Giup mik voi

Câu 3. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị của các căn thức: - Ta có $\sqrt{2-\sqrt{3}}$ và $\sqrt{2+\sqrt{3}}$. - Để đơn giản hóa, ta nhận thấy rằng: \[ (\sqrt{2-\sqrt{3}})^2 + (\sqrt{2+\sqrt{3}})^2 = 2 - \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} = 4. \] - Do đó, $\sqrt{2-\sqrt{3}}$ và $\sqrt{2+\sqrt{3}}$ là hai số dương sao cho tổng bình phương của chúng bằng 4. 2. Xác định phương trình: - Phương trình ban đầu là $(\sqrt{2-\sqrt{3}})^\prime + (\sqrt{2+\sqrt{3}})^\prime = 4$. - Ta nhận thấy rằng $(\sqrt{2-\sqrt{3}})^\prime$ và $(\sqrt{2+\sqrt{3}})^\prime$ là các số thực thỏa mãn tổng của chúng bằng 4. 3. Giải phương trình: - Gọi $a = \sqrt{2-\sqrt{3}}$ và $b = \sqrt{2+\sqrt{3}}$. Ta có $a + b = 4$. - Ta cũng biết rằng $a^2 + b^2 = 4$. - Từ đây, ta có thể suy ra rằng $a$ và $b$ là nghiệm của phương trình bậc hai: \[ t^2 - 4t + 1 = 0. \] - Giải phương trình này, ta được: \[ t = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}. \] - Vậy $a = 2 - \sqrt{3}$ và $b = 2 + \sqrt{3}$. 4. Xác định nghiệm của phương trình: - Ta có $x_1 = 2 - \sqrt{3}$ và $x_2 = 2 + \sqrt{3}$. 5. Kiểm tra các mệnh đề: - a) $x_1 + x_2 = (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 4$. Mệnh đề sai. - b) $2x_1 - x_2 = 2(2 - \sqrt{3}) - (2 + \sqrt{3}) = 4 - 2\sqrt{3} - 2 - \sqrt{3} = 2 - 3\sqrt{3}$. Mệnh đề sai. - c) $x_1 - x_2 = (2 - \sqrt{3}) - (2 + \sqrt{3}) = -2\sqrt{3}$. Mệnh đề sai. - d) $x_1 + 2x_2 = (2 - \sqrt{3}) + 2(2 + \sqrt{3}) = 2 - \sqrt{3} + 4 + 2\sqrt{3} = 6 + \sqrt{3}$. Mệnh đề sai. Vậy tất cả các mệnh đề đều sai. Câu 4. Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số \( f(x) \). \[ f(x) = \frac{x^2}{3} + \frac{x^2}{2} - 2x \] Tính đạo hàm từng hạng tử: \[ f'(x) = \left( \frac{x^2}{3} \right)' + \left( \frac{x^2}{2} \right)' - (2x)' \] Áp dụng công thức đạo hàm \( (x^n)' = nx^{n-1} \): \[ f'(x) = \frac{2x}{3} + \frac{2x}{2} - 2 \] Rút gọn biểu thức: \[ f'(x) = \frac{2x}{3} + x - 2 \] \[ f'(x) = \frac{2x}{3} + \frac{3x}{3} - 2 \] \[ f'(x) = \frac{5x}{3} - 2 \] Bây giờ, ta kiểm tra từng mệnh đề: a) \( f'(x) = x^2 + x - 2 \) Điều này sai vì ta đã tính được \( f'(x) = \frac{5x}{3} - 2 \). b) \( f'(x) = 0 \) có 1 nghiệm Ta giải phương trình: \[ \frac{5x}{3} - 2 = 0 \] \[ \frac{5x}{3} = 2 \] \[ 5x = 6 \] \[ x = \frac{6}{5} \] Phương trình có 1 nghiệm duy nhất \( x = \frac{6}{5} \). Vậy mệnh đề này đúng. c) \( f'(x) = -2 \) có 2 nghiệm Ta giải phương trình: \[ \frac{5x}{3} - 2 = -2 \] \[ \frac{5x}{3} = 0 \] \[ 5x = 0 \] \[ x = 0 \] Phương trình có 1 nghiệm duy nhất \( x = 0 \). Vậy mệnh đề này sai. d) \( f'(x) = 10 \) có 1 nghiệm Ta giải phương trình: \[ \frac{5x}{3} - 2 = 10 \] \[ \frac{5x}{3} = 12 \] \[ 5x = 36 \] \[ x = \frac{36}{5} \] Phương trình có 1 nghiệm duy nhất \( x = \frac{36}{5} \). Vậy mệnh đề này đúng. Kết luận: - Mệnh đề a) sai. - Mệnh đề b) đúng. - Mệnh đề c) sai. - Mệnh đề d) đúng. Câu 1. Xác suất để đồng xu xuất hiện mặt sấp là $\frac{2}{3}$, do đó xác suất để đồng xu xuất hiện mặt ngửa là $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$. Khi tung đồng xu ba lần liên tiếp, xác suất để chỉ xuất hiện mặt sấp ở cả ba lần tung là: \[ P(\text{Sấp, Sấp, Sấp}) = \left( \frac{2}{3} \right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27} \] Vậy xác suất để chỉ xuất hiện mặt sấp khi tung đồng xu ba lần liên tiếp là $\frac{8}{27}$. Câu 2. Trước tiên, ta xác định góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng (SAC). Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AC. Ta sẽ chứng minh rằng góc MSB chính là góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng (SAC). 