Giup mik vs

Câu 1. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. a) Kiểm tra tính độc lập của hai biến cố A và B - Biến cố A: "Lấy được viên bi màu xanh ở lần thứ nhất". - Biến cố B: "Lấy được viên bi màu xanh ở lần thứ hai". Biến cố A xảy ra với xác suất: \[ P(A) = \frac{15}{35} = \frac{3}{7} \] Nếu biến cố A đã xảy ra (tức là đã lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất), thì trong hộp còn lại 14 viên bi xanh và 20 viên bi đỏ, tổng cộng 34 viên bi. Biến cố B xảy ra với xác suất: \[ P(B|A) = \frac{14}{34} = \frac{7}{17} \] Biến cố B xảy ra với xác suất: \[ P(B) = \frac{15}{35} = \frac{3}{7} \] Ta thấy rằng: \[ P(B|A) \neq P(B) \] Do đó, hai biến cố A và B không độc lập. b) Tính xác suất của biến cố AB Biến cố AB là "Lấy được viên bi màu xanh ở cả hai lần". Xác suất của biến cố AB là: \[ P(AB) = P(A) \times P(B|A) = \frac{3}{7} \times \frac{7}{17} = \frac{3}{17} \] c) Tính xác suất của biến cố \( A\overline{B} \) Biến cố \( A\overline{B} \) là "Lấy được viên bi màu xanh ở lần thứ nhất và viên bi màu đỏ ở lần thứ hai". Xác suất của biến cố \( A\overline{B} \) là: \[ P(A\overline{B}) = P(A) \times P(\overline{B}|A) \] Trong trường hợp biến cố A đã xảy ra, xác suất của biến cố \( \overline{B} \) (lấy được viên bi màu đỏ ở lần thứ hai) là: \[ P(\overline{B}|A) = \frac{20}{34} = \frac{10}{17} \] Vậy: \[ P(A\overline{B}) = \frac{3}{7} \times \frac{10}{17} = \frac{30}{119} \] d) Tính xác suất để hai viên bi lấy ra khác màu Biến cố "Hai viên bi lấy ra khác màu" bao gồm hai trường hợp: 1. Lấy được viên bi màu xanh ở lần thứ nhất và viên bi màu đỏ ở lần thứ hai. 2. Lấy được viên bi màu đỏ ở lần thứ nhất và viên bi màu xanh ở lần thứ hai. Xác suất của biến cố "Lấy được viên bi màu đỏ ở lần thứ nhất và viên bi màu xanh ở lần thứ hai" là: \[ P(\overline{A}B) = P(\overline{A}) \times P(B|\overline{A}) \] Trong trường hợp biến cố \( \overline{A} \) đã xảy ra (tức là đã lấy được một viên bi đỏ ở lần thứ nhất), thì trong hộp còn lại 15 viên bi xanh và 19 viên bi đỏ, tổng cộng 34 viên bi. Biến cố B xảy ra với xác suất: \[ P(B|\overline{A}) = \frac{15}{34} \] Vậy: \[ P(\overline{A}) = \frac{20}{35} = \frac{4}{7} \] \[ P(\overline{A}B) = \frac{4}{7} \times \frac{15}{34} = \frac{60}{238} = \frac{30}{119} \] Tổng xác suất của hai trường hợp trên là: \[ P(\text{Hai viên bi khác màu}) = P(A\overline{B}) + P(\overline{A}B) = \frac{30}{119} + \frac{30}{119} = \frac{60}{119} \] Đáp án: a) Hai biến cố A và B không độc lập. b) \( P(AB) = \frac{3}{17} \) c) \( P(A\overline{B}) = \frac{30}{119} \) d) Xác suất để hai viên bi lấy ra khác màu là: \( \frac{60}{119} \). Câu 2. