vvvjhhuvvu

Câu 14: Để xác định phương trình của đường tròn trong các phương trình đã cho, ta cần kiểm tra xem phương trình nào có dạng chuẩn của phương trình đường tròn, tức là có thể viết dưới dạng $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$, trong đó $(a, b)$ là tọa độ tâm và $r$ là bán kính. Ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phương trình: A. $x^2 + 2y^2 - 4x - 8y + 1 = 0$ Phương trình này có hệ số của $y^2$ là 2, không phải là 1, nên không phải là phương trình của đường tròn. B. $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$ Ta nhóm các hạng tử liên quan đến $x$ và $y$ lại và hoàn thành bình phương: \[ x^2 - 4x + y^2 + 6y = 12 \] \[ (x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 = 12 \] \[ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25 \] Phương trình này có dạng chuẩn của phương trình đường tròn, với tâm $(2, -3)$ và bán kính $5$. C. $x^2 + y^2 - 2x - 8y + 20 = 0$ Ta nhóm các hạng tử liên quan đến $x$ và $y$ lại và hoàn thành bình phương: \[ x^2 - 2x + y^2 - 8y = -20 \] \[ (x - 1)^2 - 1 + (y - 4)^2 - 16 = -20 \] \[ (x - 1)^2 + (y - 4)^2 = -3 \] Phương trình này không thể là phương trình của đường tròn vì bán kính không thể là số âm. D. $4x^2 + y^2 - 10x - 6y - 2 = 0$ Phương trình này có hệ số của $x^2$ là 4, không phải là 1, nên không phải là phương trình của đường tròn. Từ các phép kiểm tra trên, ta thấy phương trình đúng là phương trình của đường tròn là phương trình B. Đáp án: B. $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$ Câu 15: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng quy tắc nhân trong lý thuyết tổ hợp. Bước 1: Xác định số lựa chọn cho mỗi loại trang phục. - Số cách chọn quần: 4 cách. - Số cách chọn áo: 6 cách. - Số cách chọn cà vạt: 3 cách. Bước 2: Áp dụng quy tắc nhân để tính tổng số cách chọn bộ "quần-áo-cà vạt". Tổng số cách chọn bộ "quần-áo-cà vạt" là: \[ 4 \times 6 \times 3 = 72 \] Vậy, có 72 cách chọn bộ "quần-áo-cà vạt" khác nhau. Đáp án đúng là: A. 72. Câu 16: Công thức tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử là: $A^k_n = \frac{n!}{(n-k)!}$ Do đó, đáp án đúng là: A. $A^k_n = \frac{n!}{(n-k)!}$ Lập luận từng bước: - Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là số cách chọn k phần tử từ n phần tử và sắp xếp chúng theo thứ tự. - Công thức này không liên quan đến việc chia thêm cho k! vì thứ tự của k phần tử đã được tính trong phép nhân n! và chia cho (n-k)!. - Do đó, công thức đúng là $A^k_n = \frac{n!}{(n-k)!}$. Đáp án: A. $A^k_n = \frac{n!}{(n-k)!}$ Câu 17: Để giải bài toán này, chúng ta cần tính số cách sắp xếp 9 học sinh ngồi vào một dãy gồm 9 ghế. Đây là một bài toán về hoán vị. Bước 1: Xác định số cách chọn chỗ ngồi cho học sinh đầu tiên. - Có 9 ghế trống, nên học sinh đầu tiên có 9 lựa chọn. Bước 2: Xác định số cách chọn chỗ ngồi cho học sinh thứ hai. - Sau khi học sinh đầu tiên đã chọn chỗ ngồi, còn lại 8 ghế trống, nên học sinh thứ hai có 8 lựa chọn. Bước 3: Xác định số cách chọn chỗ ngồi cho học sinh thứ ba. - Sau khi học sinh đầu tiên và thứ hai đã chọn chỗ ngồi, còn lại 7 ghế trống, nên học sinh thứ ba có 7 lựa chọn. Bước 4: Tiếp tục tương tự cho các học sinh tiếp theo. - Học sinh thứ tư có 6 lựa chọn. - Học sinh thứ năm có 5 lựa chọn. - Học sinh thứ sáu có 4 lựa chọn. - Học sinh thứ bảy có 3 lựa chọn. - Học sinh thứ tám có 2 lựa chọn. - Học sinh cuối cùng chỉ còn 1 lựa chọn. Bước 5: Tính tổng số cách sắp xếp. - Tổng số cách sắp xếp 9 học sinh vào 9 ghế là: \[ 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 9! \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~9! \] Câu 18: Khi gieo một đồng xu cân đối và đồng chất liên tiếp bốn lần, kết quả của mỗi lần gieo có thể là mặt sấp (S) hoặc mặt ngửa (N). Biến cố B là "Kết quả bốn lần gieo là như nhau", tức là tất cả bốn lần gieo đều là mặt sấp hoặc tất cả bốn lần gieo đều là mặt ngửa. Do đó, các kết quả có thể xảy ra trong biến cố B là: - Tất cả bốn lần gieo đều là mặt sấp: SSSS - Tất cả bốn lần gieo đều là mặt ngửa: NNNN Vậy biến cố B là: \[ B = \{SSSS, NNNN\} \] Đáp án đúng là: \[ A.~B=\{SSSS;NNNN\} \] Câu 19: Để tính xác suất chọn được số chẵn từ tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 15, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 15: Tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 15 là: \[ \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14\} \] Số lượng các số trong tập hợp này là 15. 2. Xác định tập hợp các số chẵn nhỏ hơn 15: Các số chẵn nhỏ hơn 15 là: \[ \{0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14\} \] Số lượng các số chẵn trong tập hợp này là 8. 3. Tính xác suất: Xác suất để chọn được một số chẵn từ tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 15 là: \[ P(\text{số chẵn}) = \frac{\text{số lượng số chẵn}}{\text{số lượng tổng các số tự nhiên nhỏ hơn 15}} = \frac{8}{15} \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{\frac{8}{15}} \] Câu 20: Để sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc, chúng ta cần tính số cách sắp xếp các học sinh này theo thứ tự từ trái sang phải hoặc từ phải sang trái. Số cách sắp xếp n phần tử khác nhau là n! (n nhân giai thừa). Trong trường hợp này, chúng ta có 5 học sinh, do đó số cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc là 5!. Vậy đáp án đúng là B. 5!. Lập luận từng bước: 1. Chúng ta có 5 học sinh cần sắp xếp. 2. Số cách sắp xếp n phần tử khác nhau là n!. 3. Do đó, số cách sắp xếp 5 học sinh là 5!. Đáp án: B. 5!. Câu 21: Để chọn 3 người từ một tổ có 30 người, chúng ta cần tính số cách chọn 3 người từ 30 người mà không quan tâm đến thứ tự. Đây là một bài toán về tổ hợp. Số cách chọn 3 người từ 30 người được tính bằng công thức tổ hợp \( C^n_k \), trong đó \( n \) là tổng số phần tử và \( k \) là số phần tử cần chọn. Trong trường hợp này, \( n = 30 \) và \( k = 3 \). Vậy số cách chọn 3 người từ 30 người là: \[ C^{30}_3 = \frac{30!}{3!(30-3)!} = \frac{30!}{3! \cdot 27!} = \frac{30 \times 29 \times 28}{3 \times 2 \times 1} = 4060 \] Do đó, đáp án đúng là: D. \( C^3_{30} \) Lập luận từng bước: 1. Xác định đây là bài toán tổ hợp vì không quan tâm đến thứ tự. 2. Áp dụng công thức tổ hợp \( C^n_k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \). 