Giúp mình với!

Câu 3. a) Một véc tơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{u_\Delta}=(2;1).$ Phương trình đường thẳng $\Delta$ là $2x + y - 1 = 0$. Ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng $y = -2x + 1$. Từ đây, ta thấy rằng véc tơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{u_\Delta} = (1; -2)$. Tuy nhiên, véc tơ chỉ phương của đường thẳng cũng có thể là bội của véc tơ này, do đó $\overrightarrow{u_\Delta} = (2; 1)$ cũng là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$. b) Điểm $M(1; -1)$ thuộc đường thẳng $\Delta.$ Thay tọa độ của điểm $M(1; -1)$ vào phương trình đường thẳng $\Delta$: \[2(1) + (-1) - 1 = 2 - 1 - 1 = 0.\] Vì phương trình đúng, nên điểm $M(1; -1)$ thuộc đường thẳng $\Delta$. c) Đường thẳng đi qua điểm $A(0; 1)$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta$ có phương trình là $x - 2y - 2 = 0.$ Đường thẳng $\Delta$ có véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_\Delta} = (2; 1)$. Đường thẳng vuông góc với $\Delta$ sẽ có véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{v} = (-1; 2)$ (vì tích vô hướng của hai véc tơ chỉ phương này bằng 0: $2(-1) + 1(2) = 0$). Phương trình đường thẳng đi qua điểm $A(0; 1)$ và có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{v} = (-1; 2)$ là: \[2(x - 0) - 1(y - 1) = 0 \Rightarrow 2x - y + 1 = 0 \Rightarrow x - 2y - 2 = 0.\] d) Đường tròn tâm $N(2; 2)$ tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$ có phương trình $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 5.$ Để đường tròn tâm $N(2; 2)$ tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$, bán kính của đường tròn phải bằng khoảng cách từ tâm $N$ đến đường thẳng $\Delta$. Khoảng cách từ điểm $N(2; 2)$ đến đường thẳng $\Delta$ là: \[d = \frac{|2(2) + 1(2) - 1|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|4 + 2 - 1|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}.\] Do đó, bán kính của đường tròn là $\sqrt{5}$, và phương trình đường tròn là: \[(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = (\sqrt{5})^2 \Rightarrow (x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 5.\] Đáp số: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng. Câu 1: Để giải phương trình $\sqrt{3x^2-9x+7}=x-2$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Phương trình có căn thức ở vế trái, do đó: \[ 3x^2 - 9x + 7 \geq 0 \] và \[ x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2 \] Bước 2: Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn thức \[ (\sqrt{3x^2-9x+7})^2 = (x-2)^2 \] \[ 3x^2 - 9x + 7 = x^2 - 4x + 4 \] Bước 3: Chuyển tất cả các hạng tử về một vế và giản ước \[ 3x^2 - 9x + 7 - x^2 + 4x - 4 = 0 \] \[ 2x^2 - 5x + 3 = 0 \] Bước 4: Giải phương trình bậc hai Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \(a = 2\), \(b = -5\), \(c = 3\): \[ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} \] \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4} \] \[ x = \frac{5 \pm 1}{4} \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \] \[ x_2 = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1 \] Bước 5: Kiểm tra điều kiện xác định - Với \(x = \frac{3}{2}\): \[ x - 2 = \frac{3}{2} - 2 = -\frac{1}{2} < 0 \] Điều này vi phạm điều kiện \(x \geq 2\). Do đó, \(x = \frac{3}{2}\) bị loại. - Với \(x = 1\): \[ x - 2 = 1 - 2 = -1 < 0 \] Điều này cũng vi phạm điều kiện \(x \geq 2\). Do đó, \(x = 1\) bị loại. Kết luận: Không có giá trị nào trong tập nghiệm thỏa mãn điều kiện xác định. Vậy phương trình $\sqrt{3x^2-9x+7}=x-2$ không có nghiệm. Đáp số: Số nghiệm của phương trình là 0. Câu 2. Điều kiện xác định (ĐKXĐ): \[ x^2 + 2x + 4 \geq 0 \quad \text{và} \quad 2 - x \geq 0 \] Ta thấy rằng \(x^2 + 2x + 4\) luôn dương vì nó là một tam thức bậc hai có hệ số \(a > 0\) và biệt thức \(b^2 - 4ac = 4 - 16 = -12 < 0\). Do đó, \(x^2 + 2x + 4 \geq 0\) luôn đúng. Điều kiện thứ hai là: \[ 2 - x \geq 0 \implies x \leq 2 \] Bây giờ, ta bình phương cả hai vế của phương trình để loại bỏ căn thức: \[ (\sqrt{x^2 + 2x + 4})^2 = (\sqrt{2 - x})^2 \] \[ x^2 + 2x + 4 = 2 - x \] Rearrange the equation to form a standard quadratic equation: \[ x^2 + 2x + 4 - 2 + x = 0 \] \[ x^2 + 3x + 2 = 0 \] Phân tích phương trình bậc hai này: \[ x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) = 0 \] Giải phương trình bậc nhất: \[ x + 1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x + 2 = 0 \] \[ x = -1 \quad \text{hoặc} \quad x = -2 \] Kiểm tra lại các nghiệm trong điều kiện ban đầu: - Với \(x = -1\): \[ 2 - (-1) = 3 \geq 0 \quad \text{(thỏa mãn)} \] - Với \(x = -2\): \[ 2 - (-2) = 4 \geq 0 \quad \text{(thỏa mãn)} \] Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện ban đầu. Vậy các nghiệm của phương trình là \(x = -1\) và \(x = -2\). Tổng các nghiệm: \[ -1 + (-2) = -3 \] Đáp số: Tổng các nghiệm của phương trình là \(-3\). Câu 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng quy tắc cơ bản về xác suất và tổ hợp. Bước 1: Xác định tổng số quả cầu trong hộp. - Số quả cầu đỏ: 3 quả. - Số quả cầu xanh: 4 quả. - Tổng số quả cầu: 3 + 4 = 7 quả. Bước 2: Xác định số cách lấy ra một quả cầu từ trong hộp. - Mỗi lần lấy ra một quả cầu, chúng ta có thể chọn bất kỳ quả cầu nào trong 7 quả cầu. Vậy, số cách lấy ra một quả cầu từ trong hộp là 7 cách. Đáp số: 7 cách. Câu 4: Để tìm số cách chọn đường đi từ địa điểm A đến địa điểm C, ta cần tính tổng số cách đi qua địa điểm B. 1. Từ địa điểm A đến địa điểm B có 4 con đường. 2. Từ địa điểm B đến địa điểm C có 5 con đường. Mỗi con đường từ A đến B có thể kết hợp với mỗi con đường từ B đến C. Do đó, số cách chọn đường đi từ A đến C là: Số cách chọn đường từ A đến B nhân với số cách chọn đường từ B đến C: \[ 4 \times 5 = 20 \] Vậy có tất cả 20 cách chọn đường đi từ địa điểm A đến địa điểm C, đi qua địa điểm B. Đáp số: 20 cách. Câu 5: Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của $(a+b)^{2025}$, số hạng sẽ tương ứng với mỗi số mũ của $a$ và $b$ trong mỗi lần nhân. Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn là: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Trong đó, $\binom{n}{k}$ là hệ số nhị thức, $a^{n-k}$ là lũy thừa của $a$, và $b^k$ là lũy thừa của $b$. Biểu thức này cho thấy rằng mỗi số hạng trong khai triển sẽ có dạng $\binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ với $k$ chạy từ 0 đến $n$. Với $n = 2025$, ta có: \[ (a + b)^{2025} = \sum_{k=0}^{2025} \binom{2025}{k} a^{2025-k} b^k \] Số hạng trong khai triển này sẽ là các số hạng tương ứng với mỗi giá trị của $k$ từ 0 đến 2025. Do đó, tổng số số hạng trong khai triển là: \[ 2025 - 0 + 1 = 2026 \] Vậy, trong khai triển nhị thức Niu-tơn của $(a+b)^{2025}$ có 2026 số hạng. Câu 1: Phương trình $(x-1)^2+(y+2)^2=25$ có dạng $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$, trong đó $a=1$, $b=-2$, và $R=5$. Từ đó, ta xác định được: - Tâm của đường tròn là điểm $(a, b)$, tức là $(1, -2)$. - Bán kính của đường tròn là $R$, tức là 5. Vậy tâm của đường tròn là $(1, -2)$ và bán kính là 5. Câu 2: Để lập được các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số trong tập hợp \( X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \), ta thực hiện như sau: - Chọn chữ số hàng nghìn: Có 6 lựa chọn (vì bất kỳ chữ số nào trong tập hợp đều có thể là chữ số hàng nghìn). - Chọn chữ số hàng trăm: Có 5 lựa chọn (vì đã chọn 1 chữ số cho hàng nghìn, còn lại 5 chữ số khác). - Chọn chữ số hàng chục: Có 4 lựa chọn (vì đã chọn 2 chữ số cho hàng nghìn và hàng trăm, còn lại 4 chữ số khác). - Chọn chữ số hàng đơn vị: Có 3 lựa chọn (vì đã chọn 3 chữ số cho hàng nghìn, hàng trăm và hàng chục, còn lại 3 chữ số khác). Vậy tổng số các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau là: \[ 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360 \] Đáp số: 360 số tự nhiên Câu 3: Để tính xác suất của biến cố A: "có đúng 2 lần xuất hiện mặt sấp" khi gieo một đồng xu liên tiếp 3 lần, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định không gian mẫu Mỗi lần gieo đồng xu có hai kết quả có thể xảy ra: mặt sấp (S) hoặc mặt ngửa (N). Khi gieo đồng xu liên tiếp 3 lần, tổng số kết quả có thể xảy ra là: \[ 2^3 = 8 \] Không gian mẫu bao gồm các kết quả sau: \[ \{SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN\} \] Bước 2: Xác định số kết quả thuận lợi Biến cố A: "có đúng 2 lần xuất hiện mặt sấp" bao gồm các kết quả sau: \[ \{SSN, SNS, NSS\} \] Như vậy, có 3 kết quả thuận lợi. Bước 3: Tính xác suất Xác suất của biến cố A là tỷ lệ giữa số kết quả thuận lợi và tổng số kết quả trong không gian mẫu: \[ P(A) = \frac{\text{số kết quả thuận lợi}}{\text{tổng số kết quả trong không gian mẫu}} = \frac{3}{8} \] Kết luận Xác suất của biến cố A: "có đúng 2 lần xuất hiện mặt sấp" là: \[ \frac{3}{8} \]