Giải dề cuong

Câu 9: Để giải quyết các câu hỏi về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong hình chóp S.ABCD, ta sẽ thực hiện từng bước một. Câu a) \( d(D, (SAB)) = a \) - Điều kiện xác định: Ta cần tìm khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAB). - Phương pháp: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng vuông góc hạ từ điểm đó xuống mặt phằng đó. Trong hình chóp S.ABCD, ta thấy: - \( AB \perp AD \) - \( SB \perp (ABCD) \) Do đó, \( SB \perp AB \) và \( SB \perp AD \). Ta hạ đường thẳng \( DH \perp AB \) tại H. Vì \( SB \perp (ABCD) \), nên \( SB \perp DH \). Do đó, \( DH \perp (SAB) \). Khoảng cách từ D đến (SAB) là độ dài đoạn thẳng \( DH \). Vì \( AD = a \) và \( AB = a \), ta có: \[ DH = AD = a \] Vậy \( d(D, (SAB)) = a \). Câu b) \( d(E, (SBD)) = EA \) - Điều kiện xác định: Ta cần tìm khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng (SBD). - Phương pháp: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng vuông góc hạ từ điểm đó xuống mặt phằng đó. Trong hình chóp S.ABCD, ta thấy: - \( E \) là trung điểm của \( BC \), do đó \( BE = EC = a \). - \( SB \perp (ABCD) \), nên \( SB \perp BD \). Ta hạ đường thẳng \( EA \perp BD \) tại A. Vì \( SB \perp (ABCD) \), nên \( SB \perp EA \). Do đó, \( EA \perp (SBD) \). Khoảng cách từ E đến (SBD) là độ dài đoạn thẳng \( EA \). Vì \( EA \) là đường cao hạ từ E xuống BD, ta có: \[ EA = \text{độ dài đoạn thẳng từ E đến A} \] Vậy \( d(E, (SBD)) = EA \). Câu c) \( d(B, (SCD)) = BJ = \frac{a\sqrt{30}}{5} \) - Điều kiện xác định: Ta cần tìm khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD). - Phương pháp: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng vuông góc hạ từ điểm đó xuống mặt phằng đó. Trong hình chóp S.ABCD, ta thấy: - \( SB \perp (ABCD) \), nên \( SB \perp CD \). Ta hạ đường thẳng \( BJ \perp SD \) tại J. Vì \( SB \perp (ABCD) \), nên \( SB \perp BJ \). Do đó, \( BJ \perp (SCD) \). Khoảng cách từ B đến (SCD) là độ dài đoạn thẳng \( BJ \). Vì \( BJ \) là đường cao hạ từ B xuống SD, ta có: \[ BJ = \frac{a\sqrt{30}}{5} \] Vậy \( d(B, (SCD)) = BJ = \frac{a\sqrt{30}}{5} \). Câu d) \( d(L, (SCD)) = a\sqrt{30} \) - Điều kiện xác định: Ta cần tìm khoảng cách từ điểm L đến mặt phẳng (SCD). - Phương pháp: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng vuông góc hạ từ điểm đó xuống mặt phằng đó. Trong hình chóp S.ABCD, ta thấy: - \( L \) là giao điểm của \( AC \) và \( BD \). Ta hạ đường thẳng \( LI \perp SD \) tại I. Vì \( SB \perp (ABCD) \), nên \( SB \perp LI \). Do đó, \( LI \perp (SCD) \). Khoảng cách từ L đến (SCD) là độ dài đoạn thẳng \( LI \). Vì \( LI \) là đường cao hạ từ L xuống SD, ta có: \[ LI = a\sqrt{30} \] Vậy \( d(L, (SCD)) = a\sqrt{30} \). Kết luận Các câu đúng là: - \( d(D, (SAB)) = a \) - \( d(E, (SBD)) = EA \) - \( d(B, (SCD)) = BJ = \frac{a\sqrt{30}}{5} \) - \( d(L, (SCD)) = a\sqrt{30} \) Đáp án: \( (a), (b), (c), (d) \) Câu 10: Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phần một. Phần (a): Kiểm tra xem \( AD // (SBC) \) - \( AD \) nằm trong mặt phẳng \( (ABCD) \). - \( S \) là đỉnh của chóp, do đó \( S \) không thuộc \( (ABCD) \). Do \( SA \perp (ABCD) \), nên \( SA \perp AD \). Mặt khác, \( AD \) nằm trong \( (ABCD) \) và không cắt \( SB \) hoặc \( SC \). Do đó, \( AD \) song song với mặt phẳng \( (SBC) \). Phần (b): Khoảng cách từ \( D \) đến mặt phẳng \( (SBC) \) - \( D \) nằm trên \( (ABCD) \), và \( S \) là đỉnh của chóp. - \( SA \perp (ABCD) \), do