Giúp em câu 3,4 với ạ. Em cần gấp plssssss Bài 7. Cho tam giác nhọn ABC, nội tiếp đường tròn (O). Ba đường cao AD, BE, CF của,tam giác ABC cùng đi qua trực tâm H.,1) Chứng minh bốn điểm B, F, E, C cùng thuộc một đường tròn.,2) Chứng minh $HA.HD=HB.HE=HC.HF.$,3) Đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF cắt cạnh BC tại giao điểm thứ hai là I.,Chứng minh DH là tia phân giác của $\widehat{EDF}$ và I là trung điểm của BC.,4) Hai tia BE, CF cắt (O) tại các giao điểm thứ hai lần lượt là M và N.,Chứng minh nếu $\frac{MN}{OI}=2\sqrt2$ thì MN là đường kính của đường tròn (O).

Question

Giúp em câu 3,4 với ạ. Em cần gấp plssssss  Bài 7. Cho tam giác nhọn ABC, nội tiếp đường tròn (O). Ba đường cao AD, BE, CF của,tam giác ABC cùng đi qua trực tâm H.,1) Chứng minh bốn điểm B, F, E, C cùng thuộc một đường tròn.,2) Chứng minh $HA.HD=HB.HE=HC.HF.$,3) Đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF cắt cạnh BC tại giao điểm thứ hai là I.,Chứng minh DH là tia phân giác của $\widehat{EDF}$ và I là trung điểm của BC.,4) Hai tia BE, CF cắt (O) tại các giao điểm thứ hai lần lượt là M và N.,Chứng minh nếu $\frac{MN}{OI}=2\sqrt2$ thì MN là đường kính của đường tròn (O).

Timi · Accepted Answer

Bài 7.
1) Ta có $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^\circ$. Do đó bốn điểm B, F, E, C cùng thuộc một đường tròn.

2) Ta có $\widehat{HAE}=\widehat{HCF}$ (cùng bù với $\widehat{ACB}$). 
$\widehat{AHE}=\widehat{CHF}$ (đối đỉnh). 
Do đó $	riangle AHE \sim 	riangle CHF$ (g-g). 
Từ đó ta có $\frac{HA}{HC}=\frac{HE}{HF}$ hay $HA.HF=HC.HE$. 
Tương tự ta cũng có $HA.HF=HB.HD$. 
Vậy $HA.HD=HB.HE=HC.HF$.

3) Ta có $\widehat{HDF}=\widehat{HCE}$ (cùng bù với $\widehat{HCF}$). 
$\widehat{HCE}=\widehat{HBE}$ (cùng chắn cung HF). 
$\widehat{HBE}=\widehat{HDE}$ (cùng bù với $\widehat{HDB}$). 
Vậy $\widehat{HDF}=\widehat{HDE}$. 
Do đó DH là tia phân giác của $\widehat{EDF}$. 
Ta có $\widehat{HDF}=\widehat{HDE}=\widehat{EFI}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HF). 
Vậy $\widehat{EFI}=\widehat{EBC}$. 
Do đó EF // BC. 
Mà EF là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF nên I là trung điểm của BC.

4) Ta có $\widehat{BNC}=\widehat{BMC}=90^\circ$. 
Do đó bốn điểm B, N, O, M cùng thuộc một đường tròn. 
Ta có $\widehat{MON}=\widehat{MBN}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MN). 
$\widehat{MBN}=\widehat{ABC}$ (cùng chắn cung MC). 
$\widehat{ABC}=\widehat{AFC}$ (cùng chắn cung AC). 
$\widehat{AFC}=\widehat{AFI}$ (cùng bù với $\widehat{IFC}$). 
$\widehat{AFI}=\widehat{ADI}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AI). 
$\widehat{ADI}=\widehat{ABO}$ (cùng chắn cung BI). 
$\widehat{ABO}=\widehat{ACO}$ (cùng chắn cung AO). 
$\widehat{ACO}=\widehat{ACB}$ (cùng bù với $\widehat{OCB}$). 
$\widehat{ACB}=\widehat{AMB}$ (cùng chắn cung AB). 
$\widehat{AMB}=\widehat{ANB}$ (cùng chắn cung AB). 
$\widehat{ANB}=\widehat{ONB}$ (cùng bù với $\widehat{BNO}$). 
Vậy $\widehat{MON}=\widehat{ONB}$. 
Do đó $	riangle MON$ là tam giác vuông cân tại O. 
Vậy $\frac{MN}{OI}=2\sqrt2$ thì MN là đường kính của đường tròn (O).