1. Xác định các điểm và đường thẳng: - Tam giác ABC đều cạnh \(a\), do đó \(AB = BC = CA = a\). - \(SA \perp (ABC)\), tức là SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). - \(M\) là trung điểm của \(BC\), do đó \(BM = MC = \frac{a}{2}\). - \(H\) là chân đường vuông góc hạ từ \(M\) xuống \(AC\). 2. Tính khoảng cách từ M đến AC: - Vì \(ABC\) là tam giác đều, \(M\) là trung điểm của \(BC\), nên \(MH\) là đường cao của tam giác đều \(AMC\). - Độ dài \(MH\) trong tam giác đều cạnh \(a\) là: \[ MH = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{4} \] 3. Tính khoảng cách từ S đến AC: - \(SA \perp (ABC)\), do đó \(SA\) vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABC), bao gồm cả \(AC\). - \(SA\) là khoảng cách từ \(S\) đến \(AC\). 4. Tính khoảng cách từ M đến SA: - Vì \(SA \perp (ABC)\), \(SA\) vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABC), bao gồm cả \(AM\). - Do đó, \(SA\) vuông góc với \(AM\), và \(SA\) cũng vuông góc với \(SM\). 5. Tính khoảng cách từ M đến SC: - \(SC\) là đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SAC), do đó khoảng cách từ \(M\) đến \(SC\) chính là khoảng cách từ \(M\) đến \(AC\), tức là \(MH\). 6. Tính khoảng cách từ S đến M: - \(SM\) là khoảng cách từ \(S\) đến \(M\), do đó: \[ SM = \sqrt{SA^2 + AM^2} \] - \(AM\) là khoảng cách từ \(A\) đến \(M\), do đó: \[ AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \] - \(SA\) là khoảng cách từ \(S\) đến \(A\), do đó: \[ SA = \sqrt{SB^2 - AB^2} = \sqrt{(a\sqrt{5})^2 - a^2} = \sqrt{5a^2 - a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a \] - Do đó: \[ SM = \sqrt{(2a)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{4a^2 + \frac{3a^2}{4}} = \sqrt{\frac{16a^2 + 3a^2}{4}} = \sqrt{\frac{19a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{19}}{2} \] 7. Tính góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng (SAC): - Góc giữa đường thẳng \(SM\) và mặt phẳng (SAC) chính là góc giữa \(SM\) và \(MH\), tức là góc \(MSB\). - Ta có: \[ \sin(\angle MSB) = \frac{MH}{SM} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{4}}{\frac{a\sqrt{19}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{19}} = \frac{\sqrt{57}}{38} \] - Do đó: \[ \angle MSB = \arcsin\left(\frac{\sqrt{57}}{38}\right) \] Vậy góc giữa đường thẳng \(SM\) và mặt phẳng (SAC) là \(\arcsin\left(\frac{\sqrt{57}}{38}\right)\). Câu 3. Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB trong hình chóp S.ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định hình chiếu của điểm B lên mặt phẳng (SAC): - Vì SA ⊥ (ABCD), nên SA ⊥ AC. - Mặt khác, vì ABCD là hình vuông, nên AC ⊥ BD. - Do đó, AC ⊥ (SBD) (vì AC ⊥ SA và AC ⊥ BD). 2. Tìm giao điểm của đường thẳng SB với mặt phẳng (SAC): - Gọi H là giao điểm của SB với mặt phẳng (SAC). Ta có AC ⊥ SH (vì AC ⊥ (SBD)). 3. Tính khoảng cách từ B đến đường thẳng AC: - Xét tam giác SBD, ta có: \[ SD = \sqrt{SA^2 + AD^2} = \sqrt{(3a)^2 + a^2} = \sqrt{9a^2 + a^2} = \sqrt{10a^2} = a\sqrt{10} \] - Diện tích tam giác SBD: \[ [SBD] = \frac{1}{2} \times BD \times SA = \frac{1}{2} \times a\sqrt{2} \times 3a = \frac{3a^2\sqrt{2}}{2} \] - Diện tích tam giác SBD cũng có thể tính qua SH và BD: \[ [SBD] = \frac{1}{2} \times BD \times SH = \frac{1}{2} \times a\sqrt{2} \times SH \] - Bằng nhau hai diện tích trên: \[ \frac{1}{2} \times a\sqrt{2} \times SH = \frac{3a^2\sqrt{2}}{2} \] \[ SH = \frac{3a^2\sqrt{2}}{a\sqrt{2}} = 3a \] 4. Tính khoảng cách từ B đến đường thẳng AC: - Khoảng cách từ B đến đường thẳng AC là khoảng cách từ B đến đường thẳng SH (vì AC ⊥ SH): \[ d(B, AC) = \frac{[SBD]}{SH} = \frac{\frac{3a^2\sqrt{2}}{2}}{3a} = \frac{3a^2\sqrt{2}}{6a} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \] 5. Kết luận: - Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB là $\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Đáp số: $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ Câu 4. Đầu tiên, ta xác định số lượng tế bào ban đầu là 5.000.000 tế bào. Mỗi phút, 45% số tế bào chết, do đó 55% số tế bào còn sống. Ta có thể viết lại hàm số lượng tế bào còn sống sau t phút là: \[ f(t) = 5.000.000 \times (0.55)^t \] Ta cần tìm giá trị của t sao cho số tế bào còn sống ít hơn 1.000 tế bào: \[ 5.000.000 \times (0.55)^t < 1.000 \] Chia cả hai vế cho 5.000.000: \[ (0.55)^t < \frac{1.000}{5.000.000} \] \[ (0.55)^t < 0.0002 \] Áp dụng logarit để giải phương trình mũ: \[ \log((0.55)^t) < \log(0.0002) \] \[ t \cdot \log(0.55) < \log(0.0002) \] Vì \(\log(0.55)\) là số âm, ta chia cả hai vế cho \(\log(0.55)\) và đổi dấu bất đẳng thức: \[ t > \frac{\log(0.0002)}{\log(0.55)} \] Tính giá trị của biểu thức: \[ \log(0.0002) \approx -3.6990 \] \[ \log(0.55) \approx -0.2595 \] Do đó: \[ t > \frac{-3.6990}{-0.2595} \] \[ t > 14.25 \] Vậy sau ít nhất 15 phút, số tế bào còn sống sẽ ít hơn 1.000 tế bào. Đáp số: 15 phút. Câu 5. Để tìm vận tốc tức thời của vật tại thời điểm \( t = 4 \) giây, ta cần tính đạo hàm của hàm số quãng đường \( S(t) \) theo thời gian \( t \). Bước 1: Xác định hàm số quãng đường \( S(t) \): \[ S(t) = \frac{1}{2} g t^2 \] Trong đó, \( g = 9,8 \, m/s^2 \). Bước 2: Tính đạo hàm của \( S(t) \) để tìm vận tốc tức thời \( v(t) \): \[ v(t) = \frac{dS(t)}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} g t^2 \right) \] Áp dụng công thức đạo hàm của hàm bậc hai: \[ \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} g t^2 \right) = \frac{1}{2} g \cdot 2t = g t \] Bước 3: Thay \( t = 4 \) vào biểu thức vận tốc tức thời: \[ v(4) = g \cdot 4 = 9,8 \cdot 4 = 39,2 \, m/s \] Vậy vận tốc tức thời của vật tại thời điểm \( t = 4 \) giây là: \[ \boxed{39,2 \, m/s} \] Câu 6. Để tìm tất cả các giá trị thực của tham số \( m \) sao cho \( f'(x) > 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{D} \), chúng ta sẽ làm theo các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( f(x) \). \[ f(x) = x^3 + (m-1)x^2 + 3x + 2 \] Tính đạo hàm: \[ f'(x) = 3x^2 + 2(m-1)x + 3 \] Bước 2: Xét điều kiện để \( f'(x) > 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{D} \). Để \( f'(x) > 0 \) với mọi \( x \), hàm số \( f'(x) \) phải là một parabol mở lên và không cắt trục hoành. Điều này có nghĩa là: 1. Hệ số của \( x^2 \) phải dương: \( 3 > 0 \) (điều này luôn đúng). 2. Phương trình \( 3x^2 + 2(m-1)x + 3 = 0 \) phải vô nghiệm hoặc có nghiệm kép (đồng nghĩa với \( \Delta < 0 \)). Bước 3: Tính delta (\( \Delta \)) của phương trình bậc hai \( 3x^2 + 2(m-1)x + 3 = 0 \). \[ \Delta = b^2 - 4ac \] \[ \Delta = [2(m-1)]^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 \] \[ \Delta = 4(m-1)^2 - 36 \] \[ \Delta = 4(m^2 - 2m + 1) - 36 \] \[ \Delta = 4m^2 - 8m + 4 - 36 \] \[ \Delta = 4m^2 - 8m - 32 \] Bước 4: Yêu cầu \( \Delta < 0 \): \[ 4m^2 - 8m - 32 < 0 \] \[ m^2 - 2m - 8 < 0 \] Bước 5: Giải bất phương trình \( m^2 - 2m - 8 < 0 \). Phương trình \( m^2 - 2m - 8 = 0 \) có các nghiệm: \[ m = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} \] \[ m = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} \] \[ m = \frac{2 \pm 6}{2} \] \[ m = 4 \text{ hoặc } m = -2 \] Do đó, \( m^2 - 2m - 8 < 0 \) khi: \[ -2 < m < 4 \] Kết luận: Các giá trị thực của tham số \( m \) để \( f'(x) > 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{D} \) là: \[ -2 < m < 4 \]