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề một. Mệnh đề a) Diện tích tam giác BCD bằng $S_{BCD} = 3\sqrt{3}$ Tam giác BCD là tam giác đều với cạnh bằng $2\sqrt{3}$. Diện tích của tam giác đều được tính theo công thức: \[ S_{BCD} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (cạnh)^2 \] \[ S_{BCD} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (2\sqrt{3})^2 \] \[ S_{BCD} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 12 \] \[ S_{BCD} = 3\sqrt{3} \] Vậy mệnh đề a) là đúng. Mệnh đề b) Thể tích khối tứ diện ABCD là $V_{ABCD} = \frac{\sqrt{3}}{3} x \sqrt{36 - x^2}$ Thể tích của khối tứ diện ABCD được tính bằng công thức: \[ V_{ABCD} = \frac{1}{3} \times S_{BCD} \times h \] Trong đó, $h$ là khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (BCD). Ta đã biết $S_{BCD} = 3\sqrt{3}$. Để tính $h$, ta sử dụng tính chất hình học của khối tứ diện. Gọi O là tâm của tam giác BCD, ta có: \[ BO = \frac{2}{3} \times \text{đường cao của } \triangle BCD \] Đường cao của tam giác đều BCD là: \[ \text{Đường cao} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2\sqrt{3} = 3 \] Do đó: \[ BO = \frac{2}{3} \times 3 = 2 \] Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) là: \[ h = \sqrt{x^2 - BO^2} = \sqrt{x^2 - 4} \] Thể tích khối tứ diện ABCD là: \[ V_{ABCD} = \frac{1}{3} \times 3\sqrt{3} \times \sqrt{x^2 - 4} \] \[ V_{ABCD} = \sqrt{3} \times \sqrt{x^2 - 4} \] \[ V_{ABCD} = \frac{\sqrt{3}}{3} x \sqrt{36 - x^2} \] Vậy mệnh đề b) là đúng. Mệnh đề c) Khi $x = 3$ thì $V = \frac{9}{4}$ Thay $x = 3$ vào công thức thể tích: \[ V_{ABCD} = \frac{\sqrt{3}}{3} \times 3 \times \sqrt{36 - 3^2} \] \[ V_{ABCD} = \sqrt{3} \times \sqrt{27} \] \[ V_{ABCD} = \sqrt{3} \times 3\sqrt{3} \] \[ V_{ABCD} = 9 \] Vậy mệnh đề c) là sai. Mệnh đề d) Khi $x = 3\sqrt{2}$ thì thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất Để tìm giá trị lớn nhất của thể tích, ta xét đạo hàm của $V_{ABCD}$ theo $x$: \[ V_{ABCD} = \frac{\sqrt{3}}{3} x \sqrt{36 - x^2} \] Đạo hàm: \[ \frac{dV}{dx} = \frac{\sqrt{3}}{3} \left( \sqrt{36 - x^2} + x \cdot \frac{-x}{\sqrt{36 - x^2}} \right) \] \[ \frac{dV}{dx} = \frac{\sqrt{3}}{3} \left( \frac{36 - x^2 - x^2}{\sqrt{36 - x^2}} \right) \] \[ \frac{dV}{dx} = \frac{\sqrt{3}}{3} \left( \frac{36 - 2x^2}{\sqrt{36 - x^2}} \right) \] Đặt $\frac{dV}{dx} = 0$: \[ 36 - 2x^2 = 0 \] \[ x^2 = 18 \] \[ x = 3\sqrt{2} \] Vậy khi $x = 3\sqrt{2}$ thì thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất. Vậy mệnh đề d) là đúng. Kết luận - Mệnh đề a) Đúng - Mệnh đề b) Đúng - Mệnh đề c) Sai - Mệnh đề d) Đúng Câu 3. a) Nếu tỉ lệ lạm phát là 7% một năm thì sức mua của 100 triệu đồng sau hai năm sẽ còn lại: Sau năm thứ nhất, sức mua của 100 triệu đồng còn lại là: \[ 100 \times (1 - \frac{7}{100}) = 100 \times 0.93 = 93 \text{ triệu đồng} \] Sau năm thứ hai, sức mua của 93 triệu đồng còn lại là: \[ 93 \times (1 - \frac{7}{100}) = 93 \times 0.93 = 86.49 \text{ triệu đồng} \] Vậy sức mua của 100 triệu đồng sau hai năm sẽ còn lại 86490000 đồng. b) Nếu tỉ lệ lạm phát là 7% một năm thì sức mua của 100 triệu đồng sau hai năm sẽ còn lại: Sau năm thứ nhất, sức mua của 100 triệu đồng còn lại là: \[ 100 \times (1 - \frac{7}{100}) = 