Bvbbnnvvnnmbvccccccc

Câu 1. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phát biểu và tính xác suất cho các biến cố liên quan. a) Kiểm tra $P(A) > P(B)$ - Biến cố A: Rút được một thẻ đánh số chẵn và một thẻ đánh số lẻ. - Biến cố B: Rút được hai thẻ đều đánh số chẵn. Số cách rút 2 thẻ từ 20 thẻ: Số cách rút 2 thẻ từ 20 thẻ là: \[ C_{20}^2 = \frac{20 \times 19}{2} = 190 \] Số cách rút 1 thẻ chẵn và 1 thẻ lẻ: Có 10 thẻ chẵn và 10 thẻ lẻ. Số cách rút 1 thẻ chẵn và 1 thẻ lẻ là: \[ 10 \times 10 = 100 \] Vậy xác suất của biến cố A là: \[ P(A) = \frac{100}{190} = \frac{10}{19} \] Số cách rút 2 thẻ đều chẵn: Số cách rút 2 thẻ từ 10 thẻ chẵn là: \[ C_{10}^2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45 \] Vậy xác suất của biến cố B là: \[ P(B) = \frac{45}{190} = \frac{9}{38} \] So sánh: \[ \frac{10}{19} > \frac{9}{38} \] Vậy $P(A) > P(B)$ là đúng. b) Biến cố "Tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn" là $A \cup B$ - Biến cố "tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn" xảy ra khi ít nhất một trong hai số là số chẵn. - Điều này tương đương với việc hoặc cả hai số đều chẵn (biến cố B) hoặc một số chẵn và một số lẻ (biến cố A). Vậy biến cố "tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn" là $A \cup B$. c) Kiểm tra $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ Do biến cố A và B là hai biến cố không giao nhau (không thể cùng xảy ra), nên: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \] d) Xác suất để rút được 2 thẻ sao cho tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn Xác suất của biến cố "tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn" là: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{10}{19} + \frac{9}{38} = \frac{20}{38} + \frac{9}{38} = \frac{29}{38} \] Vậy xác suất để rút được 2 thẻ sao cho tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn là $\frac{29}{38}$, không phải $\frac{425}{487}$. Kết luận: - Đáp án đúng là: a) $P(A) > P(B)$, b) Biến cố "tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn" là $A \cup B$, c) $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$, d) Xác suất để rút được 2 thẻ sao cho tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn là $\frac{29}{38}$. Câu 2. Để giải quyết các câu hỏi về vận tốc và gia tốc của vật chuyển động theo công thức \( x(t) = t^3 + 3t^2 - 7t - 2 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Vận tốc của vật tại thời điểm \( t \) Vận tốc \( v(t) \) của vật là đạo hàm của quãng đường \( x(t) \) theo thời gian \( t \): \[ v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 + 3t^2 - 7t - 2) \] \[ v(t) = 3t^2 + 6t - 7 \] b) Gia tốc của vật tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng 38 m/s Gia tốc \( a(t) \) của vật là đạo hàm của vận tốc \( v(t) \) theo thời gian \( t \): \[ a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 + 6t - 7) \] \[ a(t) = 6t + 6 \] Bây giờ, ta cần tìm thời điểm \( t \) mà vận tốc \( v(t) = 38 \) m/s: \[ 3t^2 + 6t - 7 = 38 \] \[ 3t^2 + 6t - 45 = 0 \] \[ t^2 + 2t - 15 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ t = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15)}}{2 \cdot 1} \] \[ t = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2} \] \[ t = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2} \] \[ t = \frac{-2 \pm 8}{2} \] \[ t = 3 \text{ hoặc } t = -5 \] Vì \( t > 0 \), ta chọn \( t = 3 \). Gia tốc tại thời điểm \( t = 3 \): \[ a(3) = 6 \cdot 3 + 6 = 18 + 6 = 24 \text{ m/s}^2 \] c) Vận tốc của vật