Trả lời câu hỏi

Câu 64. Để tìm hệ số \(a\), \(b\), và \(c\) của hàm số \(y = \frac{2}{a + bx}\) sao cho đồ thị của nó giống như trong hình vẽ, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điểm đi qua của đồ thị: - Đồ thị đi qua điểm \((1, 1)\). Điều này có nghĩa là khi \(x = 1\), thì \(y = 1\). 2. Thay vào phương trình hàm số: - Thay \(x = 1\) và \(y = 1\) vào phương trình \(y = \frac{2}{a + bx}\): \[ 1 = \frac{2}{a + b \cdot 1} \] - Điều này dẫn đến: \[ 1 = \frac{2}{a + b} \implies a + b = 2 \] 3. Xác định điểm tiếp theo: - Đồ thị cũng đi qua điểm \((2, 0.5)\). Điều này có nghĩa là khi \(x = 2\), thì \(y = 0.5\). 4. Thay vào phương trình hàm số: - Thay \(x = 2\) và \(y = 0.5\) vào phương trình \(y = \frac{2}{a + bx}\): \[ 0.5 = \frac{2}{a + b \cdot 2} \] - Điều này dẫn đến: \[ 0.5 = \frac{2}{a + 2b} \implies a + 2b = 4 \] 5. Giải hệ phương trình: - Chúng ta có hai phương trình: \[ \begin{cases} a + b = 2 \\ a + 2b = 4 \end{cases} \] - Trừ phương trình thứ nhất từ phương trình thứ hai: \[ (a + 2b) - (a + b) = 4 - 2 \implies b = 2 \] - Thay \(b = 2\) vào phương trình \(a + b = 2\): \[ a + 2 = 2 \implies a = 0 \] 6. Kiểm tra lại: - Với \(a = 0\) và \(b = 2\), hàm số trở thành: \[ y = \frac{2}{0 + 2x} = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x} \] - Kiểm tra lại các điểm: - Khi \(x = 1\), \(y = \frac{1}{1} = 1\) - Khi \(x = 2\), \(y = \frac{1}{2} = 0.5\) Vậy hệ số \(a\), \(b\), và \(c\) là: \[ a = 0, \quad b = 2, \quad c = 0 \] Đáp án: \(a = 0\), \(b = 2\), \(c = 0\). Câu 67. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích hàm số và đồ thị đã cho để xác định các giá trị của các tham số \(a\), \(b\) và \(c\). Hàm số đã cho là: \[ y = a^2 + b^2 + a + a^2 \] Tuy nhiên, từ đồ thị, chúng ta thấy rằng hàm số có dạng \(y = ax^2 + bx + c\). Do đó, chúng ta cần so sánh với dạng chuẩn của hàm bậc hai để xác định các giá trị của \(a\), \(b\) và \(c\). 1. Phân tích đồ thị: - Đồ thị cắt trục \(y\) tại điểm \((0, -1)\). Điều này cho thấy \(c = -1\). - Đồ thị có đỉnh ở điểm \((1, 0)\). Điều này cho thấy tọa độ đỉnh của parabol là \((h, k)\), trong đó \(h = -\frac{b}{2a}\) và \(k = f(h)\). 2. Xác định các giá trị: - Vì đỉnh của đồ thị là \((1, 0)\), ta có: \[ h = 1 \Rightarrow -\frac{b}{2a} = 1 \Rightarrow b = -2a \] - Thay \(x = 1\) vào hàm số để tìm giá trị của \(a\): \[ y(1) = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c = 0 \] \[ a + (-2a) + (-1) = 0 \] \[ -a - 1 = 0 \] \[ a = -1 \] - Thay \(a = -1\) vào \(b = -2a\): \[ b = -2(-1) = 2 \] Do đó, các giá trị của \(a\), \(b\) và \(c\) là: \[ a = -1, b = 2, c = -1 \] 3. Kiểm tra các mệnh đề: - Mệnh đề A: \(a = 2, b = 2, c = -1\) (sai) - Mệnh đề B: \(a = 1, b = 1, c = -1\) (sai) - Mệnh đề C: \(a = 1, b = 2, c = 1\) (sai) - Mệnh đề D: \(a = -1, b = 2, c = -1\) (đúng) Vậy mệnh đề đúng là: \[ \boxed{D.~a = -1, b = 2, c = -1} \] Câu 63. Để lập luận từng bước về việc lập bảng biến thiên của hàm số \( y = f(x) \) xác định trên \( RUD \) (tức là toàn bộ tập số thực) và liên tục trên mỗi khoảng xác định, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số Tìm đạo hàm \( f'(x) \) của hàm số \( y = f(x) \). Bước 2: Xác định các điểm cực trị và điểm bất định - Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm cực trị. - Kiểm tra các điểm bất định (nếu có) bằng cách kiểm tra giới hạn của \( f'(x) \) tại các điểm đó. Bước 3: Xác định dấu của