Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Bài 1: Cho biểu thức,$P=\frac{2x+2}{\sqrt x}+\frac{x\sqrt x-1}{x-\sqrt x}-\frac{x\sqrt x+1}{x+\sqrt x}$,, với $x0;x e1$,a. Rút gọn biểu thức P.,b. So sánh P với 5.,Bài 2: Cho,$P=(\frac{2\sqrt x}{\sqrt x+3}+\frac{\sqrt x}{\sqrt x-3}-\frac{3x+3}{x-9}):(\frac{2\sqrt x-2}{\sqrt x-3}-1)$,với $x\geq0:x e9$,a. Rút gọn biểu thức P,$P0,x e1$,a. Rút gọn M,b. Tìm x nguyên để M có giá trị nguyên,Bài 4: Cho biểu thức,$P=(\frac{\sqrt x}{\sqrt x-1}-\frac{\sqrt x}{x-1}):(\frac2x-\frac{2-x}{x(\sqrt x+1)});x0,x e1$,a. Rút gọn P

Question

Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Bài 1: Cho biểu thức,$P=\frac{2x+2}{\sqrt x}+\frac{x\sqrt x-1}{x-\sqrt x}-\frac{x\sqrt x+1}{x+\sqrt x}$,, với $x>0;x
e1$,a. Rút gọn biểu thức P.,b. So sánh P với 5.,Bài 2: Cho,$P=(\frac{2\sqrt x}{\sqrt x+3}+\frac{\sqrt x}{\sqrt x-3}-\frac{3x+3}{x-9}):(\frac{2\sqrt x-2}{\sqrt x-3}-1)$,với $x\geq0:x
e9$,a. Rút gọn biểu thức P,$P<-\frac12$,b. Tìm x để,Bài 3: Cho biểu thức,$M=(\frac1{\sqrt x-1}-\frac1{x\sqrt x-1}).\frac{3\sqrt x-3}{x+\sqrt x};x>0,x
e1$,a. Rút gọn M,b. Tìm x nguyên để M có giá trị nguyên,Bài 4: Cho biểu thức,$P=(\frac{\sqrt x}{\sqrt x-1}-\frac{\sqrt x}{x-1}):(\frac2x-\frac{2-x}{x(\sqrt x+1)});x>0,x
e1$,a. Rút gọn P

Mua hàng shopee · Accepted Answer

{"userId":5079087,"userName":"Triệu Hải"}

Bài 1:

a) Rút gọn biểu thức P:

$P = \frac{2x+2}{\sqrt{x}} + \frac{x\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}} - \frac{x\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}$

$P = \frac{2x+2}{\sqrt{x}} + \frac{( \sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)} - \frac{(\sqrt{x}+1)(x-\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}$

$P = \frac{2x+2}{\sqrt{x}} + \frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}} - \frac{x-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$

$P = \frac{2x+2 + x+\sqrt{x}+1 - (x-\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}}$

$P = \frac{2x+2+x+\sqrt{x}+1-x+\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$

$P = \frac{2x+2\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}} = \frac{2(x+\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}}$

b) So sánh P với 5:

Xét hiệu: $P-5 = \frac{2(x+\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}} - 5 = \frac{2x+2\sqrt{x}+2 - 5\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{2x - 3\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}}$

Xét tử số: $2x - 3\sqrt{x} + 2 = 2(x - \frac{3}{2}\sqrt{x} + 1)$.

Đặt $t=\sqrt{x} > 0$

Xét $2t^2-3t+2 = 2(t^2-\frac{3}{2}t+1)= 2(t^2-\frac{3}{2}t+\frac{9}{16}+\frac{7}{16}) = 2((t-\frac{3}{4})^2+\frac{7}{16}) > 0$

Suy ra $2x - 3\sqrt{x} + 2 > 0$.

Vì $\sqrt{x} > 0$ nên $\frac{2x - 3\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}} > 0$. Vậy $P - 5 > 0 \Rightarrow P > 5$.