tại thời điểm \( t = 2 \) Thay \( t = 2 \) vào biểu thức vận tốc: \[ v(2) = 3 \cdot 2^2 + 6 \cdot 2 - 7 \] \[ v(2) = 3 \cdot 4 + 12 - 7 \] \[ v(2) = 12 + 12 - 7 \] \[ v(2) = 17 \text{ m/s} \] d) Gia tốc của vật tại thời điểm \( t = 2 \) Thay \( t = 2 \) vào biểu thức gia tốc: \[ a(2) = 6 \cdot 2 + 6 \] \[ a(2) = 12 + 6 \] \[ a(2) = 18 \text{ m/s}^2 \] Kết luận: a) Vận tốc của vật tại thời điểm \( t \) là \( v(t) = 3t^2 + 6t - 7 \) b) Gia tốc của vật tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng 38 m/s là 24 m/s² c) Vận tốc của vật tại thời điểm \( t = 2 \) là 17 m/s d) Gia tốc của vật tại thời điểm \( t = 2 \) là 18 m/s² Câu 1. Để giải bất phương trình $3^{47-7} \geq \frac{1}{27}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết lại biểu thức: \[ 3^{40} \geq \frac{1}{27} \] 2. Biểu diễn $\frac{1}{27}$ dưới dạng lũy thừa cơ sở 3: \[ \frac{1}{27} = 3^{-3} \] Vậy bất phương trình trở thành: \[ 3^{40} \geq 3^{-3} \] 3. So sánh các lũy thừa cùng cơ sở: Vì cơ sở là 3 (số dương lớn hơn 1), nên ta so sánh các mũ: \[ 40 \geq -3 \] 4. Kết luận: Bất phương trình $40 \geq -3$ luôn đúng, do đó bất phương trình ban đầu luôn đúng với mọi giá trị của biến. Tuy nhiên, theo yêu cầu của đề bài, tập nghiệm của bất phương trình là $S = [a; +\infty)$. Điều này có nghĩa là bất phương trình luôn đúng với mọi giá trị của biến, tức là $a$ có thể là bất kỳ giá trị nào. Nhưng để phù hợp với yêu cầu của đề bài, ta chọn $a$ là giá trị nhỏ nhất có thể, tức là $-\infty$. Do đó, giá trị của $a$ là $-\infty$. Đáp số: $a = -\infty$ Câu 2. Tổng số cách chọn 4 bông hoa từ 15 bông hoa là: \[ C_{15}^{4} = \frac{15!}{4!(15-4)!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1365 \] Số cách chọn 4 bông hoa cùng loại: - Chọn 4 bông hoa hồng: \( C_{4}^{4} = 1 \) - Chọn 4 bông hoa lan: \( C_{5}^{4} = 5 \) - Chọn 4 bông hoa ly: \( C_{6}^{4} = 15 \) Tổng số cách chọn 4 bông hoa cùng loại là: \[ 1 + 5 + 15 = 21 \] Xác suất để 4 bông hoa được chọn cùng loại là: \[ P = \frac{21}{1365} \approx 0,0154 \] Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm: \[ P \approx 0,02 \] Đáp số: 0,02 Câu 3. Để tính độ mở của màn hình máy tính, ta cần tìm số đo của góc nhị diện giữa hai mặt phẳng chứa các tam giác ABC và ACD. Ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định các điểm và tam giác liên quan. - Tam giác ABC có AB = AC = 30 cm và BC = 30√3 cm. - Gọi D là điểm trên đường thẳng qua C và vuông góc với BC, sao cho CD = 30 cm. Bước 2: Xác định góc nhị diện. - Góc nhị diện giữa hai mặt phẳng chứa tam giác ABC và ACD là góc giữa hai đường thẳng vuông góc hạ từ điểm chung xuống hai mặt phẳng. Bước 3: Tìm góc giữa hai đường thẳng. - Ta cần tìm góc giữa đường thẳng hạ từ A vuông góc với mặt phẳng ABC và đường thẳng hạ từ A vuông góc với mặt phẳng ACD. Bước 4: Xác định các đoạn thẳng và góc liên quan. - Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BC trong tam giác ABC. - Ta có AH là đường cao của tam giác ABC, và AH cũng là đường cao của tam giác ACD. Bước 5: Tính độ dài AH. - Tam giác ABC là tam giác cân tại A, nên AH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến. - Ta có BH = HC = $\frac{BC}{2} = \frac{30\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}$ cm. - Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác AHB: \[ AH^2 + BH^2 = AB^2 \] \[ AH^2 + (15\sqrt{3})^2 = 30^2 \] \[ AH^2 + 675 = 900 \] \[ AH^2 = 225 \] \[ AH = 15 \text{ cm} \] Bước 6: Xác định góc giữa hai đường thẳng. - Gọi I là chân đường cao hạ từ A xuống CD trong