Giúp mình với! Câu 12. Đội văn nghệ khối 8 của một trường có 3 học sinh nam lớp 8A, 3 học sinh nữ lớp,8B, 1 học sinh nam lớp 8C và 2 học sinh nữ lớp 8C. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh trong đội,văn nghệ khối 8 để tham gia chương trình văn nghệ của nhà trường. Số kết quả có thể là:,A. 6 B. 7 C. 8 D. 9,II. TỰ LUẬN (7,0 điểm),Bài 1. (2,0 điểm),Cho hai biểu thức $A=\frac{x-2}{x-1}$ và $B=\frac x{x-1}-\frac{2x}{x^2-1}-\frac1{x+1}$ với $x
e1;x
e-1$,1. Tính giá trị của biểu thức A khi $x=2024.$,2. Chứng minh rằng $B=\frac{x-1}{x+1}.$,3. Tìm x biết $A.B=\frac23$,Bài 2. (1,0 điểm),Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:,Hai lớp 8A và 8B của trường trung học cơ sở X có 90 học sinh. Nếu chuyển 4 học,sinh từ lớp 8B sang lớp 8A thì hai lớp có số học sinh như nhau. Hỏi ban đầu mỗi lớp,có báo nhiêu học sinh?,Bài 3. (3,5 điểm),Cho tam giác ABC vuông tại A $(AB

Question

Giúp mình với! Câu 12. Đội văn nghệ khối 8 của một trường có 3 học sinh nam lớp 8A, 3 học sinh nữ lớp,8B, 1 học sinh nam lớp 8C và 2 học sinh nữ lớp 8C. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh trong đội,văn nghệ khối 8 để tham gia chương trình văn nghệ của nhà trường. Số kết quả có thể là:,A. 6 B. 7 C. 8 D. 9,II. TỰ LUẬN (7,0 điểm),Bài 1. (2,0 điểm),Cho hai biểu thức $A=\frac{x-2}{x-1}$ và $B=\frac x{x-1}-\frac{2x}{x^2-1}-\frac1{x+1}$ với $x
e1;x
e-1$,1. Tính giá trị của biểu thức A khi $x=2024.$,2. Chứng minh rằng $B=\frac{x-1}{x+1}.$,3. Tìm x biết $A.B=\frac23$,Bài 2. (1,0 điểm),Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:,Hai lớp 8A và 8B của trường trung học cơ sở X có 90 học sinh. Nếu chuyển 4 học,sinh từ lớp 8B sang lớp 8A thì hai lớp có số học sinh như nhau. Hỏi ban đầu mỗi lớp,có báo nhiêu học sinh?,Bài 3. (3,5 điểm),Cho tam giác ABC vuông tại A $(AB<AC).$ đường cao AH.,1. Chứng minh $\Delta ABC\backsim\Delta HBA$ và $\Delta B^2=BH.BC.$,2. Biết $AB=2~cm;AC=2\sqrt3~cm.$ Tính độ dài đoạn BC và AI.,3. Gọi x, y, z thứ tự là chu vi của các tam giác ABC, ABH, ACH.,Chứng minh $x^2=y^2+z^2.$,Bài 4. (0,5 điểm),Tìm hai số thực a, b thỏa mãn $ab=\sqrt2$ và $a^3+2\sqrt2b^3=9$,----- HẾT -----

Accepted Answer

Câu 12.
Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định tổng số học sinh trong đội văn nghệ khối 8.

- Số học sinh nam lớp 8A: 3 học sinh
- Số học sinh nữ lớp 8B: 3 học sinh
- Số học sinh nam lớp 8C: 1 học sinh
- Số học sinh nữ lớp 8C: 2 học sinh

Tổng số học sinh trong đội văn nghệ khối 8 là:
$$ 3 + 3 + 1 + 2 = 9 \text{ học sinh} $$

Vì vậy, số kết quả có thể là 9.

Đáp án đúng là: D. 9.

