Tra lai dung sai câu 5

Câu 45. Trước tiên, ta xác định góc phẳng nhị diện $[B, AA'C]$. Ta sẽ tìm góc giữa hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(AA'C)$. 1. Xác định góc phẳng nhị diện: - Mặt phẳng $(ABC)$ chứa cạnh $AB$ và $BC$. - Mặt phẳng $(AA'C)$ chứa cạnh $AA'$ và $AC$. 2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: - Giao tuyến của $(ABC)$ và $(AA'C)$ là đường thẳng $AC$. 3. Xác định góc giữa hai mặt phẳng: - Góc giữa hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(AA'C)$ là góc giữa hai đường thẳng nằm trong mỗi mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến $AC$. 4. Xác định các đường thẳng vuông góc với giao tuyến $AC$: - Trong mặt phẳng $(ABC)$, đường thẳng $AB$ vuông góc với $AC$. - Trong mặt phẳng $(AA'C)$, đường thẳng $AA'$ vuông góc với $AC$. 5. Xác định góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $AA'$: - Vì $AA'$ là đường cao của lăng trụ đứng nên $AA'$ vuông góc với đáy $(ABC)$. - Do đó, góc giữa $AB$ và $AA'$ chính là góc phẳng nhị diện $[B, AA'C]$. 6. Tính góc giữa $AB$ và $AA'$: - Ta có $AB = a\sqrt{3}$ và $BC = a$. - Tam giác $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, do đó $AC = \sqrt{(AB)^2 + (BC)^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + a^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a$. - Góc giữa $AB$ và $AA'$ là góc giữa hai đường thẳng vuông góc với nhau, do đó góc này là $90^\circ$. Vậy góc phẳng nhị diện $[B, AA'C]$ có số đo là $90^\circ$. Đáp án đúng là: $D.~90^\circ$. Câu 6. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông tin đã cho: - Đáy ABCD là hình vuông cạnh a. - SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD. - \( SA = a\sqrt{3} \). 2. Xác định các đường cao: - AH là đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác SAB. - AK là đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác SAD. 3. Xác định vị trí của H và K: - Vì SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD, nên SA vuông góc với AB và AD. - Do đó, AH nằm trên mặt phẳng SAB và vuông góc với SB. - Tương tự, AK nằm trên mặt phẳng SAD và vuông góc với SD. 4. Kết luận: - Điểm H nằm trên đoạn SB. - Điểm K nằm trên đoạn SD. Do đó, câu trả lời là: - Điểm H nằm trên đoạn SB. - Điểm K nằm trên đoạn SD. Đáp án: Đúng. Câu 1: Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)=\sin2x-x.$ a) Tìm tập xác định của hàm số. b) Tính $f(-\frac{\pi}{2})$ và $f(\frac{\pi}{2})$. c) Chứng minh rằng hàm số đã cho là hàm lẻ. Câu trả lời: a) Tập xác định của hàm số $f(x) = \sin 2x - x$ là $\mathbb{R}$ vì $\sin 2x$ và $-x$ đều xác định trên toàn bộ tập số thực. b) Tính $f(-\frac{\pi}{2})$ và $f(\frac{\pi}{2})$: \[ f(-\frac{\pi}{2}) = \sin(2 \cdot (-\frac{\pi}{2})) - (-\frac{\pi}{2}) = \sin(-\pi) + \frac{\pi}{2} = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \] \[ f(\frac{\pi}{2}) = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{2}) - \frac{\pi}{2} = \sin(\pi) - \frac{\pi}{2} = 0 - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2} \] c) Chứng minh rằng hàm số đã cho là hàm lẻ: Hàm số $f(x)$ được gọi là hàm lẻ nếu $f(-x) = -f(x)$ với mọi $x$ trong tập xác định của nó. \[ f(-x) = \sin(2(-x)) - (-x) = \sin(-2x) + x = -\sin(2x) + x \] \[ -f(x) = -(\sin(2x) - x) = -\sin(2x) + x \] Vì $f(-x) = -f(x)$, nên hàm số $f(x) = \sin 2x - x$ là hàm lẻ. Đáp số: a) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$. b) $f(-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$ và $f(\frac{\pi}{2}) = -\frac{\pi}{2}$. c) Hàm số $f(x) = \sin 2x - x$ là hàm lẻ. Câu 7. Để giải quyết yêu cầu của bạn, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một theo các quy tắc đã đưa ra. Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Trong bài toán này, chúng ta không có các biểu thức phân thức, căn thức hoặc logarit, do đó không cần xác định điều kiện xác định. Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số Hàm số đã cho là \( f(x) = \sin(2x) - x \). Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(2x) - x) \] \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(2x)) - \frac{d}{dx}(x) \] Áp dụng công thức đạo hàm của sin(ax): \[ \frac{d}{dx}(\sin(2x)) = 2\cos(2x) \] Và đạo hàm của x là 1: \[ \frac{d}{dx}(x) = 1 \] Do đó: \[ f'(x) = 2\cos(2x) - 1 \] Bước 3: Giải phương trình đạo hàm bằng 0 Phương trình đạo hàm bằng 0: \[ 2\cos(2x) - 1 = 0 \] \[ 2\cos(2x) = 1 \] \[ \cos(2x) = \frac{1}{2} \] Giải phương trình cos(2x) = $\frac{1}{2}$: \[ 2x = \pm \frac{\pi}{3} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] \[ x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Bước 4: Tìm nghiệm trong đoạn [-$\frac{\pi}{2}$; $\frac{\pi}{2}$] Chúng ta cần tìm các giá trị của x thỏa mãn đoạn [-$\frac{\pi}{2}$; $\frac{\pi}{2}$]: - Khi k = 0: \[ x = \frac{\pi}{6} \] \[ x = -\frac{\pi}{6} \] - Khi k = 1: \[ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{3} \] (không thuộc đoạn [-$\frac{\pi}{2}$; $\frac{\pi}{2}$]) \[ x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{3} \] (không thuộc đoạn [-$\frac{\pi}{2}$; $\frac{\pi}{2}$]) - Khi k = -1: \[ x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{3} \] (không thuộc đoạn [-$\frac{\pi}{2}$; $\frac{\pi}{2}$]) \[ x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{2} = -\frac{2\pi}{3} \] (không thuộc đoạn [-$\frac{\pi}{2}$; $\frac{\pi}{2}$]) Như vậy, các nghiệm của phương trình \( f'(x) = 0 \) trong đoạn [-$\frac{\pi}{2}$; $\frac{\pi}{2}$] là: \[ x = -\frac{\pi}{6} \text{ hoặc } x = \frac{\pi}{6} \] Kết luận Đạo hàm của hàm số \( f(x) = \sin(2x) - x \) là: \[ f'(x) = 2\cos(2x) - 1 \] Phương trình \( f'(x) = 0 \) có hai nghiệm trên đoạn [-$\frac{\pi}{2}$; $\frac{\pi}{2}$] là: \[ x = -\frac{\pi}{6} \text{ hoặc } x = \frac{\pi}{6} \] Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tập xác định của hàm số. 2. Tính đạo hàm của hàm số. 3. Xác định các điểm cực trị của hàm số. 4. Xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số. 5. Xác định giới hạn của hàm số tại các điểm đặc biệt. 6. Xác định các điểm đặc biệt của đồ thị hàm số. 7. Vẽ đồ thị hàm số. Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số Hàm số $f(x) = \frac{1}{2}x^2 + x - 6\ln(x+2)$ có tập xác định là $D = (-2, +\infty)$ vì $\ln(x+2)$ chỉ xác định khi $x > -2$. Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số $f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x^2 + x - 6\ln(x+2)\right)$ $f'(x) = x + 1 - \frac{6}{x+2}$ Bước 3: Xác định các điểm cực trị của hàm số Để tìm các điểm cực trị, chúng ta cần giải phương trình $f'(x) = 0$: $x + 1 - \frac{6}{x+2} = 0$ $(x + 1)(x + 2) - 6 = 0$ $x^2 + 3x + 2 - 6 = 0$ $x^2 + 3x - 4 = 0$ Giải phương trình bậc hai này: $x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2}$ $x_1 = 1$, $x_2 = -4$ Tuy nhiên, $x = -4$ không thuộc tập xác định của hàm số, do đó chỉ có $x = 1$ là điểm cực trị. Bước 4: Xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số Ta xét dấu của $f'(x)$ trên các khoảng $(−2, 1)$ và $(1, +∞)$: - Trên khoảng $(−2, 1)$, $f'(x) < 0$ nên hàm số nghịch biến. - Trên khoảng $(1, +∞)$, $f'(x) > 0$ nên hàm số đồng biến. Bước 5: Xác định giới hạn của hàm số tại các điểm đặc biệt $\lim_{x \to -2^+} f(x) = -\infty$ $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ Bước 6: Xác định các điểm đặc biệt của đồ thị hàm số - Điểm cực tiểu: $f(1) = \frac{1}{2}(1)^2 + 1 - 6\ln(1+2) = \frac{3}{2} - 6\ln(3)$ - Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0, f(0)) = (0, -6\ln(2))$ Bước 7: Vẽ đồ thị hàm số Với các thông tin trên, ta có thể vẽ đồ thị hàm số $f(x) = \frac{1}{2}x^2 + x - 6\ln(x+2)$ như sau: - Đồ thị nằm trong khoảng $(-2, +\infty)$. - Đồ thị có điểm cực tiểu tại $(1, \frac{3}{2} - 6\ln(3))$. - Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0, -6\ln(2))$. - Đồ thị nghịch biến trên khoảng $(−2, 1)$ và đồng biến trên khoảng $(1, +∞)$. - Giới hạn của hàm số khi $x \to -2^+$ là $-\infty$ và khi $x \to +\infty$ là $+\infty$. Câu 7. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu: a) Tập xác định của hàm số: Hàm số $f(x)$ được cho là $f(x) = x^2 - 4x \ln x$. Để xác định tập xác định của hàm số này, chúng ta cần đảm bảo rằng biểu thức $\ln x$ có nghĩa, tức là $x > 0$. Do đó, tập xác định của hàm số là: \[ D = (0, +\infty) \] b) Trên đoạn $[-1;2]$, phương trình $f'(x) = 0$ có hai nghiệm phân biệt: Đầu tiên, chúng ta tính đạo hàm của hàm số $f(x)$: \[ f(x) = x^2 - 4x \ln x \] \[ f'(x) = 2x - 4(\ln x + 1) = 2x - 4 \ln x - 4 \] Phương trình $f'(x) = 0$ trở thành: \[ 2x - 4 \ln x - 4 = 0 \] \[ x - 2 \ln x - 2 = 0 \] Chúng ta cần kiểm tra phương trình này trên đoạn $[-1;2]$. Tuy nhiên, vì tập xác định của hàm số là $(0, +\infty)$, nên chúng ta chỉ cần xét trên đoạn $(0, 2]$. c) Giá trị của $f(-1)$ và $f(2)$: - $f(-1)$ không có nghĩa vì $-1$ không thuộc tập xác định của hàm số. - $f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 \ln 2 = 4 - 8 \ln 2$ d) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm $M(-1; -\frac{1}{2})$: Điểm $M(-1; -\frac{1}{2})$ không thuộc tập xác định của hàm số, do đó không thể có tiếp tuyến tại điểm này. e) Khoảng cách từ C đến mặt phẳng: Phần này không liên quan đến hàm số và đạo hàm, mà liên quan đến hình học không gian. Chúng ta cần biết thêm thông tin về tọa độ của các điểm A, B, C và S để tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB). Tóm lại, các phần đã giải quyết như sau: - Tập xác định của hàm số: $D = (0, +\infty)$ - Phương trình $f'(x) = 0$ trên đoạn $(0, 2]$ cần được giải cụ thể hơn. - $f(2) = 4 - 8 \ln 2$ - Tiếp tuyến tại điểm $M(-1; -\frac{1}{2})$ không tồn tại vì điểm này không thuộc