chứng minh

Để chứng minh $\sqrt{\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+2}} < \frac{2}{3}$, ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - $\sqrt{x}$ phải có nghĩa, do đó $x \geq 0$. - Biểu thức $\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+2}$ phải có nghĩa và dương, do đó $\sqrt{x} > 3$ (vì nếu $\sqrt{x} \leq 3$, thì $\sqrt{x} - 3 \leq 0$ và $\sqrt{x} + 2 > 0$, dẫn đến $\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+2} \leq 0$). Từ đó, ta có ĐKXĐ: $x > 9$. Bước 2: Chứng minh $\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+2} < \left(\frac{2}{3}\right)^2$: - Ta cần chứng minh $\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+2} < \frac{4}{9}$. Bước 3: Nhân cả hai vế với $(\sqrt{x} + 2)$ (vì $\sqrt{x} + 2 > 0$): - $\sqrt{x} - 3 < \frac{4}{9} (\sqrt{x} + 2)$ Bước 4: Nhân cả hai vế với 9 để loại bỏ phân số: - $9(\sqrt{x} - 3) < 4(\sqrt{x} + 2)$ Bước 5: Mở ngoặc và thu gọn: - $9\sqrt{x} - 27 < 4\sqrt{x} + 8$ - $9\sqrt{x} - 4\sqrt{x} < 8 + 27$ - $5\sqrt{x} < 35$ - $\sqrt{x} < 7$ Bước 6: Kiểm tra lại điều kiện: - Ta đã có ĐKXĐ là $x > 9$, tức là $\sqrt{x} > 3$. Do đó, $\sqrt{x} < 7$ là điều kiện đủ để đảm bảo $\sqrt{x} > 3$. Vậy, ta đã chứng minh được $\sqrt{\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+2}} < \frac{2}{3}$ khi $x > 9$.