Gải nhanh lên

Câu 1. Gọi thời gian để tổ I hoàn thành công việc là x giờ. Thời gian để tổ II hoàn thành công việc là y giờ. Trong 1 giờ tổ I làm được $\frac{1}{x}$ công việc. Trong 1 giờ tổ II làm được $\frac{1}{y}$ công việc. Trong 2 giờ làm chung, tổ I và tổ II làm được $\frac{2}{x} + \frac{2}{y}$ công việc. Công việc còn lại là $1 - (\frac{2}{x} + \frac{2}{y})$. Tổ I hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ, tức là trong 1 giờ tổ I làm được $\frac{1}{10}$ công việc còn lại. Ta có phương trình: $\frac{1}{x} = \frac{1}{10} \times (1 - (\frac{2}{x} + \frac{2}{y}))$ Vì hai tổ làm chung trong 6 giờ nên ta có phương trình: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$ Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{x} = \frac{1}{10} \times (1 - (\frac{2}{x} + \frac{2}{y})) \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \end{array} \right.$ Nhân cả hai vế của phương trình đầu tiên với 10x: $1 = x - 2 - 2 \times \frac{x}{y}$ $x - 2 \times \frac{x}{y} = 3$ Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với xy: $y + x = \frac{xy}{6}$ $xy = 6(x + y)$ Thay $y = \frac{6x}{x-6}$ vào phương trình $x - 2 \times \frac{x}{y} = 3$: $x - 2 \times \frac{x(x-6)}{6x} = 3$ $x - \frac{x-6}{3} = 3$ $\frac{3x - x + 6}{3} = 3$ $2x + 6 = 9$ $2x = 3$ $x = \frac{3}{2}$ Thay $x = \frac{3}{2}$ vào phương trình $y = \frac{6x}{x-6}$: $y = \frac{6 \times \frac{3}{2}}{\frac{3}{2} - 6}$ $y = \frac{9}{-\frac{9}{2}}$ $y = -2$ Vậy tổ I hoàn thành công việc trong $\frac{3}{2}$ giờ và tổ II hoàn thành công việc trong -2 giờ. Câu 2. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lập phương trình dựa trên thông tin đã cho. Bước 1: Xác định thời gian hoàn thành công việc của mỗi công nhân. - Hai công nhân cùng làm trong 4 ngày thì xong công việc. Do đó, mỗi ngày hai công nhân làm được $\frac{1}{4}$ công việc. - Người thứ nhất làm một mình trong 9 ngày rồi người thứ hai đến cùng làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong công việc. Bước 2: Xác định phần công việc mà mỗi công nhân làm trong một ngày. - Người thứ nhất làm xong công việc trong x ngày, nên mỗi ngày người thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ công việc. - Người thứ hai làm xong công việc trong y ngày, nên mỗi ngày người thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ công việc. Bước 3: Biểu diễn phần công việc mà người thứ nhất làm trong 9 ngày và người thứ hai làm trong 1 ngày. - Người thứ nhất làm trong 9 ngày thì làm được $9 \times \frac{1}{x} = \frac{9}{x}$ công việc. - Người thứ hai làm trong 1 ngày thì làm được $1 \times \frac{1}{y} = \frac{1}{y}$ công việc. Bước 4: Tổng phần công việc mà hai người làm trong 9 ngày và 1 ngày nữa phải bằng 1 (tức là hoàn thành công việc). - Phương trình biểu thị phần công việc mà người thứ nhất làm trong 9 ngày, rồi người thứ hai đến cùng làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong công việc là: \[ \frac{9}{x} + \frac{1}{y} = 1 \] Vậy phương trình biểu thị phần công việc mà người thứ nhất làm trong 9 giờ, rồi người thứ hai đến cùng làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong công việc là: \[ \frac{9}{x} + \frac{1}{y} = 1 \] Câu 3. Gọi thời gian để đội 1 hoàn thành công việc là x (ngày), đội 2 là y (ngày). Trong 1 ngày, đội 1 làm được $\frac{1}{x}$ công việc, đội 2 làm được $\frac{1}{y}$ công việc. Khi làm chung, trong 1 ngày hai đội làm được $\frac{1}{12}$ công việc. Do đó ta có