[ y - y_1 = k(x - x_1) \] Thay $k = -9$, $x_1 = -\frac{27}{20}$ và $y_1 = \frac{163}{40}$: \[ y - \frac{163}{40} = -9\left(x + \frac{27}{20}\right) \] Nhân cả hai vế với 40 để loại bỏ mẫu số: \[ 40y - 163 = -360\left(x + \frac{27}{20}\right) \] \[ 40y - 163 = -360x - 486 \] Chuyển 163 sang vế phải: \[ 40y = -360x - 486 + 163 \] \[ 40y = -360x - 323 \] Chia cả hai vế cho 40: \[ y = -9x - \frac{323}{40} \] Như vậy, phương trình tiếp tuyến là: \[ y = -9x - \frac{323}{40} \] Đáp án đúng là: D. \( y - 16 = -9(x + 3) \) Lời giải chi tiết: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{x^2}{3} + 3x^2 - 2$ với hệ số góc $k = -9$ là $y - 16 = -9(x + 3)$. Đáp án: D. \( y - 16 = -9(x + 3) \) Câu 1. Để giải quyết các câu hỏi trên, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. Bước 1: Xác định tổng số học sinh nam và nữ trong mỗi lớp - Lớp IIA: Số học sinh nam thích nước giải khát A là 23, số học sinh nữ thích nước giải khát A là 12. - Lớp 11B: Số học sinh nam thích nước giải khát A là 25, số học sinh nữ thích nước giải khát A là 13. - Lớp IIÊ: Số học sinh nam thích nước giải khát A là 20, số học sinh nữ thích nước giải khát A là 15. Bước 2: Tính xác suất để chọn được một học sinh nam và một học sinh nữ ở khối lớp 11 mà thích uống nước giải khát A Tổng số học sinh nam thích nước giải khát A: \[ 23 + 25 + 20 = 68 \] Tổng số học sinh nữ thích nước giải khát A: \[ 12 + 13 + 15 = 40 \] Tổng số học sinh nam và nữ trong khối lớp 11: \[ 68 + 40 = 108 \] Xác suất để chọn được một học sinh nam và một học sinh nữ thích nước giải khát A: \[ P(\text{Nam và Nữ}) = \frac{68}{108} \times \frac{40}{107} = \frac{2720}{11556} = \frac{952}{4565} \] Bước 3: Tính xác suất để chọn được một học sinh nam ở lớp 11A và một học sinh nam ở lớp 11B không thích nước giải khát A Số học sinh nam không thích nước giải khát A ở lớp 11B: \[ \text{Tổng số học sinh nam ở lớp 11B} - \text{Số học sinh nam thích nước giải khát A ở lớp 11B} = 25 - 25 = 0 \] Do đó, xác suất để chọn được một học sinh nam ở lớp 11A và một học sinh nam ở lớp 11B không thích nước giải khát A là: \[ P(\text{Nam 11A và Nam 11B không thích}) = 0 \] Bước 4: Tính xác suất \( P(A) \) Biến cố \( A \): "Học sinh nam thích nước giải khát A" Tổng số học sinh nam trong khối lớp 11: \[ 68 \] Tổng số học sinh nam thích nước giải khát A: \[ 68 \] Xác suất \( P(A) \): \[ P(A) = \frac{68}{108} = \frac{42}{79} \] Bước 5: Kiểm tra việc thích uống nước giải khát A có phụ thuộc vào giới tính Xác suất để chọn được một học sinh nam thích nước giải khát A: \[ P(\text{Nam và Thích}) = \frac{68}{108} = \frac{42}{79} \] Xác suất để chọn được một học sinh nữ thích nước giải khát A: \[ P(\text{Nữ và Thích}) = \frac{40}{108} = \frac{37}{79} \] Vì xác suất này khác nhau, nên việc thích uống nước giải khát A phụ thuộc vào giới tính. Đáp số: a) Xác suất để chọn được một học sinh nam và một học sinh nữ ở khối lớp 11 mà thích uống nước giải khát A là \(\frac{952}{4565}\). b) Xác suất để chọn được một học sinh nam ở lớp 11A và một học sinh nam ở lớp 11B không thích nước giải khát A là 0. c) \( P(A) = \frac{42}{79} \). d) Việc thích uống nước giải khát A phụ thuộc vào giới tính. Câu 2. a) Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) là đoạn BC - Vì tam giác ABC vuông tại B nên BC ⊥ AB. - Mặt khác, SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC. - Từ đó suy ra BC ⊥ (SAB) (vì BC ⊥ AB và BC ⊥ SA, hai đường thẳng này cắt nhau trong mặt phẳng (ABC)). - Vậy khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) là đoạn BC. b) BC ⊥ (SAB) - Như đã chứng minh ở trên, vì BC ⊥ AB và BC ⊥ SA, nên BC ⊥ (SAB). c) Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) là đoạn AB - Vì tam giác ABC vuông tại B nên AB ⊥ BC. - Mặt khác, SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ AB. - Từ đó suy ra AB ⊥ (SAC) (vì AB ⊥ BC và AB ⊥ SA, hai đường thẳng này cắt nhau trong mặt phẳng (ABC)). - Vậy khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) là đoạn AB. d) SB ⊥ BC - Vì tam giác ABC vuông tại B nên BC ⊥ AB. - Mặt khác, SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC. - Từ đó suy ra BC ⊥ (SAB) (vì BC ⊥ AB và BC ⊥ SA, hai đường thẳng này cắt nhau trong mặt phẳng (ABC)). - Do đó, SB ⊥ BC (vì SB nằm trong mặt phẳng (SAB) và BC ⊥ (SAB)). Kết luận: a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Đúng