3. Thay \( n = 30 \) và \( k = 3 \) vào công thức. 4. Tính toán kết quả. Vậy đáp án đúng là D. \( C^3_{30} \). Câu 22: Để lập được các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau từ tập hợp \( A = \{1, 2, 3, 4\} \), ta thực hiện như sau: - Chọn chữ số hàng nghìn: Có 4 cách chọn (vì có 4 chữ số trong tập hợp \( A \)). - Chọn chữ số hàng trăm: Có 3 cách chọn (vì đã chọn 1 chữ số cho hàng nghìn, còn lại 3 chữ số). - Chọn chữ số hàng chục: Có 2 cách chọn (vì đã chọn 2 chữ số cho hàng nghìn và hàng trăm, còn lại 2 chữ số). - Chọn chữ số hàng đơn vị: Có 1 cách chọn (vì đã chọn 3 chữ số cho hàng nghìn, hàng trăm và hàng chục, còn lại 1 chữ số). Tổng số các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau là: \[ 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \] Vậy đáp án đúng là B. 24. Câu 23: Câu hỏi: Mỗi hạng tử trong khai triển đa thức $(a+b)^4$ có bậc là. A. 3. B. 5. C. 4. D. 16. Vui lòng lập luận từng bước. Câu trả lời: Khai triển đa thức $(a+b)^4$ theo công thức nhị thức Newton, ta có: \[ (a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 \] Ta thấy rằng mỗi hạng tử trong khai triển này đều có tổng số mũ của biến \(a\) và \(b\) bằng 4. Cụ thể: - Hạng tử \(a^4\) có bậc là 4 (vì \(4+0=4\)). - Hạng tử \(4a^3b\) có bậc là 4 (vì \(3+1=4\)). - Hạng tử \(6a^2b^2\) có bậc là 4 (vì \(2+2=4\)). - Hạng tử \(4ab^3\) có bậc là 4 (vì \(1+3=4\)). - Hạng tử \(b^4\) có bậc là 4 (vì \(0+4=4\)). Vậy mỗi hạng tử trong khai triển đa thức $(a+b)^4$ có bậc là 4. Đáp án đúng là: C. 4. Câu 24: Khi gieo một đồng xu liên tiếp 2 lần, mỗi lần gieo có thể xuất hiện hai kết quả: mặt ngửa (H) hoặc mặt sấp (T). Ta sẽ liệt kê tất cả các kết quả có thể xảy ra khi gieo đồng xu 2 lần: 1. Kết quả đầu tiên là H, kết quả thứ hai là H: (H, H) 2. Kết quả đầu tiên là H, kết quả thứ hai là T: (H, T) 3. Kết quả đầu tiên là T, kết quả thứ hai là H: (T, H) 4. Kết quả đầu tiên là T, kết quả thứ hai là T: (T, T) Như vậy, không gian mẫu $\Omega$ bao gồm các phần tử sau: \[ \Omega = \{(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)\} \] Số phần tử của không gian mẫu $n(\Omega)$ là 4. Vậy đáp án đúng là D. 4. Câu 25: Khi gieo một con súc sắc, ta có 6 kết quả có thể xảy ra: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Trong đó, các mặt có số chấm chẵn là: 2, 4, 6. Số lượng các kết quả có thể xảy ra là 6. Số lượng các kết quả mong muốn (mặt chấm chẵn) là 3. Xác suất để mặt chấm chẵn xuất hiện là: \[ P = \frac{\text{số lượng kết quả mong muốn}}{\text{số lượng kết quả có thể xảy ra}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0,5 \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~0,5 \] Câu 26: Để xác định khẳng định sai trong các lựa chọn đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một. A. Xác suất của biến cố A có tính chất \(0 \leq P(A) \leq 1\). - Đây là một khẳng định đúng vì xác suất của bất kỳ biến cố nào cũng nằm trong khoảng từ 0 đến 1. B. Biến cố chắc chắn là tập hợp \(\Omega\) và \(P(\Omega) = 1\). - Đây là một khẳng định đúng vì biến cố chắc chắn là toàn bộ không gian mẫu \(\Omega\) và xác suất của nó là 1. C. A là một tập con của \(\Omega\). - Đây là một khẳng định đúng vì biến cố A luôn là một tập con của không gian mẫu \(\Omega\). D. Biến cố không là tập hợp \(\emptyset\) và không thể tính được xác suất. - Đây là một khẳng định sai vì biến cố không là tập hợp rỗng \(\emptyset\) và xác suất của nó là 0 (\(P(\emptyset) = 0\)). Vậy khẳng định sai là: D. Biến cố không là tập hợp \(\emptyset\) và không thể tính được xác suất. Đáp án: D. Câu 1: a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow u=(3;4).