đạo hàm - Lập bảng xét dấu của \( f'(x) \) dựa trên các điểm cực trị và điểm bất định đã tìm được. - Dựa vào bảng xét dấu này, xác định các khoảng tăng và giảm của hàm số. Bước 4: Tìm các giới hạn của hàm số - Tính các giới hạn của hàm số khi \( x \to -\infty \) và \( x \to +\infty \). - Nếu có các điểm bất định, tính các giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến các điểm bất định từ hai phía. Bước 5: Xác định các giá trị đặc biệt của hàm số - Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị. - Tính giá trị của hàm số tại các điểm bất định (nếu có). Bước 6: Lập bảng biến thiên - Ghi lại các thông tin đã tìm được vào bảng biến thiên, bao gồm: - Các khoảng xác định của hàm số. - Các điểm cực trị và giá trị của hàm số tại các điểm đó. - Các giới hạn của hàm số khi \( x \to -\infty \) và \( x \to +\infty \). - Các khoảng tăng và giảm của hàm số. Bước 7: Vẽ đồ thị hàm số (nếu cần) - Dựa vào bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số \( y = f(x) \). Ví dụ cụ thể: Giả sử hàm số \( y = f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \). 1. Tìm đạo hàm: \[ f'(x) = 3x^2 - 6x \] 2. Xác định các điểm cực trị: \[ f'(x) = 0 \implies 3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \] 3. Xét dấu đạo hàm: - Khi \( x < 0 \), \( f'(x) > 0 \) (hàm số tăng). - Khi \( 0 < x < 2 \), \( f'(x) < 0 \) (hàm số giảm). - Khi \( x > 2 \), \( f'(x) > 0 \) (hàm số tăng). 4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị: \[ f(0) = 2, \quad f(2) = -2 \] 5. Tính các giới hạn: \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \] 6. Lập bảng biến thiên: | \( x \) | \( (-\infty, 0) \) | \( 0 \) | \( (0, 2) \) | \( 2 \) | \( (2, +\infty) \) | |--------|---------------------|---------|---------------|---------|--------------------| | \( f'(x) \) | \( + \) | \( 0 \) | \( - \) | \( 0 \) | \( + \) | | \( f(x) \) | \( \searrow \) | \( 2 \) | \( \nearrow \) | \( -2 \) | \( \searrow \) | 7. Vẽ đồ thị hàm số: - Đồ thị hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 2 \) sẽ có dạng như sau: - Tăng từ \( -\infty \) đến \( x = 0 \). - Giảm từ \( x = 0 \) đến \( x = 2 \). - Tăng từ \( x = 2 \) đến \( +\infty \). - Điểm cực đại tại \( (0, 2) \). - Điểm cực tiểu tại \( (2, -2) \). Bằng cách thực hiện các bước trên, chúng ta có thể lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \( y = f(x) \). Câu 65. Để xác định hàm số đúng trong các lựa chọn, ta cần dựa vào bảng biến thiên và các tính chất của hàm số phân thức. Hàm số $y = \frac{ax + b}{ax + d}$ có dạng phân thức bậc nhất trên bậc nhất. Ta sẽ kiểm tra từng hàm số để xác định điều kiện và tính chất của chúng. 1. Kiểm tra điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Hàm số $\frac{ax + b}{ax + d}$ xác định khi $ax + d \neq 0$. - Điều này có nghĩa là $x \neq -\frac{d}{a}$. 2. Xét các hàm số: - A. $y = \frac{2x + 1}{x - 3}$ - ĐKXĐ: $x \neq 3$ - Tiệm cận đứng: $x = 3$ - Tiệm cận ngang: $y = 2$ (khi $x \to \pm \infty$, $\frac{2x + 1}{x - 3} \approx \frac{2x}{x} = 2$) - B. $y = \frac{2 - x}{x + 3}$ - ĐKXĐ: $x \neq -3$ - Tiệm cận đứng: $x = -3$ - Tiệm cận ngang: $y = -1$ (khi $x \to \pm \infty$, $\frac{2 - x}{x + 3} \approx \frac{-x}{x} = -1$) - C. $y = \frac{2x + 7}{x - 1}$ - ĐKXĐ: $x \neq 1$ - Tiệm cận đứng: $x = 1$ - Tiệm cận ngang: $y = 2$ (khi $x \to \pm \infty$, $\frac{2x + 7}{x - 1} \approx \frac{2x}{x} = 2$) - D. $y = \frac{2x - 1}{x + 3}$ - ĐKXĐ: $x \neq -3$ - Tiệm cận đứng: $x = -3$ - Tiệm cận ngang: $y = 2$ (khi $x \to \pm \infty$, $\frac{2x - 1}{x + 3} \approx \frac{2x}{x} = 2$) 3. So sánh với bảng biến thiên: - Bảng biến thiên cho thấy hàm số có tiệm cận đứng ở $x = -3$ và tiệm cận ngang ở $y = 2$. - Do đó, hàm số đúng là $y = \frac{2x - 1}{x + 3}$. 