Giải giúp đúng sai

Câu 13. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng điều kiện và tìm ra phương trình của hàm số \( f(x) \). Bước 1: Xác định tiệm cận đứng Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y = f(x) \) là \( x = -1 \). Điều này có nghĩa là khi \( x \to -1 \), giá trị của \( f(x) \) sẽ tiến đến vô cực hoặc âm vô cực. Bước 2: Xác định tiệm cận xiên Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = f(x) \) có hệ số góc bằng 1 và đi qua điểm có tọa độ là \( (0; -2) \). Điều này có nghĩa là phương trình của tiệm cận xiên là: \[ y = x - 2 \] Bước 3: Xác định diện tích đa giác Hai đường tiệm cận đứng và tiệm cận xiên cùng với hai trục tọa độ \( Ox \) và \( Oy \) tạo thành một đa giác có diện tích bằng 3. Bước 4: Xác định phương trình của hàm số Chúng ta giả sử rằng hàm số \( f(x) \) có dạng: \[ f(x) = \frac{ax + b}{x + 1} \] vì nó có tiệm cận đứng tại \( x = -1 \). Tìm hệ số \( a \) và \( b \): - Khi \( x \to \infty \), \( f(x) \approx \frac{ax}{x} = a \). Vì tiệm cận xiên có hệ số góc bằng 1, nên \( a = 1 \). - Thay \( a = 1 \) vào phương trình, ta có: \[ f(x) = \frac{x + b}{x + 1} \] - Để tiệm cận xiên đi qua điểm \( (0; -2) \), ta thay \( x = 0 \) vào phương trình tiệm cận xiên: \[ y = 0 - 2 = -2 \] Do đó, khi \( x \to \infty \), \( f(x) \to x - 2 \). Điều này có nghĩa là: \[ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x + b}{x + 1} - (x - 2) \right) = 0 \] Tính toán chi tiết: \[ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x + b}{x + 1} - x + 2 \right) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x + b - x^2 - x + 2x + 2}{x + 1} \right) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{-x^2 + 2x + b + 2}{x + 1} \right) = 0 \] Điều này chỉ đúng nếu \( b + 2 = 0 \), tức là \( b = -2 \). Vậy phương trình của hàm số là: \[ f(x) = \frac{x - 2}{x + 1} \] Kiểm tra diện tích đa giác Đường tiệm cận đứng là \( x = -1 \), đường tiệm cận xiên là \( y = x - 2 \). - Điểm giao của tiệm cận xiên với trục \( Oy \) là \( (0, -2) \). - Điểm giao của tiệm cận xiên với trục \( Ox \) là \( (2, 0) \). Diện tích đa giác hình chữ nhật được tạo thành bởi các đường thẳng \( x = -1 \), \( y = x - 2 \), \( Ox \), và \( Oy \) là: \[ S = \frac{1}{2} \times \text{chiều dài} \times \text{chiều rộng} = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3 \] Vậy phương trình của hàm số là: \[ f(x) = \frac{x - 2}{x + 1} \] Câu 14. a) Xét tam giác vuông AOB có: \[ OB = OA \cdot \tan(30^\circ) = 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3} \] Do đó, tọa độ của B là \((-5\sqrt{3}, 15, 0)\). Hình chiếu của C lên mặt phẳng (Oxy) có tọa độ \((35, 0, 0)\). b) Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (Oxy) bằng góc giữa AB và OB, tức là \(30^\circ\). c) Vectơ \(\overrightarrow{BC}\) có tọa độ \((a, b, c)\): \[ a = 35 - (-5\sqrt{3}) = 35 + 5\sqrt{3} \] \[ b = 0 - 15 = -15 \] \[ c = 0 - 0 = 0 \] Do đó, \(\overrightarrow{BC} = (35 + 5\sqrt{3}, -15, 0)\). Kiểm tra điều kiện \(2a - b = 40\): \[ 2(35 + 5\sqrt{3}) - (-15) = 70 + 10\sqrt{3} + 15 = 85 + 10\sqrt{3} \neq 40 \] d) Vectơ lực tác dụng lên đoạn dây BC có hoành độ là 120 (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo Newton): \[ F_x = 500 \cdot \cos(\theta) \] Trong đó \(\theta\) là góc giữa vectơ \(\overrightarrow{BC}\) và trục Ox. Tính \(\cos(\theta)\): \[ \cos(\theta) = \frac{35 + 5\sqrt{3}}{\sqrt{(35 + 5\sqrt{3})^2 + (-15)^2}} \] Sau khi tính toán, ta có: \[ \cos(\theta) \approx 0.96 \] Do đó: \[ F_x = 500 \cdot 0.96 = 480 \text{ N} \] Làm tròn đến hàng đơn vị: \[ F_x \approx 480 \text{ N} \] Đáp số: a) Tọa độ của B là \((-5\sqrt{3}, 15, 0)\). b) Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (Oxy) là \(30^\circ\). c) Vectơ \(\overrightarrow{BC} = (35 + 5\sqrt{3}, -15, 0)\). d) Hoành độ của vectơ lực tác dụng lên đoạn dây BC là 480 N.