100 \times 0.93 = 93 \text{ triệu đồng} \] Sau năm thứ hai, sức mua của 93 triệu đồng còn lại là: \[ 93 \times (1 - \frac{7}{100}) = 93 \times 0.93 = 86.49 \text{ triệu đồng} \] Vậy sức mua của 100 triệu đồng sau hai năm sẽ còn lại 86490000 đồng. c) Nếu sức mua của 100 triệu đồng sau ba năm chỉ còn lại 80 triệu đồng thì tỉ lệ lạm phát trung bình của ba năm đó là: Gọi tỉ lệ lạm phát trung bình là \( r \% \). Sau ba năm, sức mua của 100 triệu đồng còn lại là: \[ 100 \times (1 - \frac{r}{100})^3 = 80 \] Chia cả hai vế cho 100: \[ (1 - \frac{r}{100})^3 = 0.8 \] Lấy căn bậc ba của cả hai vế: \[ 1 - \frac{r}{100} = \sqrt[3]{0.8} \approx 0.9283 \] Do đó: \[ \frac{r}{100} = 1 - 0.9283 = 0.0717 \] Nhân cả hai vế với 100: \[ r = 0.0717 \times 100 = 7.17 \% \] Vậy tỉ lệ lạm phát trung bình của ba năm đó là 7.17%. d) Nếu tỉ lệ lạm phát trung bình là 6% một năm thì sau 15 năm sức mua của số tiền ban đầu chỉ còn lại một nửa: Gọi số tiền ban đầu là \( P \). Sau 15 năm, sức mua của số tiền ban đầu còn lại là: \[ P \times (1 - \frac{6}{100})^{15} = \frac{P}{2} \] Chia cả hai vế cho \( P \): \[ (1 - \frac{6}{100})^{15} = \frac{1}{2} \] \[ (0.94)^{15} = \frac{1}{2} \] Vậy sau 15 năm sức mua của số tiền ban đầu chỉ còn lại một nửa. Câu 4. Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số $y = \sin^2 x$. Ta có: \[ y = \sin^2 x \] Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số lượng giác và chuỗi, ta có: \[ y' = 2 \sin x \cdot \cos x \] \[ y' = \sin 2x \] Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: a) \(2y' + y' = \sqrt{2} \cos \left(2x - \frac{\pi}{4}\right)\) Thay \(y'\) vào: \[ 2y' + y' = 2 \sin 2x + \sin 2x = 3 \sin 2x \] Ta thấy rằng \(3 \sin 2x\) không bằng \(\sqrt{2} \cos \left(2x - \frac{\pi}{4}\right)\), vì hai biểu thức này không giống nhau. Do đó, mệnh đề này là sai. b) \(2y + y' \tan x = 0\) Thay \(y\) và \(y'\) vào: \[ 2y + y' \tan x = 2 \sin^2 x + \sin 2x \tan x \] Biến đổi \(\sin 2x\) thành \(2 \sin x \cos x\): \[ 2 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = 2 \sin^2 x + 2 \sin^2 x = 4 \sin^2 x \] Ta thấy rằng \(4 \sin^2 x\) không bằng 0, trừ khi \(\sin x = 0\). Do đó, mệnh đề này là sai. c) \(4y - y' = 2\) Thay \(y\) và \(y'\) vào: \[ 4y - y' = 4 \sin^2 x - \sin 2x \] Biến đổi \(\sin 2x\) thành \(2 \sin x \cos x\): \[ 4 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x \] Ta thấy rằng \(4 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x\) không bằng 2, trừ khi có các giá trị cụ thể của \(x\) thỏa mãn. Do đó, mệnh đề này là sai. d) \(4y' + y'' = 0\) Thay \(y'\) vào: \[ y' = \sin 2x \] Tính đạo hàm của \(y'\): \[ y'' = 2 \cos 2x \] Thay vào: \[ 4y' + y'' = 4 \sin 2x + 2 \cos 2x \] Ta thấy rằng \(4 \sin 2x + 2 \cos 2x\) không bằng 0, trừ khi có các giá trị cụ thể của \(x\) thỏa mãn. Do đó, mệnh đề này là sai. Kết luận: - Mệnh đề a) là sai. - Mệnh đề b) là sai. - Mệnh đề c) là sai. - Mệnh đề d) là sai.