tập xác định của hàm số. - Khoảng cách từ C đến mặt phẳng cần thêm thông tin về tọa độ các điểm. Câu 3: Để giải quyết các mệnh đề về hàm số $y = \log_{a}x$, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết. Mệnh đề a) Mệnh đề: Hàm số có tập xác định $D = \mathbb{R}$. Lập luận: - Tập xác định của hàm số $y = \log_{a}x$ là $D = (0; +\infty)$ vì đối số của hàm logarit phải dương. - Do đó, mệnh đề này sai. Mệnh đề b) Mệnh đề: Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; +\infty)$. Lập luận: - Hàm số $y = \log_{a}x$ là hàm số đồng biến nếu $a > 1$ và nghịch biến nếu $0 < a < 1$. - Vì không biết giá trị cụ thể của $a$, chúng ta không thể khẳng định chắc chắn rằng hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; +\infty)$. - Do đó, mệnh đề này chưa chắc chắn và cần thêm thông tin về giá trị của $a$. Mệnh đề c) Mệnh đề: Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm $A(1; 0)$. Lập luận: - Đồ thị của hàm số $y = \log_{a}x$ cắt trục hoành tại điểm $(1; 0)$ vì $\log_{a}1 = 0$ cho mọi $a > 0$ và $a \neq 1$. - Do đó, mệnh đề này đúng. Mệnh đề d) Mệnh đề: Đồ thị hàm số đi qua điểm $N\left(\frac{1}{2}; 1\right)$. Lập luận: - Để kiểm tra xem đồ thị hàm số có đi qua điểm $N\left(\frac{1}{2}; 1\right)$ hay không, chúng ta thay $x = \frac{1}{2}$ vào hàm số và kiểm tra xem $y$ có bằng 1 hay không. - Ta có $y = \log_{a}\left(\frac{1}{2}\right)$. - Nếu $y = 1$, thì $\log_{a}\left(\frac{1}{2}\right) = 1$. Điều này có nghĩa là $a = \frac{1}{2}$. - Do đó, mệnh đề này đúng nếu $a = \frac{1}{2}$. Kết luận: - Mệnh đề a) sai. - Mệnh đề b) chưa chắc chắn và cần thêm thông tin về giá trị của $a$. - Mệnh đề c) đúng. - Mệnh đề d) đúng nếu $a = \frac{1}{2}$. Do đó, các mệnh đề đúng là c) và d) (nếu $a = \frac{1}{2}$). Câu 4: Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề dựa trên đạo hàm của hàm số đã cho. Hàm số đã cho là: \[ y = -4x^3 + \frac{x^2}{2} - 2x + 3 \] Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}\left(-4x^3 + \frac{x^2}{2} - 2x + 3\right) \] \[ y' = -12x^2 + x - 2 \] So sánh với dạng tổng quát \( y' = ax^2 + bx + c \): \[ a = -12, \quad b = 1, \quad c = -2 \] Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: a) \( a + b + c = -10 \) \[ a + b + c = -12 + 1 - 2 = -13 \] Mệnh đề này sai vì \( -13 \neq -10 \). b) Phương trình \( y' = 0 \) có hai nghiệm phân biệt Phương trình \( y' = 0 \) là: \[ -12x^2 + x - 2 = 0 \] Ta tính delta (\( \Delta \)) để xác định số nghiệm của phương trình: \[ \Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(-12)(-2) = 1 - 96 = -95 \] Vì \( \Delta < 0 \), phương trình \( y' = 0 \) không có nghiệm thực, do đó không có hai nghiệm phân biệt. Mệnh đề này sai. c) Đồ thị hàm số \( y' \) cắt trục tung tại điểm \( (0; -2) \) Đồ thị hàm số \( y' \) cắt trục tung tại điểm có hoành độ \( x = 0 \). Thay \( x = 0 \) vào \( y' \): \[ y'(0) = -12(0)^2 + 1(0) - 2 = -2 \] Do đó, đồ thị hàm số \( y' \) cắt trục tung tại điểm \( (0; -2) \). Mệnh đề này đúng. d) Đồ thị hàm số \( y' \) cắt đường thẳng \( y = 3 \) tại hai điểm phân biệt Phương trình cắt đường thẳng \( y = 3 \) là: \[ -12x^2 + x - 2 = 3 \] \[ -12x^2 + x - 5 = 0 \] Ta tính delta (\( \Delta \)) để xác định số