Giải giúp e với ạ

Câu 73. Để tính xác suất 3 viên bi được chọn có cả màu xanh và màu đỏ, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tổng số cách chọn 3 viên bi từ 6 viên bi: - Số cách chọn 3 viên bi từ 6 viên bi là: \[ C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \] 2. Tìm số cách chọn 3 viên bi sao cho cả 3 viên đều có cùng màu: - Số cách chọn 3 viên bi màu xanh từ 3 viên bi màu xanh là: \[ C_3^3 = \frac{3!}{3!(3-3)!} = 1 \] - Số cách chọn 3 viên bi màu đỏ từ 3 viên bi màu đỏ là: \[ C_3^3 = \frac{3!}{3!(3-3)!} = 1 \] - Tổng số cách chọn 3 viên bi cùng màu là: \[ 1 + 1 = 2 \] 3. Tìm số cách chọn 3 viên bi sao cho có cả màu xanh và màu đỏ: - Số cách chọn 3 viên bi có cả màu xanh và màu đỏ là: \[ 20 - 2 = 18 \] 4. Tính xác suất: - Xác suất để 3 viên bi được chọn có cả màu xanh và màu đỏ là: \[ P = \frac{\text{Số cách chọn 3 viên bi có cả màu xanh và màu đỏ}}{\text{Tổng số cách chọn 3 viên bi từ 6 viên bi}} = \frac{18}{20} = \frac{9}{10} \] Vậy xác suất 3 viên bi được chọn có cả màu xanh và màu đỏ là $\frac{9}{10}$. Câu 74. Để chứng minh rằng $xy' - y - x = 0$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số \( y = x \ln x \): Ta sử dụng công thức đạo hàm của tích hai hàm số \( u(x) \) và \( v(x) \): \[ (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' \] Ở đây, \( u(x) = x \) và \( v(x) = \ln x \). Đạo hàm của \( u(x) = x \) là: \[ u'(x) = 1 \] Đạo hàm của \( v(x) = \ln x \) là: \[ v'(x) = \frac{1}{x} \] Do đó, đạo hàm của \( y = x \ln x \) là: \[ y' = (x \ln x)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1 \] 2. Thay \( y' \) vào biểu thức \( xy' - y - x \): Ta có: \[ xy' = x (\ln x + 1) = x \ln x + x \] Biểu thức \( xy' - y - x \) trở thành: \[ xy' - y - x = (x \ln x + x) - (x \ln x) - x \] 3. Rút gọn biểu thức: \[ xy' - y - x = x \ln x + x - x \ln x - x = 0 \] Như vậy, ta đã chứng minh được rằng: \[ xy' - y - x = 0 \] Câu 75. Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $\Delta:~y=-x-4$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số $y=-x^3+2x-2$. \[ y' = -3x^2 + 2 \] Bước 2: Xác định điều kiện để tiếp tuyến song song với đường thẳng $\Delta$. Đường thẳng $\Delta$ có dạng $y = -x - 4$, do đó hệ số góc của nó là $-1$. Tiếp tuyến song song với $\Delta$ sẽ có cùng hệ số góc, tức là: \[ y' = -1 \] \[ -3x^2 + 2 = -1 \] \[ -3x^2 = -3 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = \pm 1 \] Bước 3: Tìm tọa độ điểm tiếp xúc trên đồ thị $(C)$. - Với $x = 1$: \[ y = -(1)^3 + 2(1) - 2 = -1 + 2 - 2 = -1 \] Điểm tiếp xúc là $(1, -1)$. - Với $x = -1$: \[ y = -(-1)^3 + 2(-1) - 2 = 1 - 2 - 2 = -3 \] Điểm tiếp xúc là $(-1, -3)$. Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến tại các điểm tiếp xúc. - Tại điểm $(1, -1)$: Phương trình tiếp tuyến có dạng $y = mx + n$, với $m = -1$ và đi qua điểm $(1, -1)$: \[ -1 = -1(1) + n \] \[ -1 = -1 + n \] \[ n = 0 \] Phương trình tiếp tuyến là $y = -x$. - Tại điểm $(-1, -3)$: Phương trình tiếp tuyến có dạng $y = mx + n$, với $m = -1$ và đi qua điểm $(-1, -3)$: \[ -3 = -1(-1) + n \] \[ -3 = 1 + n \] \[ n = -4 \] Phương trình tiếp tuyến là $y = -x - 4$. Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ song song với đường thẳng $\Delta$ là: \[ y = -x \] \[ y = -x - 4 \] Câu 76: Trước tiên, ta nhận thấy rằng hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Điều này có nghĩa là đoạn thẳng SA chính là khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng (ABCD). Ta biết rằng SB = $\sqrt{2}a$. Để tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABCD), ta cần tìm độ dài đoạn thẳng SA. Xét tam giác SAB, ta có: - AB = a - SB = $\sqrt{2}a$ - SA vuông góc với AB (vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD)) Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông SAB, ta có: \[ SB^2 = SA^2 + AB^2 \] Thay các giá trị đã biết vào, ta có: \[ (\sqrt{2}a)^2 = SA^2 + a^2 \] \[ 2a^2 = SA^2 + a^2 \] Trừ cả hai vế đi $a^2$, ta được: \[ 2a^2 - a^2 = SA^2 \] \[ a^2 = SA^2 \] Vậy: \[ SA = a \] Do đó, khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABCD) là \( a \). Đáp số: \( a \)