$ Để kiểm tra một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$, ta cần xem xét phương trình của đường thẳng $\Delta$. Phương trình của đường thẳng $\Delta$ là $3x - 4y - 17 = 0$. Vectơ chỉ phương của đường thẳng này sẽ có dạng $(a; b)$ sao cho $a$ và $b$ thỏa mãn phương trình $ax + by + c = 0$. Trong trường hợp này, vectơ chỉ phương có thể là $(3; -4)$, không phải $(3; 4)$. Do đó, mệnh đề này là sai. b) Đường thẳng $\Delta:~3x-4y-17=0$ song song với $\Delta:~3x-4y-1=0.$ Hai đường thẳng song song nếu chúng có cùng vectơ chỉ phương. Phương trình của cả hai đường thẳng đều có dạng $3x - 4y + c = 0$, do đó vectơ chỉ phương của cả hai đường thẳng là $(3; -4)$. Vì vậy, hai đường thẳng này song song. Mệnh đề này là đúng. c) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng $\Delta$ bằng 3. Khoảng cách từ một điểm $(x_0, y_0)$ đến đường thẳng $ax + by + c = 0$ được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] Áp dụng công thức này cho điểm $A(1, -1)$ và đường thẳng $\Delta: 3x - 4y - 17 = 0$: \[ d = \frac{|3(1) - 4(-1) - 17|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|3 + 4 - 17|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|-10|}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2 \] Do đó, khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng $\Delta$ là 2, không phải 3. Mệnh đề này là sai. d) Đường tròn tâm A và đi qua điểm B có phương trình là $(x-1)^2+(y-1)^2=5.$ Đường tròn tâm A và đi qua điểm B có bán kính là khoảng cách giữa A và B. Ta tính khoảng cách này: \[ AB = \sqrt{(2 - 1)^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \] Phương trình của đường tròn tâm A(1, -1) và bán kính $\sqrt{5}$ là: \[ (x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 5 \] Do đó, phương trình $(x-1)^2+(y-1)^2=5$ là sai. Tóm lại: - a) Sai - b) Đúng - c) Sai - d) Sai Câu 2. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm giao điểm của đường thẳng với các trục tọa độ: - Giao điểm với trục \(Ox\): Thay \(v = 0\) vào phương trình đường thẳng: \[ 2x + 0 - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2} \] Vậy giao điểm với trục \(Ox\) là \(\left( \frac{1}{2}, 0 \right)\). - Giao điểm với trục \(Ov\): Thay \(x = 0\) vào phương trình đường thẳng: \[ 2 \cdot 0 + v - 1 = 0 \implies v = 1 \] Vậy giao điểm với trục \(Ov\) là \((0, 1)\). 2. Vẽ đường thẳng: - Đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( \frac{1}{2}, 0 \right)\) và \((0, 1)\). 3. Tính diện tích tam giác OAB: - Tam giác OAB có đỉnh O tại gốc tọa độ \((0, 0)\), đỉnh A tại \(\left( \frac{1}{2}, 0 \right)\), và đỉnh B tại \((0, 1)\). - Diện tích tam giác OAB được tính bằng công thức: \[ S_{OAB} = \frac{1}{2} \times \text{OA} \times \text{OB} \] Trong đó, OA là khoảng cách từ O đến A, OB là khoảng cách từ O đến B. \[ \text{OA} = \frac{1}{2}, \quad \text{OB} = 1 \] Do đó: \[ S_{OAB} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{4} \] Vậy diện tích tam giác OAB là \(\frac{1}{4}\).