4. Số lượng đường tiệm cận: - Đường tiệm cận đứng: $x = -3$ - Đường tiệm cận ngang: $y = 2$ Vậy, đồ thị hàm số đã cho có tất cả 2 đường tiệm cận. Đáp án: D. 2 Câu 69 Có vẻ như có một chút nhầm lẫn trong đề bài. Tôi sẽ giả sử rằng hàm số được cho là \( y = f(x) = \frac{x^2 + bx + c}{x} \). Bây giờ, chúng ta sẽ giải quyết từng bước: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Hàm số \( y = \frac{x^2 + bx + c}{x} \) có mẫu số là \( x \). Do đó, điều kiện xác định là \( x \neq 0 \). 2. Rút gọn biểu thức: - Ta có thể rút gọn biểu thức như sau: \[ y = \frac{x^2 + bx + c}{x} = x + b + \frac{c}{x} \] 3. Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN): - Để tìm GTLN và GTNN của hàm số \( y = x + b + \frac{c}{x} \), ta có thể sử dụng đạo hàm. - Tính đạo hàm của \( y \): \[ y' = 1 - \frac{c}{x^2} \] - Đặt \( y' = 0 \) để tìm điểm cực trị: \[ 1 - \frac{c}{x^2} = 0 \implies \frac{c}{x^2} = 1 \implies x^2 = c \implies x = \pm \sqrt{c} \] - Kiểm tra dấu của đạo hàm \( y' \) ở các khoảng: - Khi \( x < -\sqrt{c} \), \( y' > 0 \) (hàm số tăng). - Khi \( -\sqrt{c} < x < 0 \), \( y' < 0 \) (hàm số giảm). - Khi \( 0 < x < \sqrt{c} \), \( y' < 0 \) (hàm số giảm). - Khi \( x > \sqrt{c} \), \( y' > 0 \) (hàm số tăng). - Vậy hàm số đạt cực đại tại \( x = -\sqrt{c} \) và cực tiểu tại \( x = \sqrt{c} \). 4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị: - Tại \( x = -\sqrt{c} \): \[ y(-\sqrt{c}) = -\sqrt{c} + b + \frac{c}{-\sqrt{c}} = -\sqrt{c} + b - \sqrt{c} = b - 2\sqrt{c} \] - Tại \( x = \sqrt{c} \): \[ y(\sqrt{c}) = \sqrt{c} + b + \frac{c}{\sqrt{c}} = \sqrt{c} + b + \sqrt{c} = b + 2\sqrt{c} \] 5. Kết luận: - Giá trị lớn nhất của hàm số là \( b + 2\sqrt{c} \), đạt được khi \( x = \sqrt{c} \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( b - 2\sqrt{c} \), đạt được khi \( x = -\sqrt{c} \). Đáp số: - Giá trị lớn nhất của hàm số là \( b + 2\sqrt{c} \), đạt được khi \( x = \sqrt{c} \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( b - 2\sqrt{c} \), đạt được khi \( x = -\sqrt{c} \). Câu 66. Để tìm phương trình đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{ax + b}{ax + d}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Điều kiện xác định của hàm số là mẫu số khác 0: \[ ax + d \neq 0 \] \[ x \neq -\frac{d}{a} \] Bước 2: Tìm tiệm cận đứng Tiệm cận đứng của hàm số là đường thẳng $x = -\frac{d}{a}$, vì khi $x$ tiến đến $-\frac{d}{a}$ thì mẫu số tiến đến 0, làm cho giá trị của hàm số tiến đến vô cùng. Bước 3: Tìm tiệm cận ngang Tiệm cận ngang của hàm số là đường thẳng $y = \frac{a}{a} = 1$, vì khi $x$ tiến đến vô cùng, phần tử số và mẫu số đều tiến đến vô cùng với cùng tốc độ, làm cho tỷ số giữa chúng tiến đến 1. Kết luận - Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng $x = -\frac{d}{a}$. - Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng $y = 1$. Do đó, phương trình đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là: - Tiệm cận đứng: $x = -\frac{d}{a}$ - Tiệm cận ngang: $y = 1$ Đáp số: - Tiệm cận đứng: $x = -\frac{d}{a}$ - Tiệm cận ngang: $y = 1$