Câu 1:
Để tìm tập xác định của hàm số , ta cần đảm bảo rằng mẫu số của phân thức không bằng không.
Mẫu số của phân thức là . Ta đặt điều kiện:
Giải phương trình :
Như vậy, để hàm số có nghĩa, không được bằng 1. Do đó, tập xác định của hàm số là tất cả các số thực trừ đi số 1.
Tập xác định của hàm số là:
Vậy đáp án đúng là:
Câu 2:
Để tìm phương trình trục đối xứng của parabol , ta sử dụng công thức trục đối xứng của parabol , đó là .
Trong phương trình , ta có:
-
-
Áp dụng công thức trục đối xứng:
Vậy phương trình trục đối xứng của parabol là .
Do đó, đáp án đúng là:
Câu 3:
Để xác định dấu của và , chúng ta sẽ dựa vào đồ thị của hàm số .
1. Xác định dấu của :
- Nếu parabol mở ra phía trên (như một cái nón ngược), thì .
- Nếu parabol mở ra phía dưới (như một cái nón), thì .
Trong hình vẽ, ta thấy rằng đồ thị của hàm số mở ra phía dưới, tức là nó giống như một cái nón. Do đó, .
2. Xác định dấu của :
- Nếu parabol cắt trục hoành tại hai điểm khác nhau, thì .
- Nếu parabol tiếp xúc với trục hoành tại một điểm duy nhất (đỉnh của parabol nằm trên trục hoành), thì .
- Nếu parabol không cắt trục hoành (không có giao điểm nào với trục hoành), thì .
Trong hình vẽ, ta thấy rằng đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại hai điểm khác nhau. Do đó, .
Từ những phân tích trên, ta có:
-
-
Vậy đáp án đúng là:
Câu 4:
Để tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng , ta cần xác định các hệ số của và trong phương trình này.
Phương trình đường thẳng có dạng:
Từ phương trình này, ta thấy rằng hệ số của là 1 và hệ số của là -2. Do đó, vectơ pháp tuyến của đường thẳng sẽ có dạng , trong đó là hệ số của và là hệ số của .
Vậy vectơ pháp tuyến của đường thẳng là:
Do đó, đáp án đúng là:
Câu 5:
Để xác định mối quan hệ giữa hai đường thẳng và , ta sẽ kiểm tra các điều kiện về sự song song, vuông góc và cắt nhau.
1. Kiểm tra điều kiện song song:
- Hai đường thẳng song song nếu hệ số góc của chúng bằng nhau.
- Đường thẳng có thể viết lại dưới dạng . Vậy hệ số góc của là .
- Đường thẳng có thể viết lại dưới dạng . Vậy hệ số góc của là .
Hai hệ số góc và không bằng nhau, nên hai đường thẳng không song song.
2. Kiểm tra điều kiện vuông góc:
- Hai đường thẳng vuông góc nếu tích của các hệ số góc của chúng bằng .
- Tích của các hệ số góc của và là:
- Kết quả này không bằng , nên hai đường thẳng không vuông góc.
3. Kiểm tra điều kiện cắt nhau:
- Nếu hai đường thẳng không song song và không vuông góc, thì chúng sẽ cắt nhau tại một điểm.
Từ các kiểm tra trên, ta thấy rằng hai đường thẳng và cắt nhau và không vuông góc với nhau.
Vậy khẳng định đúng là:
Câu 6:
Để xác định phương trình của đường tròn, ta cần kiểm tra xem phương trình đã cho có thể viết dưới dạng tổng bình phương của hai biến và với cùng hệ số bậc hai là 1 hay không.
Ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phương trình:
A.
Phương trình này có hệ số của là 2 và hệ số của là 1, do đó không phải là phương trình của đường tròn.
B.
Phương trình này có hệ số của là 1 và hệ số của là 2, do đó không phải là phương trình của đường tròn.
C.
Phương trình này có hệ số của và đều là 1, do đó có thể là phương trình của đường tròn. Ta sẽ kiểm tra thêm bằng cách hoàn thành bình phương:
Hoàn thành bình phương:
Phương trình này không đúng vì tổng của hai bình phương không thể là số âm, do đó không phải là phương trình của đường tròn.
D.
Phương trình này có hệ số của và đều là 2, do đó không phải là phương trình của đường tròn.
Như vậy, không có phương trình nào trong các phương trình đã cho là phương trình của đường tròn.
Câu 7:
Phương trình chính tắc của elip có dạng , trong đó và . Chúng ta sẽ kiểm tra từng phương trình để xác định phương trình nào thỏa mãn điều kiện này.
A.
Chia cả hai vế cho 32:
Đây là phương trình chính tắc của elip với và .
B.
Đây là phương trình chính tắc của elip với và .
C.
Phương trình này không thể là phương trình chính tắc của elip vì tổng của hai phân số không thể bằng -1.
D.
Phương trình này là phương trình chính tắc của hypebol, không phải elip.
Như vậy, phương trình chính tắc của elip là:
Đáp án: A và B.