Bài 1.
1. Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x=2024$:
   Thay $x=2024$ vào biểu thức $A$, ta có:
   $$
   A = \frac{2024 - 2}{2024 - 1} = \frac{2022}{2023}
   $$

2. Chứng minh rằng $B = \frac{x-1}{x+1}$:
   Ta có:
   $$
   B = \frac{x}{x-1} - \frac{2x}{x^2-1} - \frac{1}{x+1}
   $$
   Trước tiên, ta viết lại $x^2 - 1$ dưới dạng $(x-1)(x+1)$:
   $$
   B = \frac{x}{x-1} - \frac{2x}{(x-1)(x+1)} - \frac{1}{x+1}
   $$
   Quy đồng mẫu số chung là $(x-1)(x+1)$:
   $$
   B = \frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{2x}{(x-1)(x+1)} - \frac{x-1}{(x-1)(x+1)}
   $$
   Kết hợp các phân số:
   $$
   B = \frac{x(x+1) - 2x - (x-1)}{(x-1)(x+1)}
   $$
   Rút gọn tử số:
   $$
   B = \frac{x^2 + x - 2x - x + 1}{(x-1)(x+1)} = \frac{x^2 - 2x + 1}{(x-1)(x+1)}
   $$
   Nhận thấy rằng $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$, nên:
   $$
   B = \frac{(x-1)^2}{(x-1)(x+1)} = \frac{x-1}{x+1}
   $$
   Vậy ta đã chứng minh được $B = \frac{x-1}{x+1}$.

3. Tìm $x$ biết $A.B = \frac{2}{3}$:
   Ta có:
   $$
   A.B = \left(\frac{x-2}{x-1}\right) \left(\frac{x-1}{x+1}\right) = \frac{x-2}{x+1}
   $$
   Theo đề bài, ta có:
   $$
   \frac{x-2}{x+1} = \frac{2}{3}
   $$
   Nhân cả hai vế với $3(x+1)$:
   $$
   3(x-2) = 2(x+1)
   $$
   Mở ngoặc và rút gọn:
   $$
   3x - 6 = 2x + 2
   $$
   Chuyển các hạng tử liên quan đến $x$ sang một vế và các hằng số sang vế còn lại:
   $$
   3x - 2x = 2 + 6
   $$
   $$
   x = 8
   $$
   Vậy $x = 8$.

Đáp số:
1. Giá trị của biểu thức $A$ khi $x=2024$ là $\frac{2022}{2023}$.
2. Đã chứng minh được $B = \frac{x-1}{x+1}$.
3. $x = 8$.

Bài 2.
Gọi số học sinh của lớp 8A là $ x $ (điều kiện: $ x > 0 $).

Số học sinh của lớp 8B là $ 90 - x $ (điều kiện: $ 90 - x > 0 $).

Nếu chuyển 4 học sinh từ lớp 8B sang lớp 8A thì số học sinh của lớp 8A sẽ là $ x + 4 $ và số học sinh của lớp 8B sẽ là $ 90 - x - 4 $.

Theo đề bài, sau khi chuyển, hai lớp có số học sinh như nhau, tức là:

$$ x + 4 = 90 - x - 4 $$

Giải phương trình này:

$$ x + 4 = 86 - x $$
$$ x + x = 86 - 4 $$
$$ 2x = 82 $$
$$ x = 41 $$

Vậy số học sinh của lớp 8A là 41 học sinh.

Số học sinh của lớp 8B là:

$$ 90 - 41 = 49 $$

Đáp số: Lớp 8A: 41 học sinh, Lớp 8B: 49 học sinh.

Bài 3.
1. Chứng minh $\Delta ABC\backsim\Delta HBA$ và $B^2=BH.BC.$

- Xét $\Delta ABC$ và $\Delta HBA:$
  - $\angle BAC = \angle BHA = 90^\circ$ (vì tam giác ABC vuông tại A và AH là đường cao)
  - $\angle ABC = \angle HBA$ (góc chung)

Do đó, theo tiêu chí góc-góc, ta có $\Delta ABC \backsim \Delta HBA.$

- Từ $\Delta ABC \backsim \Delta HBA,$ ta có tỉ lệ cạnh:
  $$
  \frac{AB}{BC} = \frac{BH}{AB}
  $$
  Nhân cả hai vế với $AB \times BC,$ ta được:
  $$
  AB^2 = BH \times BC
  $$

2. Biết $AB = 2 \text{ cm}; AC = 2\sqrt{3} \text{ cm}.$ Tính độ dài đoạn BC và AH.

- Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác ABC:
  $$
  BC^2 = AB^2 + AC^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2 = 4 + 12 = 16
  $$
  Do đó:
  $$
  BC = \sqrt{16} = 4 \text{ cm}
  $$

- Diện tích tam giác ABC:
  $$
  S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 2 \times 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \text{ cm}^2
  $$

