Trả lời câu hỏi

a) Hàm gia tốc là đạo hàm bậc hai của hàm vị trí $y$. Ta có:

$v(t) = y'(t) = 3t^2 - 12$

$a(t) = v'(t) = y''(t) = 6t$

Vậy $a(t) = 6t$ (khác với $a(t)=y'$ trong đề).

b) Hàm vận tốc là đạo hàm bậc nhất của hàm vị trí $y$. Ta có:

$v(t) = y'(t) = 3t^2 - 12$.

Vậy $v(t) = 3t^2 - 12$ (đúng như trong đề).

c) Tại $t=1$, vận tốc là $v(1) = 3(1)^2 - 12 = 3 - 12 = -9$.

Vì $v(1) = -9 < 0$, hạt đang chuyển động xuống dưới (theo chiều âm). Vậy hạt không chuyển động lên trên tại thời điểm $t=1$.

d) Để tính quãng đường đi được trong khoảng thời gian $0 \le t \le 3$, ta cần xét dấu của vận tốc $v(t) = 3t^2 - 12$.

$v(t) = 0 \Leftrightarrow 3t^2 - 12 = 0 \Leftrightarrow t^2 = 4 \Leftrightarrow t = \pm 2$.

Vì $t \ge 0$, ta chỉ xét $t=2$.

Vậy vận tốc đổi dấu tại $t=2$.

*  Khi $0 \le t < 2$: $v(t) < 0$, hạt chuyển động xuống.

*  Khi $2 < t \le 3$: $v(t) > 0$, hạt chuyển động lên.

Quãng đường đi được là:

$S = \int_0^3 |v(t)| dt = \int_0^2 |3t^2 - 12| dt + \int_2^3 |3t^2 - 12| dt$

$= \int_0^2 (12 - 3t^2) dt + \int_2^3 (3t^2 - 12) dt$

$= [12t - t^3]_0^2 + [t^3 - 12t]_2^3$

$= (12(2) - 2^3) - (0) + (3^3 - 12(3)) - (2^3 - 12(2))$

$= (24 - 8) + (27 - 36) - (8 - 24)$

$= 16 - 9 + 16 = 23$

Vậy quãng đường mà hạt đi được trong khoảng thời gian $0 \le t \le 3$ là $23$ mét (đúng như trong đề).