Bài 2:

a) Rút gọn biểu thức P:

$P = (\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3} - \frac{3x+3}{x-9}) : (\frac{2\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-3} - 1)$

$P = [\frac{2\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)}{\left(\sqrt{x}+3 ight)\left(\sqrt{x}-3 ight)} + \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+3)}{\left(\sqrt{x}-3 ight)\left(\sqrt{x}+3 ight)} - \frac{3x+3}{x-9} ] : [\frac{2\sqrt{x}-2-(\sqrt{x}-3)}{\sqrt{x}-3}]$

$P = [\frac{2x-6\sqrt{x} + x+3\sqrt{x} - 3x - 3}{x-9}] : [\frac{2\sqrt{x}-2 - \sqrt{x} + 3}{\sqrt{x}-3}]$

$P = \frac{-3\sqrt{x}-3}{x-9} : \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3} = \frac{-3(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} \cdot \frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1}$

$P = \frac{-3}{\sqrt{x}+3}$.

b) Tìm x để $P < -\frac{1}{2}$:

$\frac{-3}{\sqrt{x}+3} < -\frac{1}{2}$

$\frac{3}{\sqrt{x}+3} > \frac{1}{2}$

$6 > \sqrt{x}+3$

$3 > \sqrt{x}$

$9 > x$.

Kết hợp với điều kiện $x \geq 0$ và $x e 9$ ta được $0 \leq x < 9$.

Bài 3:

a) Rút gọn M:

$M = (\frac{1}{\sqrt{x}-1} - \frac{1}{x-\sqrt{x}}) \cdot \frac{3\sqrt{x}-3}{x+\sqrt{x}}$

$M = (\frac{1}{\sqrt{x}-1} - \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}) \cdot \frac{3(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}$

$M = (\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}) \cdot \frac{3(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}$

$M = \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{3(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)} = \frac{3(\sqrt{x}-1)}{x(\sqrt{x}+1)}$

b) Tìm x nguyên để M có giá trị nguyên.

$M = \frac{3(\sqrt{x}-1)}{x(\sqrt{x}+1)}$

Vì $x$ nguyên và $M$ nguyên, nên $\sqrt{x}$ phải hữu tỷ. Suy ra $x$ là số chính phương.

Đặt $x=k^2, k \in N^*, k e 1$.

$M=\frac{3(k-1)}{k^2(k+1)}$

Để $M$ nguyên thì $k^2(k+1)$ là ước của $3(k-1)$.

Suy ra $|k^2(k+1)| \le |3(k-1)|$

Nếu $k>1$ thì $k^2(k+1) \le 3(k-1)$. (Vô lý).

Vậy không có giá trị nguyên nào của $x$ để $M$ nguyên.

