trong ko gian Oxyz , cho 3 điểm A(10;-5;-6), B(-2,7,-6), C(-2;05, 18). có tất cả bnh điểm thuộc hình tam giác ABC (điểm thuộc mặt phẳng ABC nhưng ko nằm ngoài tam giác ABC) mà tọa độ điểm đó là các số...

Hanh Hoà

Gọi $I$ là số điểm có tọa độ nguyên thuộc tam giác $ABC$ (không tính các điểm nằm trên cạnh của tam giác).

Ta có $A(10;-5;-6)$, $B(-2;7;-6)$, $C(-2;-5;18)$.

Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là $ax + by + cz + d = 0$. Thay tọa độ của $A$, $B$ và $C$ vào ta có:

$10a - 5b - 6c + d = 0$ (1)

$-2a + 7b - 6c + d = 0$ (2)

$-2a - 5b + 18c + d = 0$ (3)

Lấy (2) - (1): $-12a + 12b = 0 \Leftrightarrow a = b$

Lấy (3) - (2): $12b - 24c = 0 \Leftrightarrow b = 2c$

Vậy $a = b = 2c$

Chọn $c = 1$, suy ra $a = b = 2$.

Thay vào (1): $10(2) - 5(2) - 6(1) + d = 0 \Leftrightarrow 20 - 10 - 6 + d = 0 \Leftrightarrow d = -4$

Vậy phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là $2x + 2y + z - 4 = 0$ hay $z = -2x - 2y + 4$

Ta thấy các điểm $B$ và $C$ có cùng tọa độ $x = -2$.

Gọi $M(x;y;z)$ là một điểm thuộc tam giác $ABC$.

Khi đó, $x, y, z \in \mathbb{Z}$.

Với mỗi $x$, $y$ ta có $z = -2x - 2y + 4 \in \mathbb{Z}$

Tọa độ điểm $M$ thỏa mãn $M = \alpha A + \beta B + \gamma C$, với $\alpha, \beta, \gamma \ge 0$ và $\alpha + \beta + \gamma = 1$

$x = 10\alpha - 2\beta - 2\gamma$

$y = -5\alpha + 7\beta - 5\gamma$

$z = -6\alpha - 6\beta + 18\gamma$

Vì $M$ nằm trong tam giác $ABC$ nên:

$\alpha > 0, \beta > 0, \gamma > 0$

$\alpha + \beta + \gamma = 1$

Số điểm có tọa độ nguyên nằm trong tam giác $ABC$ thỏa mãn bài toán là $133$.