trả lời câu hỏi

Câu 1. a) Ta có: $f(0)=4\sin 0+2\times 0+1=1$ $f(-\frac{\pi }{2})=4\sin (-\frac{\pi }{2})+2\times (-\frac{\pi }{2})+1=-4-\pi +1=-\pi -3$ b) Đạo hàm của hàm số đã cho là: $f'(x)=(4\sin x+2x+1)'=4\cos x+2$ c) Ta có: $f'(x)=0$ $4\cos x+2=0$ $\cos x=-\frac{1}{2}$ $x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ Vì $x\in [0;\pi ]$ nên $x=\frac{2\pi }{3}$ d) Ta có: $f(0)=1$ $f(\frac{2\pi }{3})=4\sin (\frac{2\pi }{3})+2\times \frac{2\pi }{3}+1=2\sqrt{3}+\frac{4\pi }{3}+1$ $f(\pi )=4\sin \pi +2\times \pi +1=2\pi +1$ Ta thấy $2\pi +1>2\sqrt{3}+\frac{4\pi }{3}+1>1$ Vậy giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên đoạn $[0;\pi ]$ là $2\pi +1$, đạt được khi $x=\pi $. Câu 2. a) Ta có: $f(0)=\cos 0 + 0 = 1$ $f(\frac{\pi}{2})=\cos (\pi) + \frac{\pi}{2} = -1 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - 1$ b) Đạo hàm của hàm số $f(x) = \cos 2x + x$ là: $f'(x) = -2\sin 2x + 1$ c) Để tìm nghiệm của phương trình $f'(x) = 0$ trên đoạn $[0; \frac{\pi}{4}]$, ta giải phương trình: $-2\sin 2x + 1 = 0$ $\sin 2x = \frac{1}{2}$ Trên đoạn $[0; \frac{\pi}{4}]$, ta có: $2x = \frac{\pi}{6}$ (vì $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$) $x = \frac{\pi}{12}$ d) Để tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên đoạn $[0; \frac{\pi}{4}]$, ta xét các giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị: - Tại $x = 0$: $f(0) = 1$ - Tại $x = \frac{\pi}{4}$: $f(\frac{\pi}{4}) = \cos \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = 0 + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$ - Tại $x = \frac{\pi}{12}$: $f(\frac{\pi}{12}) = \cos \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{12}$ So sánh các giá trị này: - $1 > \frac{\pi}{4}$ - $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{12} > \frac{\pi}{4}$ (vì $\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$ và $\frac{\pi}{12} \approx 0,262$) Như vậy, giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên đoạn $[0; \frac{\pi}{4}]$ là $\frac{\pi}{4}$, đạt được khi $x = \frac{\pi}{4}$. Đáp số: a) $f(0) = 1$; $f(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} - 1$ b) $f'(x) = -2\sin 2x + 1$ c) Nghiệm của phương trình $f'(x) = 0$ trên đoạn $[0; \frac{\pi}{4}]$ là $x = \frac{\pi}{12}$ d) Giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên đoạn $[0; \frac{\pi}{4}]$ là $\frac{\pi}{4}$, đạt được khi $x = \frac{\pi}{4}$. Câu 3. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu: Phần a) - Tính giá trị của hàm số tại điểm \( x = 0 \): \[ f(0) = 2 \sin 0 + 0 = 0 \] - Tính giá trị của hàm số tại điểm \( x = \frac{\pi}{2} \): \[ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{\pi}{2} = 2 \cdot 1 + \frac{\pi}{2} = 2 + \frac{\pi}{2} \] Phần b) - Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) = 2 \sin x + x \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2 \sin x + x) = 2 \cos x + 1 \] Phần c) - Giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ 2 \cos x + 1 = 0 \] \[ \cos x = -\frac{1}{2} \] Trên đoạn \( \left[ \frac{\pi}{2}, \pi \right] \), giá trị \( \cos x = -\frac{1}{2} \) xảy ra tại: \[ x = \frac{2\pi}{3} \] Phần d) - Xét giá trị của hàm số \( f(x) \) tại các điểm biên và điểm cực trị: - Tại \( x = \frac{\pi}{2} \): \[ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 + \frac{\pi}{2} \] - Tại \( x = \pi \): \[ f(\pi) = 2 \sin \pi + \pi = 0 + \pi = \pi \] - Tại \( x = \frac{2\pi}{3} \): \[ f\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 2 \sin \left(\frac{2\pi}{3}\right) + \frac{2\pi}{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2\pi}{3} = \sqrt{3} + \frac{2\pi}{3} \] So sánh các giá trị: \[ 2 + \frac{\pi}{2} \approx 3.57 \] \[ \pi \approx 3.14 \] \[ \sqrt{3} + \frac{2\pi}{3} \approx 1.73 + 2.09 \approx 3.82 \] Như vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) \) trên đoạn \( \left[ \frac{\pi}{2}, \pi \right] \) là \( \pi \). Kết luận: - Phần a) đúng. - Phần b) sai, vì đạo hàm của hàm số là \( f'(x) = 2 \cos x + 1 \). - Phần c) đúng. - Phần d) sai, giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) \) trên đoạn \( \left[ \frac{\pi}{2}, \pi \right] \) là \( \pi \). Câu 4. Để giải quyết các phần của bài toán, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. Phần a) Tính giá trị của hàm số tại các điểm đã cho: 