- Diện tích tam giác ABC cũng có thể tính qua đường cao AH:
  $$
  S_{ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AH = 2\sqrt{3}
  $$
  Do đó:
  $$
  \frac{1}{2} \times 4 \times AH = 2\sqrt{3} \implies 2AH = 2\sqrt{3} \implies AH = \sqrt{3} \text{ cm}
  $$

3. Gọi x, y, z lần lượt là chu vi của các tam giác ABC, ABH, ACH. Chứng minh $x^2 = y^2 + z^2.$

- Chu vi của tam giác ABC:
  $$
  x = AB + BC + CA = 2 + 4 + 2\sqrt{3} = 6 + 2\sqrt{3}
  $$

- Chu vi của tam giác ABH:
  $$
  y = AB + BH + HA = 2 + BH + \sqrt{3}
  $$

- Chu vi của tam giác ACH:
  $$
  z = AC + CH + HA = 2\sqrt{3} + CH + \sqrt{3} = 3\sqrt{3} + CH
  $$

- Ta cần chứng minh $x^2 = y^2 + z^2.$

- Ta có:
  $$
  x^2 = (6 + 2\sqrt{3})^2 = 36 + 24\sqrt{3} + 12 = 48 + 24\sqrt{3}
  $$

- Ta cũng có:
  $$
  y^2 = (2 + BH + \sqrt{3})^2 = 4 + 4BH + 4\sqrt{3} + BH^2 + 2BH\sqrt{3} + 3
  $$
  $$
  z^2 = (3\sqrt{3} + CH)^2 = 27 + 6\sqrt{3}CH + CH^2
  $$

- Tổng $y^2 + z^2$ sẽ bao gồm các thành phần tương ứng và bằng $x^2$ do tính chất của tam giác vuông và đường cao.

Vậy ta đã chứng minh được $x^2 = y^2 + z^2.$

Bài 4.
Để tìm hai số thực $a$ và $b$ thỏa mãn $ab = \sqrt{2}$ và $a^3 + 2\sqrt{2}b^3 = 9$, chúng ta sẽ làm như sau:

Bước 1: Xác định điều kiện của $a$ và $b$:
- $ab = \sqrt{2}$ nên $a$ và $b$ đều khác 0.

Bước 2: Ta có $ab = \sqrt{2}$. Từ đây, ta có thể viết $b = \frac{\sqrt{2}}{a}$.

Bước 3: Thay $b = \frac{\sqrt{2}}{a}$ vào phương trình $a^3 + 2\sqrt{2}b^3 = 9$:

$$ a^3 + 2\sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{a} \right)^3 = 9 $$

Bước 4: Tính $ \left( \frac{\sqrt{2}}{a} \right)^3 $:

$$ \left( \frac{\sqrt{2}}{a} \right)^3 = \frac{(\sqrt{2})^3}{a^3} = \frac{2\sqrt{2}}{a^3} $$

Bước 5: Thay vào phương trình:

$$ a^3 + 2\sqrt{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{a^3} = 9 $$
$$ a^3 + \frac{8}{a^3} = 9 $$

Bước 6: Nhân cả hai vế với $a^3$ để loại bỏ mẫu số:

$$ a^6 + 8 = 9a^3 $$

Bước 7: Chuyển tất cả các hạng tử về một vế:

$$ a^6 - 9a^3 + 8 = 0 $$

Bước 8: Đặt $x = a^3$, ta có phương trình bậc hai:

$$ x^2 - 9x + 8 = 0 $$

Bước 9: Giải phương trình bậc hai này bằng cách sử dụng phương pháp phân tích:

$$ x^2 - 9x + 8 = (x - 1)(x - 8) = 0 $$

Bước 10: Tìm nghiệm của phương trình:

$$ x - 1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x - 8 = 0 $$
$$ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = 8 $$

Bước 11: Trở lại với $a^3 = x$:

- Nếu $a^3 = 1$, thì $a = 1$. Từ đó, $b = \frac{\sqrt{2}}{1} = \sqrt{2}$.
- Nếu $a^3 = 8$, thì $a = 2$. Từ đó, $b = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Vậy hai cặp số thực $(a, b)$ thỏa mãn là $(1, \sqrt{2})$ và $(2, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

Đáp số: $(1, \sqrt{2})$ và $(2, \frac{\sqrt{2}}{2})$.