Timi · Answer

Bài 1: a. Rút gọn biểu thức $ P $: Điều kiện xác định: $ x > 0; x \neq 1 $ Ta có: $$ P = \frac{2x + 2}{\sqrt{x}} + \frac{x\sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x}} - \frac{x\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x}} $$ Chúng ta sẽ rút gọn từng phân thức một. Phân thức đầu tiên: $$ \frac{2x + 2}{\sqrt{x}} = \frac{2(x + 1)}{\sqrt{x}} = 2 \cdot \frac{x + 1}{\sqrt{x}} = 2 \left( \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \right) $$ Phân thức thứ hai: $$ \frac{x\sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}(x - \frac{1}{\sqrt{x}})}{x - \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}(x - \frac{1}{\sqrt{x}})}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)} = \frac{x - \frac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{x} - 1} = \frac{x - \frac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{x} - 1} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - \frac{1}{x})}{\sqrt{x} - 1} = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} $$ Phân thức thứ ba: $$ \frac{x\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}(x + \frac{1}{\sqrt{x}})}{x + \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}(x + \frac{1}{\sqrt{x}})}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} = \frac{x + \frac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{x} + 1} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + \frac{1}{x})}{\sqrt{x} + 1} = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} $$ Vậy: $$ P = 2 \left( \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \right) + \left( \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \right) - \left( \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \right) = 2 \left( \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \right) $$ b. So sánh $ P $ với 5: Ta có: $$ P = 2 \left( \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \right) $$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $$ \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \geq 2 $$ Do đó: $$ 2 \left( \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \right) \geq 2 \times 2 = 4 $$ Vậy $ P \geq 4 $. Để so sánh $ P $ với 5, ta thấy rằng $ P $ luôn lớn hơn hoặc bằng 4, nhưng không chắc chắn $ P $ luôn lớn hơn 5. Do đó, ta cần kiểm tra thêm: Nếu $ \sqrt{x} = 1 $, tức là $ x = 1 $, thì: $$ P = 2 \left( 1 + 1 \right) = 4 $$ Vậy $ P $ có thể bằng 4, nhưng không thể lớn hơn 5. Kết luận: $$ P \leq 5 $$ Đáp số: $ P \leq 5 $ Bài 2: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a. Rút gọn biểu thức $ P $ Điều kiện xác định: $ x \geq 0 $ và $ x \neq 9 $. Biểu thức $ P $ là: $$ P = \left( \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \frac{3x + 3}{x - 9} \right) : \left( \frac{2\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 3} - 1 \right) $$ Bước 1: Rút gọn từng phân thức trong biểu thức $ P $ Phân thức thứ nhất: $$ \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} $$ Phân thức thứ hai: $$ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} $$ Phân thức thứ ba: $$ \frac{3x + 3}{x - 9} = \frac{3(x + 1)}{(x - 3)(x + 3)} $$ Phân thức thứ tư: $$ \frac{2\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 3} - 1 = \frac{2(\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x} - 3} - 1 = \frac{2(\sqrt{x} - 1) - (\sqrt{x} - 3)}{\sqrt{x} - 3} = \frac{2\sqrt{x} - 2 - \sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 3} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} $$ Bước 2: Rút gọn biểu thức $ P $ Biểu thức $ P $ trở thành: $$ P = \left( \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \frac{3(x + 1)}{(x - 3)(x + 3)} \right) : \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} $$ Chúng ta sẽ quy đồng các phân thức trong ngoặc trước: $$ \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} = \frac{2\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3) + \sqrt{x}(\sqrt{x} + 3)}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)} = \frac{2x - 6\sqrt{x} + x + 3\sqrt{x}}{x - 9} = \frac{3x - 3\sqrt{x}}{x - 9} $$ Do đó: $$ P = \left( \frac{3x - 3\sqrt{x}}{x - 9} - \frac{3(x + 1)}{(x - 3)(x + 3)} \right) : \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} $$ Quy đồng và rút gọn: $$ P = \left( \frac{3x - 3\sqrt{x} - 3(x + 1)}{x - 9} \right) : \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} = \left( \frac{-3\sqrt{x} - 3}{x - 9} \right) : \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} $$ $$ P = \frac{-3(\sqrt{x} + 1)}{x - 9} \times \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 1} = \frac{-3(\sqrt{x} - 3)}{x - 