tam giác ACD. - Ta có AI = AH = 15 cm. - Góc giữa hai đường thẳng AH và AI chính là góc nhị diện cần tìm. Bước 7: Tính góc nhị diện. - Ta có tam giác AHI là tam giác vuông tại H. - Góc HAI là góc nhị diện cần tìm. - Ta có: \[ \cos(\angle HAI) = \frac{AH}{AI} = \frac{15}{15} = 1 \] \[ \angle HAI = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \] Vậy độ mở của màn hình máy tính là 30 độ. Câu 4. Để tìm giá trị của \( f\left( \frac{\pi}{2} \right) \), chúng ta thay \( x = \frac{\pi}{2} \) vào hàm số \( y = f(x) = 2 \cos \left( \frac{5\pi}{6} + x \right) \). Bước 1: Thay \( x = \frac{\pi}{2} \) vào biểu thức: \[ f\left( \frac{\pi}{2} \right) = 2 \cos \left( \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{2} \right) \] Bước 2: Tính tổng trong dấu cos: \[ \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{8\pi}{6} = \frac{4\pi}{3} \] Bước 3: Tìm giá trị của \( \cos \left( \frac{4\pi}{3} \right) \): \[ \cos \left( \frac{4\pi}{3} \right) = \cos \left( \pi + \frac{\pi}{3} \right) = -\cos \left( \frac{\pi}{3} \right) = -\frac{1}{2} \] Bước 4: Thay giá trị của \( \cos \left( \frac{4\pi}{3} \right) \) vào biểu thức: \[ f\left( \frac{\pi}{2} \right) = 2 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) = -1 \] Vậy giá trị của \( f\left( \frac{\pi}{2} \right) \) là \(-1\). Đáp số: \(-1\) Câu 1: Để tính xác suất để có ít nhất 1 cầu thủ làm bàn, ta có thể tính xác suất để cả hai cầu thủ đều không làm bàn và sau đó lấy 1 trừ đi xác suất đó. Xác suất để cầu thủ thứ nhất không làm bàn là: \[ 1 - 0,9 = 0,1 \] Xác suất để cầu thủ thứ hai không làm bàn là: \[ 1 - 0,5 = 0,5 \] Xác suất để cả hai cầu thủ đều không làm bàn là: \[ 0,1 \times 0,5 = 0,05 \] Vậy xác suất để có ít nhất 1 cầu thủ làm bàn là: \[ 1 - 0,05 = 0,95 \] Đáp số: 0,95 Câu 2: Để viết phương trình tiếp tuyến của đường cong $y = x^2$ tại điểm có tung độ bằng 27, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ điểm trên đường cong: - Ta có $y = 27$, thay vào phương trình $y = x^2$: \[ x^2 = 27 \implies x = \pm \sqrt{27} = \pm 3\sqrt{3} \] - Vậy hai điểm trên đường cong có tung độ bằng 27 là $(3\sqrt{3}, 27)$ và $(-3\sqrt{3}, 27)$. 2. Tìm đạo hàm của hàm số: - Đạo hàm của $y = x^2$ là: \[ y' = 2x \] 3. Tính hệ số góc của tiếp tuyến tại mỗi điểm: - Tại điểm $(3\sqrt{3}, 27)$: \[ y'(3\sqrt{3}) = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \] - Tại điểm $(-3\sqrt{3}, 27)$: \[ y'(-3\sqrt{3}) = 2 \cdot (-3\sqrt{3}) = -6\sqrt{3} \] 4. Viết phương trình tiếp tuyến tại mỗi điểm: - Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(3\sqrt{3}, 27)$: \[ y - 27 = 6\sqrt{3}(x - 3\sqrt{3}) \] \[ y - 27 = 6\sqrt{3}x - 54 \] \[ y = 6\sqrt{3}x - 27 \] - Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(-3\sqrt{3}, 27)$: \[ y - 27 = -6\sqrt{3}(x + 3\sqrt{3}) \] \[ y - 27 = -6\sqrt{3}x - 54 \] \[ y = -6\sqrt{3}x - 27 \] Vậy phương trình tiếp tuyến của đường cong $y = x^2$ tại điểm có tung độ bằng 27 là: - $y = 6\sqrt{3}x - 27$ - $y = -6\sqrt{3}x - 27$ Câu 3: a) Tính thể tích của miếng pho mát: - Diện tích đáy của khối lăng trụ đứng là $\frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18$ cm². - Thể tích của khối lăng trụ đứng là $18 \times 15 = 270$ cm³. - Khối lượng của miếng pho mát là $270 \times 3 = 810$ g. b) Tính diện tích giấy bạn Trang sử dụng: - Diện tích một mặt của hình tử diện đều là $\frac{1}{2} \times 6 \times 2\sqrt6 = 6\sqrt6$ cm². - Diện tích giấy bạn Trang sử dụng là $4 \times 6\sqrt6 = 24\sqrt6$ cm². Đáp số: a) 810 g; b) $24\sqrt6$ cm².