Trả lời câu hỏi

Câu 19. a) Hàm gia tốc của vật là $a(t)=y''$. b) Hàm vận tốc của vật là: $v(t)=y' = 3t^2 - 12$. c) Tại thời điểm $t=1$, ta có: \[ v(1) = 3(1)^2 - 12 = 3 - 12 = -9 \text{ m/s} \] Vì vận tốc âm (-9 m/s), nên hạt đang chuyển động xuống dưới. d) Để tính quãng đường mà hạt đi được trong khoảng thời gian $0 \leq t \leq 3$, ta cần xác định các thời điểm mà vận tốc thay đổi dấu (tức là từ chuyển động lên trên sang chuyển động xuống dưới hoặc ngược lại). Phương trình vận tốc là: \[ v(t) = 3t^2 - 12 \] Ta giải phương trình $v(t) = 0$ để tìm các thời điểm mà vận tốc bằng 0: \[ 3t^2 - 12 = 0 \] \[ 3t^2 = 12 \] \[ t^2 = 4 \] \[ t = 2 \text{ (vì } t \geq 0) \] Do đó, vận tốc thay đổi dấu tại $t = 2$. Ta sẽ chia khoảng thời gian thành hai đoạn: $[0, 2]$ và $[2, 3]$. Trong khoảng thời gian $[0, 2]$, vận tốc là âm (hạt chuyển động xuống dưới): \[ y(0) = 0^3 - 12 \cdot 0 + 3 = 3 \] \[ y(2) = 2^3 - 12 \cdot 2 + 3 = 8 - 24 + 3 = -13 \] Quãng đường trong khoảng thời gian $[0, 2]$ là: \[ |y(2) - y(0)| = |-13 - 3| = 16 \text{ m} \] Trong khoảng thời gian $[2, 3]$, vận tốc là dương (hạt chuyển động lên trên): \[ y(3) = 3^3 - 12 \cdot 3 + 3 = 27 - 36 + 3 = -6 \] Quãng đường trong khoảng thời gian $[2, 3]$ là: \[ |y(3) - y(2)| = |-6 - (-13)| = |-6 + 13| = 7 \text{ m} \] Tổng quãng đường mà hạt đi được trong khoảng thời gian $0 \leq t \leq 3$ là: \[ 16 + 7 = 23 \text{ m} \] Đáp số: a) $a(t) = y''$ b) $v(t) = 3t^2 - 12$ c) Hạt đang chuyển động xuống dưới. d) Quãng đường mà hạt đi được trong khoảng thời gian $0 \leq t \leq 3$ là 23 m. Câu 20. Để giải quyết các mệnh đề về hàm số $y = f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 35$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Hàm số có tập xác định là $\mathbb{R}$ Hàm số $y = f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 35$ là một đa thức bậc ba, do đó nó có tập xác định là $\mathbb{R}$. Mệnh đề này là đúng. b) Hàm số đã cho đồng biến trên $(-\infty; 3)$ Để xét tính đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số, ta cần tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 - 9x + 35) = 3x^2 - 6x - 9 \] Tiếp theo, ta giải phương trình $f'(x) = 0$ để tìm các điểm cực trị: \[ 3x^2 - 6x - 9 = 0 \] \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] \[ (x - 3)(x + 1) = 0 \] \[ x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] Ta xét dấu của $f'(x)$ trên các khoảng $( -\infty, -1 )$, $(-1, 3)$ và $(3, +\infty)$: - Trên khoảng $(-\infty, -1)$: Chọn $x = -2$, ta có $f'(-2) = 3(-2)^2 - 6(-2) - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 > 0$. Do đó, hàm số đồng biến trên $(-\infty, -1)$. - Trên khoảng $(-1, 3)$: Chọn $x = 0$, ta có $f'(0) = 3(0)^2 - 6(0) - 9 = -9 < 0$. Do đó, hàm số nghịch biến trên $(-1, 3)$. - Trên khoảng $(3, +\infty)$: Chọn $x = 4$, ta có $f'(4) = 3(4)^2 - 6(4) - 9 = 48 - 24 - 9 = 15 > 0$. Do đó, hàm số đồng biến trên $(3, +\infty)$. Như vậy, hàm số không đồng biến trên toàn bộ khoảng $(-\infty, 3)$. Mệnh đề này là sai. c) Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 8 Từ phần trên, ta biết rằng hàm số đạt cực đại tại $x = -1$ và cực tiểu tại $x = 3$. Ta tính giá trị của hàm số tại các điểm này: - Tại $x = -1$: \[ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 35 = -1 - 3 + 9 + 35 = 40 \] - Tại $x = 3$: \[ f(3) = 3^3 - 3(3)^2 - 9(3) + 35 = 27 - 27 - 27 + 35 = 8 \] Như vậy, giá trị cực tiểu của hàm số là 8, đạt được khi $x = 3$. Mệnh đề này là đúng. d) $\min_{[-1, 3]} f(x) = 8$ đạt được khi $x = 3$ Ta cần kiểm tra giá trị của hàm số tại các biên của đoạn $[-1, 3]$: - Tại $x = -1$: \[ f(-1) = 40 \] - Tại $x = 3$: \[ f(3) = 8 \] Trên đoạn $[-1, 3]$, giá trị nhỏ nhất của hàm số là 8, đạt được khi $x = 3$. Mệnh đề này là đúng. Kết luận - Mệnh đề a) Đúng - Mệnh đề b) Sai - Mệnh đề c) Đúng - Mệnh đề d) Đúng Câu 21. a) Đúng vì đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2-2x+2024}{x-1}$ là $x=1$. b) Đúng vì đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2-2x+2024}{x-1}$ là $y=x-1$. c) Sai vì hàm số $y=\frac{x^2-2x+2024}{x-1}$ không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. d) Đúng vì trên đồ thị hàm số $y=\frac{x^2-2x+2024}{x-1}$ có đúng 4 điểm có tọa độ nguyên. Câu 22. a) Đạo hàm của hàm số $y=-x^4+8x^2+2024$ là: \[ y' = -4x^3 + 16x \] Mệnh đề này sai vì đạo hàm đúng là $y' = -4x^3 + 16x$, không phải $y' = -4x^3 - 16x$. b) Để tìm các điểm cực đại và cực tiểu, ta giải phương trình $y' = 0$: \[ -4x^3 + 16x = 0 \] \[ -4x(x^2 - 4) = 0 \] \[ -4x(x - 2)(x + 2) = 0 \] Các nghiệm của phương trình này là $x = 0$, $x = 2$, và $x = -2$. Ta kiểm tra dấu của đạo hàm $y'$ trong các khoảng xác định bởi các nghiệm này: - Khi $x < -2$: $y' < 0$ - Khi $-2 < x < 0$: $y' > 0$ - Khi $0 < x < 2$: $y' < 0$ - Khi $x > 2$: $y' > 0$ Từ đó suy ra: - $x = -2$ là điểm cực tiểu. - $x = 0$ là điểm cực đại. - $x = 2$ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu. Mệnh đề này sai. c) Ta xét dấu của đạo hàm $y'$ trên khoảng $(2; +\infty)$: - Khi $x > 2$: $y' > 0$ Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng $(2; +\infty)$. Mệnh đề này sai. d) Giá trị cực đại của hàm số tại $x = 0$ là: \[ y(0) = -(0)^4 + 8(0)^2 + 2024 = 2024 \] Vậy giá trị cực đại của hàm số là 2024. Mệnh đề này đúng. Kết luận: a) Sai b) Sai c) Sai d) Đúng Câu 23. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng trường hợp một. a) Khi $m = -1$, hàm số trở thành: \[ y = 2x^3 + 6x + 2 \] Tính đạo hàm: \[ y' = 6x^2 + 6 \] Ta thấy rằng $y' = 6(x^2 + 1) > 0$ với mọi $x$. Do đó, hàm số đồng biến trên $(-\infty; +\infty)$. Vậy a) đúng. b) Để hàm số không có cực trị, đạo hàm của nó phải không đổi dấu. Tính đạo hàm của hàm số ban đầu: \[ y' = 6x^2 + 4(m+1)x + 6 \] Hàm số không có cực trị nếu phương trình $y' = 0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép. Điều này tương đương với: \[ \Delta = [4(m+1)]^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 < 0 \] \[ 16(m+1)^2 - 144 < 0 \] \[ (m+1)^2 < 9 \] \[ -3 < m+1 < 3 \] \[ -4 < m < 2 \] Do đó, b) sai vì $m = 1$ nằm trong khoảng $(-4, 2)$. c) Để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$, đạo hàm của nó phải luôn dương: \[ y' = 6x^2 + 4(m+1)x + 6 > 0 \] Điều này tương đương với: \[ \Delta = [4(m+1)]^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 < 0 \] \[ 16(m+1)^2 - 144 < 0 \] \[ (m+1)^2 < 9 \] \[ -3 < m+1 < 3 \] \[ -4 < m < 2 \] Các giá trị nguyên dương của $m$ trong khoảng này là $m = 0, 1$. Vậy có 2 giá trị nguyên dương, không phải 3. Do đó, c) sai. d) Để hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$, đạo hàm tại điểm này phải bằng 0 và đạo hàm bậc hai tại điểm này phải dương: \[ y'(2) = 6(2)^2 + 4(m+1)(2) + 6 = 0 \] \[ 24 + 8(m+1) + 6 = 0 \] \[ 30 + 8m + 8 = 0 \] \[ 8m + 38 = 0 \] \[ m = -\frac{38}{8} = -\frac{19}{4} \] Đạo hàm bậc hai: \[ y'' = 12x + 4(m+1) \] Tại $x = 2$: \[ y''(2) = 12(2) + 4(m+1) = 24 + 4(m+1) \] Để đạt cực tiểu, $y''(2) > 0$: \[ 24 + 4(m+1) > 0 \] \[ 24 + 4m + 4 > 0 \] \[ 28 + 4m > 0 \] \[ 4m > -28 \] \[ m > -7 \] Do đó, $m = -\frac{19}{4}$ không thuộc khoảng $(2, 5)$. Vậy d) sai. Kết luận: - Đáp án đúng là a). Câu 24. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của hàm số. 2. Xét tính chất của hàm số để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN). Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) Hàm số $y = \frac{2x - 1}{x - 1}$ có mẫu số là $x - 1$. Để hàm số có nghĩa, mẫu số phải khác 0: \[ x - 1 \neq 0 \] \[ x \neq 1 \] Vậy ĐKXĐ của hàm số là $x \neq 1$. Bước 2: Xét tính chất của hàm số Ta xét giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến vô cùng: \[ \lim_{x \to \pm\infty} y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x - 1}{x - 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2 - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = 2 \] Như vậy, đường thẳng $y = 2$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Tiếp theo, ta xét giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến 1: \[ \lim_{x \to 1^+} y = \lim_{x \to 1^+} \frac{2x - 1}{x - 1} = +\infty \] \[ \lim_{x \to 1^-} y = \lim_{x \to 1^-} \frac{2x - 1}{x - 1} = -\infty \] Như vậy, đường thẳng $x = 1$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) Ta thấy rằng hàm số $y = \frac{2x - 1}{x - 1}$ không bị chặn trên và dưới bởi bất kỳ giá trị nào cụ thể. Do đó, hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Kết luận: - Điều kiện xác định của hàm số là $x \neq 1$. - Hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Đáp số: Hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.