nghiệm của phương trình: \[ \Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(-12)(-5) = 1 - 240 = -239 \] Vì \( \Delta < 0 \), phương trình \( -12x^2 + x - 5 = 0 \) không có nghiệm thực, do đó không có hai điểm phân biệt. Mệnh đề này sai. Kết luận: - Mệnh đề a) Sai - Mệnh đề b) Sai - Mệnh đề c) Đúng - Mệnh đề d) Sai Câu 5: Trước tiên, ta xác định các thông tin đã cho: - Đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. - E là trung điểm của AB. - \( AB = 2a \), \( AD = DC = a \). - \( SA \perp AB \), \( SA \perp AD \) và \( SA = \frac{2a\sqrt{3}}{3} \). Bây giờ, ta sẽ tính diện tích toàn phần của hình chóp S.ABCD. Bước 1: Tính diện tích đáy ABCD Hình thang ABCD có đáy lớn \( AB = 2a \) và đáy bé \( DC = a \). Chiều cao của hình thang là \( AD = a \). Diện tích đáy ABCD là: \[ S_{ABCD} = \frac{1}{2} \times (AB + DC) \times AD = \frac{1}{2} \times (2a + a) \times a = \frac{1}{2} \times 3a \times a = \frac{3a^2}{2} \] Bước 2: Tính diện tích các mặt bên Diện tích tam giác SAB \( SA \perp AB \), nên tam giác SAB là tam giác vuông tại A. Chiều cao từ S xuống AB là \( SA = \frac{2a\sqrt{3}}{3} \). Diện tích tam giác SAB là: \[ S_{SAB} = \frac{1}{2} \times AB \times SA = \frac{1}{2} \times 2a \times \frac{2a\sqrt{3}}{3} = \frac{2a^2\sqrt{3}}{3} \] Diện tích tam giác SAD \( SA \perp AD \), nên tam giác SAD là tam giác vuông tại A. Diện tích tam giác SAD là: \[ S_{SAD} = \frac{1}{2} \times AD \times SA = \frac{1}{2} \times a \times \frac{2a\sqrt{3}}{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{3} \] Diện tích tam giác SDC Ta cần tính chiều cao từ S xuống DC. Ta có: \[ SD = \sqrt{SA^2 + AD^2} = \sqrt{\left(\frac{2a\sqrt{3}}{3}\right)^2 + a^2} = \sqrt{\frac{4a^2 \cdot 3}{9} + a^2} = \sqrt{\frac{4a^2}{3} + a^2} = \sqrt{\frac{4a^2 + 3a^2}{3}} = \sqrt{\frac{7a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{21}}{3} \] Diện tích tam giác SDC là: \[ S_{SDC} = \frac{1}{2} \times DC \times SD = \frac{1}{2} \times a \times \frac{a\sqrt{21}}{3} = \frac{a^2\sqrt{21}}{6} \] Diện tích tam giác SBC Ta cần tính chiều cao từ S xuống BC. Ta có: \[ SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{\left(\frac{2a\sqrt{3}}{3}\right)^2 + (2a)^2} = \sqrt{\frac{4a^2 \cdot 3}{9} + 4a^2} = \sqrt{\frac{4a^2}{3} + 4a^2} = \sqrt{\frac{4a^2 + 12a^2}{3}} = \sqrt{\frac{16a^2}{3}} = \frac{4a}{\sqrt{3}} = \frac{4a\sqrt{3}}{3} \] Diện tích tam giác SBC là: \[ S_{SBC} = \frac{1}{2} \times BC \times SB = \frac{1}{2} \times 2a \times \frac{4a\sqrt{3}}{3} = \frac{4a^2\sqrt{3}}{3} \] Bước 3: Tính diện tích toàn phần Diện tích toàn phần của hình chóp S.ABCD là tổng diện tích đáy và diện tích các mặt bên: \[ S_{tổng} = S_{ABCD} + S_{SAB} + S_{SAD} + S_{SDC} + S_{SBC} \] \[ S_{tổng} = \frac{3a^2}{2} + \frac{2a^2\sqrt{3}}{3} + \frac{a^2\sqrt{3}}{3} + \frac{a^2\sqrt{21}}{6} + \frac{4a^2\sqrt{3}}{3} \] \[ S_{tổng} = \frac{3a^2}{2} + \frac{2a^2\sqrt{3}}{3} + \frac{a^2\sqrt{3}}{3} + \frac{a^2\sqrt{21}}{6} + \frac{4a^2\sqrt{3}}{3} \] \[ S_{tổng} = \frac{3a^2}{2} + \frac{7a^2\sqrt{3}}{3} + \frac{a^2\sqrt{21}}{6} \] Đáp số: Diện tích toàn phần của hình chóp S.ABCD là: \[ \boxed{\frac{3a^2}{2} + \frac{7a^2\sqrt{3}}{3} + \frac{a^2\sqrt{21}}{6}} \]