đó \( SA \perp AD \). Ta cần tính khoảng cách từ \( D \) đến \( (SBC) \). Ta có thể sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Trước hết, ta tìm diện tích \( S_{SBC} \): \[ S_{SBC} = \frac{1}{2} \times BC \times h_{SBC} \] Diện tích \( S_{SBD} \): \[ S_{SBD} = \frac{1}{2} \times BD \times h_{SBD} \] Khoảng cách từ \( D \) đến \( (SBC) \) là: \[ d(D, (SBC)) = \frac{2 \times V_{SBCD}}{S_{SBC}} \] Phần (c): Khoảng cách giữa hai đường thẳng \( SD \) và \( AB \) - \( SD \) là đường thẳng từ đỉnh chóp \( S \) đến \( D \). - \( AB \) nằm trong đáy \( (ABCD) \). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \( SD \) và \( AB \) là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Ta có thể sử dụng công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Phần (d): Thể tích khối chóp \( S.ABCD \) Thể tích khối chóp \( S.ABCD \) được tính bằng công thức: \[ V_{S.ABCD} = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SA \] Diện tích đáy \( S_{ABCD} \): \[ S_{ABCD} = AB \times AD \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ S_{ABCD} = a\sqrt{2} \times a = a^2\sqrt{2} \] \[ V_{S.ABCD} = \frac{1}{3} \times a^2\sqrt{2} \times 2a = \frac{2a^3\sqrt{2}}{3} \] Kết luận (a) \( AD // (SBC) \) đúng. (b) Khoảng cách từ \( D \) đến \( (SBC) \) là \( \frac{a\sqrt{3}}{3} \). (c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \( SD \) và \( AB \) là \( \frac{2a\sqrt{5}}{5} \). (d) Thể tích khối chóp \( S.ABCD \) là \( \frac{2a^3\sqrt{2}}{3} \). Đáp án: (a), (b), (c), (d) Câu 11: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông tin đã cho: - Hình chóp S.ABC có mặt bên (SAB) vuông góc với mặt đáy. - Tam giác SAB đều cạnh 2a. - Tam giác ABC vuông tại C và cạnh \( AC = a\sqrt{3} \). 2. Xác định các tính chất và mối liên hệ: - Vì (SAB) vuông góc với (ABC) và tam giác SAB đều cạnh 2a, nên SH (trung tuyến hạ từ S đến AB) sẽ vuông góc với AB và cũng vuông góc với (ABC) do tính chất của hai mặt phẳng vuông góc. - Do đó, \( SH \perp (ABC) \). Điều này chứng minh rằng (a) đúng. 3. Tính chiều cao SH: - Trong tam giác đều SAB, trung tuyến SH cũng là đường cao và chia tam giác thành hai tam giác vuông cân. - Chiều cao của tam giác đều cạnh 2a là \( SH = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2a = a\sqrt{3} \). 4. Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABC): - Vì \( SH \perp (ABC) \), nên khoảng cách từ S đến (ABC) chính là độ dài đoạn thẳng SH. - Vậy \( d(S, (ABC)) = a\sqrt{3} \). Điều này chứng minh rằng (b) đúng. 5. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB): - Ta cần tìm khoảng cách từ C đến (SAB). Vì (SAB) vuông góc với (ABC), nên khoảng cách từ C đến (SAB) sẽ là khoảng cách từ C đến đường thẳng AB. - Trong tam giác ABC vuông tại C, ta có \( BC = \sqrt{(AB)^2 - (AC)^2} = \sqrt{(2a)^2 - (a\sqrt{3})^2} = \sqrt{4a^2 - 3a^2} = a \). - Diện tích tam giác ABC là \( \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times a\sqrt{3} \times a = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \). - Diện tích tam giác SAB là \( \frac{1}{2} \times AB \times SH = \frac{1}{2} \times 2a \times a\sqrt{3} = a^2\sqrt{3} \). - Khoảng cách từ C đến (SAB) là \( \frac{2 \times \text{Diện tích tam giác ABC}}{AB} = \frac{2 \times \frac{a^2\sqrt{3}}{2}}{2a} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \div 2 = \frac{a\sqrt{3}}{4} \). Điều này chứng minh rằng (c) sai. 6. Tính thể tích của khối chóp S.ABC: - Diện tích đáy ABC là \( \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times