phương trình: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \] Trong 8 ngày đầu tiên, hai đội làm được: \[ 8 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = 8 \cdot \frac{1}{12} = \frac{2}{3} \text{ công việc} \] Phần công việc còn lại là: \[ 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \text{ công việc} \] Sau khi đội 1 bị điều đi, đội 2 tiếp tục làm với năng suất gấp đôi. Vậy trong 1 ngày, đội 2 làm được: \[ 2 \cdot \frac{1}{y} \text{ công việc} \] Đội 2 hoàn thành phần công việc còn lại trong 3,5 ngày, tức là: \[ 3,5 \cdot 2 \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{3} \] \[ 7 \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{3} \] \[ \frac{1}{y} = \frac{1}{21} \] \[ y = 21 \] Thay y = 21 vào phương trình ban đầu: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{21} = \frac{1}{12} \] \[ \frac{1}{x} = \frac{1}{12} - \frac{1}{21} \] \[ \frac{1}{x} = \frac{21 - 12}{252} \] \[ \frac{1}{x} = \frac{9}{252} \] \[ \frac{1}{x} = \frac{1}{28} \] \[ x = 28 \] Vậy đội 1 hoàn thành công việc trong 28 ngày, đội 2 hoàn thành công việc trong 21 ngày. Câu 4. Gọi thời gian để tổ 1 hoàn thành công việc là x (giờ), thời gian để tổ 2 hoàn thành công việc là y (giờ). Trong 1 giờ, tổ 1 làm được $\frac{1}{x}$ công việc, tổ 2 làm được $\frac{1}{y}$ công việc. Theo đề bài, sau 2 giờ làm chung, cả hai tổ đã hoàn thành: \[ 2 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) \] Công việc còn lại là: \[ 1 - 2 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) \] Tổ 1 tiếp tục làm trong 10 giờ để hoàn thành phần công việc còn lại: \[ 10 \cdot \frac{1}{x} = 1 - 2 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) \] Biến đổi phương trình trên: \[ 10 \cdot \frac{1}{x} = 1 - 2 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) \] \[ 10 \cdot \frac{1}{x} = 1 - 2 \cdot \frac{1}{x} - 2 \cdot \frac{1}{y} \] \[ 10 \cdot \frac{1}{x} + 2 \cdot \frac{1}{x} = 1 - 2 \cdot \frac{1}{y} \] \[ 12 \cdot \frac{1}{x} = 1 - 2 \cdot \frac{1}{y} \] Biết rằng nếu hai tổ cùng làm chung thì hết 6 giờ, tức là: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \] Thay vào phương trình trên: \[ 12 \cdot \frac{1}{x} = 1 - 2 \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{x} \right) \] \[ 12 \cdot \frac{1}{x} = 1 - \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{1}{x} \] \[ 12 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{1}{x} \] \[ 10 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{3} \] \[ \frac{1}{x} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} \] \[ x = 15 \] Thay x = 15 vào phương trình: \[ \frac{1}{15} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \] \[ \frac{1}{y} = \frac{1}{6} - \frac{1}{15} \] \[ \frac{1}{y} = \frac{5}{30} - \frac{2}{30} \] \[ \frac{1}{y} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10} \] \[ y = 10 \] Vậy tổ 1 hoàn thành công việc trong 15 giờ và tổ 2 hoàn thành công việc trong 10 giờ. Câu 5. Gọi số ngày để người thứ nhất hoàn thành công việc là x (ngày, điều kiện: x > 0). Số ngày để người thứ hai hoàn thành công việc là y (ngày, điều kiện: y > 0). Trong 1 ngày, người thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ công việc. Trong 1 ngày, người thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ công việc. Theo đề bài, năng suất trong 1 ngày của người thứ hai bằng $\frac{2}{3}$ năng suất của người thứ nhất, ta có: $\frac{1}{y} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x}$ $\frac{1}{y} = \frac{2}{3x}$ Do đó, y = $\frac{3x}{2}$. Hai người cùng làm chung một công việc hết 15 ngày, tức là trong 1 ngày, tổng năng suất của cả hai người là $\frac{1}{15}$ công việc. Ta có phương trình: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{15}$ Thay y = $\frac{3x}{2}$ vào phương trình trên: $\frac{1}{x} + \frac{1}{\frac{3x}{2}} = \frac{1}{15}$ $\frac{1}{x} + \frac{2}{3x} = \frac{1}{15}$ Quy đồng mẫu số: $\frac{3}{3x} + \frac{2}{3x} = \frac{1}{15}$ $\frac{5}{3x} = \frac{1}{15}$ Tìm x: 5 × 15 = 3x 75 = 3x x = 25 Vậy người thứ nhất hoàn thành công việc trong 25 ngày. Người thứ hai hoàn thành công việc trong: y = $\frac{3x}{2}$ = $\frac{3 \times 25}{2}$ = 37,5 (ngày) Đáp số: Người thứ nhất: 25 ngày; Người thứ hai: 37,5 ngày. Câu 6. Gọi vận tốc của ô tô tải là \( v_{\text{tải}} \) và thời gian đi từ A đến B là \( t_{\text{tải}} \). Gọi vận tốc của xe con là \( v_{\text{con}} \) và thời gian đi từ A đến B là \( t_{\text{con}} \). Biết rằng: - \( v_{\text{tải}} = 45 \) km/h - \( v_{\text{con}} = 60 \) km/h - Thời gian xe con xuất phát sau xe tải là 1 giờ 30 phút, tức là 1,5 giờ. Xe con đến B cùng lúc với xe tải, nên ta có: \[ t_{\text{tải}} = t_{\text{con}} + 1,5 \] Quãng đường từ A đến B là \( d \). Ta có công thức: \[ d = v_{\text{tải}} \times t_{\text{tải}} \] \[ d = v_{\text{con}} \times t_{\text{con}} \] Thay vào: \[ 45 \times t_{\text{tải}} = 60 \times t_{\text{con}} \] Vì \( t_{\text{tải}} = t_{\text{con}} + 1,5 \), thay vào: \[ 45 \times (t_{\text{con}} + 1,5) = 60 \times t_{\text{con}} \] Phân phối: \[ 45t_{\text{con}} + 67,5 = 60t_{\text{con}} \] Di chuyển \( 45t_{\text{con}} \) sang phía bên phải: \[ 67,5 = 60t_{\text{con}} - 45t_{\text{con}} \] \[ 67,5 = 15t_{\text{con}} \] Giải \( t_{\text{con}} \): \[ t_{\text{con}} = \frac{67,5}{15} \] \[ t_{\text{con}} = 4,5 \text{ giờ} \] Thời gian xe tải đi: \[ t_{\text{tải}} = t_{\text{con}} + 1,5 \] \[ t_{\text{tải}} = 4,5 + 1,5 \] \[ t_{\text{tải}} = 6 \text{ giờ} \] Quãng đường AB: \[ d = v_{\text{tải}} \times t_{\text{tải}} \] \[ d = 45 \times 6 \] \[ d = 270 \text{ km} \] Đáp số: Quãng đường AB là 270 km. Câu 7 Để giải bài toán này, chúng ta cần biết thêm thông tin về khoảng cách giữa A và B, cũng như vận tốc của mỗi người. Dưới đây là cách tiếp cận chung để giải bài toán này: 1. Gọi ẩn số: - Gọi vận tốc của người thứ nhất là \( v_1 \) (km/h). - Gọi vận tốc của người thứ hai là \( v_2 \) (km/h), với điều kiện \( v_1 > v_2 \). 2. Xác định khoảng cách: - Khoảng cách giữa A và B là \( d \) (km). 3. Thời gian đi từ A đến B: - Thời gian người thứ nhất đi từ A đến B là \( t_1 = \frac{d}{v_1} \) (giờ). - Thời gian người thứ hai đi từ A đến B là \( t_2 = \frac{d}{v_2} \) (giờ). 4. Hiệu thời gian: - Hiệu thời gian giữa hai người là \( t_2 - t_1 \). 5. Lập phương trình: - Ta có phương trình \( t_2 - t_1 = \frac{d}{v_2} - \frac{d}{v_1} \). 6. Giải phương trình: - Thay các giá trị đã biết vào phương trình và giải phương trình để tìm \( v_1 \) và \( v_2 \). Ví dụ cụ thể: - Giả sử khoảng cách giữa A và B là 30 km. - Người thứ nhất đi với vận tốc \( v_1 \) km/h. - Người thứ hai đi với vận tốc \( v_2 \) km/h, với \( v_1 > v_2 \). Phương trình sẽ là: \[ \frac{30}{v_2} - \frac{30}{v_1} = \text{thời gian hiệu} \] Giải phương trình này để tìm \( v_1 \) và \( v_2 \). Lưu ý: Để giải quyết bài toán cụ thể, cần biết thêm thông tin về thời gian hiệu hoặc khoảng cách giữa A và B.