cho tam giác abc có ba góc nhọn (ab<ac) và nội tiếp đường tròn (o;r). các đường cao bn, cd cắt nhau tại h. gọi m là trung điểm của bc. tia mh cắt đường tròn (o) tại p. chứng minh tam giác bpd đồng dạng...

Pahn Ngyuen

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn ($AB < AC$) và nội tiếp đường tròn $(O;R)$. Các đường cao $BN$, $CD$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Tia $MH$ cắt đường tròn $(O)$ tại $P$. Chứng minh tam giác $BPD$ đồng dạng tam giác $CPN$.

Lời giải:

*  Gọi $E$ là giao điểm của $AH$ và $BC$.

*  Ta có $BE \perp AC$ và $CD \perp AB$. Mà $BN$ và $CD$ là các đường cao của $\triangle ABC$ nên $H$ là trực tâm của $\triangle ABC$. Suy ra $AE \perp BC$.

*  Vì $H$ là trực tâm $\triangle ABC$ nên $AH$ là đường cao thứ ba. Suy ra $AE \perp BC$.

*  Gọi $K$ là giao điểm của $AP$ và $BC$.

*  Xét tứ giác $BHCP$ có $M$ là trung điểm $BC$ và $M$ cũng là trung điểm $HP$ (do tính chất đối xứng của trực tâm qua trung điểm cạnh đối diện). Suy ra $BHCP$ là hình bình hành.

*  Ta có $\widehat{BPC} = \widehat{BHC}$ (hai góc đối của hình bình hành)

  Mà $\widehat{BHC} = 180^{\circ} - \widehat{A}$ (tứ giác $ADHE$ nội tiếp).

  $\Rightarrow \widehat{BPC} = 180^{\circ} - \widehat{A}$

  Lại có $\widehat{BAC} + \widehat{BPC} = 180^{\circ}$ (tổng hai góc đối trong tứ giác nội tiếp)

  Suy ra $AK \perp BC$

*  Ta có $AK \perp BC$ và $AE \perp BC$ nên $A, K, E$ thẳng hàng.

*  Ta có $\widehat{PBD} = \widehat{PAC}$ (cùng chắn cung $PC$)

  $\widehat{PCN} = \widehat{PAB}$ (cùng chắn cung $PB$)

*  Mà $AK$ là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của $\triangle APB$.

  Suy ra $\triangle APB$ cân tại $A$

  $\Rightarrow \widehat{PAB} = \widehat{PAC}$

  $\Rightarrow \widehat{PBD} = \widehat{PCN}$

*  Ta có $\widehat{BPD} = \widehat{BCD}$ (cùng chắn cung $BD$)

  $\widehat{CPN} = \widehat{CBN}$ (cùng chắn cung $CN$)

  Mà $\widehat{BCD} = \widehat{CBN}$ (cùng phụ với $\widehat{A}$)

  Suy ra $\widehat{BPD} = \widehat{CPN}$

*  Vậy $\triangle BPD \sim \triangle CPN$ (g.g)

Vậy tam giác $BPD$ đồng dạng với tam giác $CPN$.