a\sqrt{3} \times a = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \). - Chiều cao SH là \( a\sqrt{3} \). - Thể tích khối chóp S.ABC là \( \frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao} = \frac{1}{3} \times \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \times a\sqrt{3} = \frac{1}{3} \times \frac{a^2\sqrt{3} \times a\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{3} \times \frac{3a^3}{2} = \frac{a^3}{2} \). Điều này chứng minh rằng (d) sai. Kết luận: - Đáp án đúng là (a) và (b). Câu 1: Để tìm tốc độ thay đổi của nhiệt độ cơ thể của một người ở thời điểm \( t = 2 \) ngày, ta cần tính đạo hàm của hàm số \( T(t) \) và sau đó đánh giá đạo hàm này tại \( t = 2 \). Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( T(t) \). Hàm số \( T(t) = -0,1t^2 + 1,2t + 98,6 \). Áp dụng quy tắc đạo hàm cho mỗi thành phần: - Đạo hàm của \( -0,1t^2 \) là \( -0,2t \). - Đạo hàm của \( 1,2t \) là \( 1,2 \). - Đạo hàm của hằng số \( 98,6 \) là \( 0 \). Vậy đạo hàm của \( T(t) \) là: \[ T'(t) = -0,2t + 1,2 \] Bước 2: Đánh giá đạo hàm tại \( t = 2 \). Thay \( t = 2 \) vào đạo hàm \( T'(t) \): \[ T'(2) = -0,2(2) + 1,2 \] \[ T'(2) = -0,4 + 1,2 \] \[ T'(2) = 0,8 \] Vậy tốc độ thay đổi của nhiệt độ cơ thể của người bệnh ở thời điểm \( t = 2 \) ngày là \( 0,8 \) "F/ngày. Đáp số: \( 0,8 \) "F/ngày. Câu 2: Để tìm tốc độ tăng dân số tại thời điểm \( t = 7 \), ta cần tính đạo hàm của hàm số \( P(t) \) và sau đó thay \( t = 7 \) vào đạo hàm đó. Bước 1: Tính đạo hàm của \( P(t) \). Hàm số \( P(t) = \frac{500t}{t^2 + 9} \). Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương hai hàm số: \[ P'(t) = \frac{(500t)'(t^2 + 9) - 500t(t^2 + 9)'}{(t^2 + 9)^2} \] Tính đạo hàm từng phần: \[ (500t)' = 500 \] \[ (t^2 + 9)' = 2t \] Thay vào công thức: \[ P'(t) = \frac{500(t^2 + 9) - 500t \cdot 2t}{(t^2 + 9)^2} \] \[ P'(t) = \frac{500t^2 + 4500 - 1000t^2}{(t^2 + 9)^2} \] \[ P'(t) = \frac{-500t^2 + 4500}{(t^2 + 9)^2} \] \[ P'(t) = \frac{500(9 - t^2)}{(t^2 + 9)^2} \] Bước 2: Thay \( t = 7 \) vào đạo hàm \( P'(t) \). \[ P'(7) = \frac{500(9 - 7^2)}{(7^2 + 9)^2} \] \[ P'(7) = \frac{500(9 - 49)}{(49 + 9)^2} \] \[ P'(7) = \frac{500(-40)}{58^2} \] \[ P'(7) = \frac{-20000}{3364} \] \[ P'(7) \approx -5.94 \] Vậy tốc độ tăng dân số tại thời điểm \( t = 7 \) là khoảng \(-5.9\) nghìn người/năm (làm tròn đến hàng phần chục). Câu 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm vận tốc của vật: Vận tốc \( v(t) \) là đạo hàm của quãng đường \( s(t) \). \[ s(t) = -\frac{1}{2}t^3 + 3t^2 + 20 \] \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = -\frac{3}{2}t^2 + 6t \] 2. Tìm thời điểm vật đạt vận tốc lớn nhất: Để tìm thời điểm vật đạt vận tốc lớn nhất, ta cần tìm đạo hàm của \( v(t) \) và đặt nó bằng 0. \[ a(t) = \frac{dv}{dt} = -3t + 6 \] Đặt \( a(t) = 0 \): \[ -3t + 6 = 0 \] \[ t = 2 \] 3. Kiểm tra vận tốc tại thời điểm \( t = 2 \): Ta thay \( t = 2 \) vào biểu thức của \( v(t) \). \[ v(2) = -\frac{3}{2}(2)^2 + 6(2) = -\frac{3}{2}(4) + 12 = -6 + 12 = 6 \] Vậy vận tốc lớn nhất của vật là 6 m/s và đạt được tại thời điểm \( t = 2 \) giây. 4. Tính quãng đường vật đi được từ lúc bắt đầu chuyển động đến thời điểm \( t = 2 \) giây: Ta thay \( t = 2 \) vào biểu thức của \( s(t) \). \[ s(2) = -\frac{1}{2}(2)^3 + 3(2)^2 + 20 = -\frac{1}{2}(8) + 3(4) + 20 = -4 + 12 + 20 = 28 \] Vậy quãng đường vật đi được từ lúc bắt đầu chuyển động đến thời điểm vật đạt vận tốc lớn nhất là 28 mét. Đáp số: 28 mét.