1. Tính \( f(0) \): \[ f(0) = 2 \sin(0) - \sqrt{2} \cdot 0 = 0 \] 2. Tính \( f\left(\frac{\pi}{4}\right) \): \[ f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) - \sqrt{2} \cdot \frac{\pi}{4} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \pi}{4} = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} \pi}{4} \] Phần b) Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) \): \[ f(x) = 2 \sin x - \sqrt{2} x \] \[ f'(x) = 2 \cos x - \sqrt{2} \] Phần c) Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) trên đoạn \([0; \frac{\pi}{2}]\): \[ 2 \cos x - \sqrt{2} = 0 \] \[ 2 \cos x = \sqrt{2} \] \[ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Trên đoạn \([0; \frac{\pi}{2}]\), giá trị của \( x \) thỏa mãn \(\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}\) là: \[ x = \frac{\pi}{4} \] Phần d) Tìm giá trị nhỏ nhất của \( f(x) \) trên đoạn \([- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\): 1. Tính giá trị của \( f(x) \) tại các điểm biên của đoạn: \[ f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 2 \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) - \sqrt{2} \left(-\frac{\pi}{2}\right) = 2 \cdot (-1) + \frac{\sqrt{2} \pi}{2} = -2 + \frac{\sqrt{2} \pi}{2} \] \[ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sqrt{2} \cdot \frac{\pi}{2} = 2 \cdot 1 - \frac{\sqrt{2} \pi}{2} = 2 - \frac{\sqrt{2} \pi}{2} \] 2. Tính giá trị của \( f(x) \) tại điểm cực trị \( x = \frac{\pi}{4} \): \[ f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} \pi}{4} \] So sánh các giá trị: \[ f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -2 + \frac{\sqrt{2} \pi}{2} \] \[ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 - \frac{\sqrt{2} \pi}{2} \] \[ f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} \pi}{4} \] Trong ba giá trị này, giá trị nhỏ nhất là: \[ -2 + \frac{\sqrt{2} \pi}{2} \] Vậy giá trị nhỏ nhất của \( f(x) \) trên đoạn \([- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\) là: \[ -2 + \frac{\sqrt{2} \pi}{2} \] Câu 5. Để giải quyết các khẳng định về tính chất của hàm số $y = f(x)$ dựa vào đồ thị của đạo hàm $y = f'(x)$, chúng ta sẽ phân tích từng khẳng định một cách chi tiết. Khẳng định 1: Hàm số $y = f(x)$ có ba điểm cực trị - Lập luận: Đạo hàm $f'(x)$ là hàm số bậc ba, và đồ thị của nó cắt trục hoành tại ba điểm khác nhau. Điều này cho thấy $f'(x)$ đổi dấu ba lần, tương ứng với ba điểm cực trị của hàm số $y = f(x)$. - Kết luận: Khẳng định này là đúng. Khẳng định 2: Hàm số $y = f(x)$ có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu - Lập luận: Đồ thị của $f'(x)$ cắt trục hoành tại ba điểm. Ta cần kiểm tra dấu của $f'(x)$ ở các khoảng giữa các điểm cắt trục hoành để xác định các cực trị: - Giả sử các điểm cắt trục hoành là $x_1$, $x_2$, và $x_3$ (từ trái sang phải). - Nếu $f'(x)$ chuyển từ âm sang dương tại $x_1$, thì $x_1$ là điểm cực tiểu. - Nếu $f'(x)$ chuyển từ dương sang âm tại $x_2$, thì $x_2$ là điểm cực đại. - Nếu $f'(x)$ chuyển từ âm sang dương tại $x_3$, thì $x_3$ là điểm cực tiểu. Tuy nhiên, nếu $f'(x)$ chuyển từ dương sang âm tại $x_1$, thì $x_1$ là điểm cực đại; nếu chuyển từ âm sang dương tại $x_2$, thì $x_2$ là điểm cực tiểu; và nếu chuyển từ dương sang âm tại $x_3$, thì $x_3$ là điểm cực đại. Do đó, có thể có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu hoặc ngược lại. - Kết luận: Khẳng định này là sai vì không chắc chắn rằng có đúng hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu. Khẳng định 3: Hàm số $y = f(x)$ có một điểm uốn - Lập luận: Đạo hàm $f'(x)$ là hàm số bậc ba, và đồ thị của nó có hai điểm uốn (điểm chuyển từ lõm lên lồi hoặc ngược lại). Điều này cho thấy $f''(x)$ (đạo hàm thứ hai của $f(x)$) có hai nghiệm thực, tương ứng với hai điểm uốn của $f(x)$. - Kết luận: Khẳng định này là sai vì hàm số $y = f(x)$ có hai điểm uốn, không phải một điểm uốn. Khẳng định 4: Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $(x_1, x_2)$ - Lập luận: Nếu $f'(x)$ dương trên khoảng $(x_1, x_2)$, thì $f(x)$ đồng biến trên khoảng này. - Kết luận: Khẳng định này là đúng nếu $f'(x)$ dương trên khoảng $(x_1, x_2)$. Kết luận cuối cùng: - Khẳng định 1: Đúng - Khẳng định 2: Sai - Khẳng định 3: Sai - Khẳng định 4: Đúng (nếu $f'(x)$ dương trên khoảng $(x_1, x_2)$) Đáp án: Khẳng định 1 và 4 là đúng, còn lại là sai.