9} = \frac{-3(\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} = \frac{-3}{\sqrt{x} + 3} $$ b. Tìm $ x $ để $ P < -\frac{1}{2} $ Ta có: $$ \frac{-3}{\sqrt{x} + 3} < -\frac{1}{2} $$ Nhân cả hai vế với $-1$ (và đổi chiều bất đẳng thức): $$ \frac{3}{\sqrt{x} + 3} > \frac{1}{2} $$ Nhân cả hai vế với $2(\sqrt{x} + 3)$: $$ 6 > \sqrt{x} + 3 $$ Trừ cả hai vế cho 3: $$ 3 > \sqrt{x} $$ Vậy: $$ \sqrt{x} < 3 $$ Căn bậc hai của $x$ nhỏ hơn 3, do đó: $$ x < 9 $$ Kết hợp với điều kiện ban đầu $ x \geq 0 $ và $ x \neq 9 $, ta có: $$ 0 \leq x < 9 $$ Đáp số: $$ 0 \leq x < 9 $$ Bài 3: Điều kiện xác định: $ x > 0, x \neq 1 $. a. Rút gọn $ M $: $$ M = \left( \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{x\sqrt{x} - 1} \right) \cdot \frac{3\sqrt{x} - 3}{x + \sqrt{x}} $$ Chúng ta sẽ rút gọn từng phần của biểu thức này. Phần 1: Rút gọn $ \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{x\sqrt{x} - 1} $ $$ \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{x\sqrt{x} - 1} $$ Tìm mẫu chung: $$ = \frac{(x\sqrt{x} - 1) - (\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(x\sqrt{x} - 1)} $$ $$ = \frac{x\sqrt{x} - 1 - \sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 1)(x\sqrt{x} - 1)} $$ $$ = \frac{x\sqrt{x} - \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(x\sqrt{x} - 1)} $$ $$ = \frac{\sqrt{x}(x - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(x\sqrt{x} - 1)} $$ Phần 2: Rút gọn $ \frac{3\sqrt{x} - 3}{x + \sqrt{x}} $ $$ = \frac{3(\sqrt{x} - 1)}{x + \sqrt{x}} $$ Bây giờ, chúng ta nhân hai phần đã rút gọn lại với nhau: $$ M = \left( \frac{\sqrt{x}(x - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(x\sqrt{x} - 1)} \right) \cdot \left( \frac{3(\sqrt{x} - 1)}{x + \sqrt{x}} \right) $$ $$ = \frac{\sqrt{x}(x - 1) \cdot 3(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(x\sqrt{x} - 1) \cdot (x + \sqrt{x})} $$ $$ = \frac{3\sqrt{x}(x - 1)}{(x\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x})} $$ b. Tìm $ x $ nguyên để $ M $ có giá trị nguyên: $$ M = \frac{3\sqrt{x}(x - 1)}{(x\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x})} $$ Để $ M $ có giá trị nguyên, $ \sqrt{x} $ phải là số nguyên. Do đó, $ x $ phải là số chính phương. Kiểm tra các giá trị $ x $ là số chính phương: - $ x = 4 $: $ \sqrt{4} = 2 $ $$ M = \frac{3 \cdot 2 \cdot (4 - 1)}{(4 \cdot 2 - 1)(4 + 2)} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 3}{(8 - 1)(6)} = \frac{18}{42} = \frac{3}{7} \quad \text{(không phải số nguyên)} $$ - $ x = 9 $: $ \sqrt{9} = 3 $ $$ M = \frac{3 \cdot 3 \cdot (9 - 1)}{(9 \cdot 3 - 1)(9 + 3)} = \frac{3 \cdot 3 \cdot 8}{(27 - 1)(12)} = \frac{72}{312} = \frac{6}{26} = \frac{3}{13} \quad \text{(không phải số nguyên)} $$ Do đó, không có giá trị $ x $ nguyên nào thỏa mãn điều kiện để $ M $ có giá trị nguyên. Đáp số: Không có giá trị $ x $ nguyên để $ M $ có giá trị nguyên. Bài 4: Điều kiện xác định: $ x > 0, x \neq 1 $. a. Rút gọn $ P $: Ta có: $$ P = \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x}}{x - 1} \right) : \left( \frac{2}{x} - \frac{2 - x}{x (\sqrt{x} + 1)} \right) $$ Trước tiên, ta rút gọn từng phần của biểu thức $ P $. Phần tử số: $$ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x}}{x - 1} $$ Quy đồng mẫu số chung: $$ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x}}{x - 1} = \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} - \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} $$ $$ = \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 1) - \sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} $$ $$ = \frac{\sqrt{x}^2 + \sqrt{x} - \sqrt{x}^2 + \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} $$ $$ = \frac{2\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} $$ $$ = \frac{2\sqrt{x}}{x - 1} $$ Phần mẫu số: $$ \frac{2}{x} - \frac{2 - x}{x (\sqrt{x} + 1)} $$ Quy đồng mẫu số chung: $$ \frac{2}{x} - \frac{2 - x}{x (\sqrt{x} + 1)} = \frac{2 (\sqrt{x} + 1)}{x (\sqrt{x} + 1)} - \frac{2 - x}{x (\sqrt{x} + 1)} $$ $$ = \frac{2 \sqrt{x} + 2 - 2 + x}{x (\sqrt{x} + 1)} $$ $$ = \frac{2 \sqrt{x} + x}{x (\sqrt{x} + 1)} $$ $$ = \frac{\sqrt{x} (2 + \sqrt{x})}{x (\sqrt{x} + 1)} $$ $$ = \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 2)}{x (\sqrt{x} + 1)} $$ Bây giờ, ta chia phần tử số cho phần mẫu số: $$ P = \frac{\frac{2\sqrt{x}}{x - 1}}{\frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 2)}{x (\sqrt{x} + 1)}} $$ $$ = \frac{2\sqrt{x}}{x - 1} \times \frac{x (\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 2)} $$ $$ = \frac{2x (\sqrt{x} + 1)}{(x - 1) (\sqrt{x} + 2)} $$ Vậy, biểu thức $ P $ đã được rút gọn là: $$ P = \frac{2x (\sqrt{x} + 1)}{(x - 1) (\sqrt{x} + 2)} $$