giải hộ mình với

Câu 19: Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( P = a^2 + 2b^2 + 3c^2 \) với điều kiện \( -2 \leq a, b, c \leq 5 \) và \( a + 2b + 3c \leq 2 \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp khảo sát các giá trị cực biên và kiểm tra các giới hạn đã cho. Bước 1: Xét các giá trị cực biên của \( a, b, c \): - \( a = -2 \) - \( a = 5 \) - \( b = -2 \) - \( b = 5 \) - \( c = -2 \) - \( c = 5 \) Bước 2: Kiểm tra các giá trị này trong điều kiện \( a + 2b + 3c \leq 2 \): - Nếu \( a = 5 \), \( b = 5 \), \( c = 5 \): \[ a + 2b + 3c = 5 + 2(5) + 3(5) = 5 + 10 + 15 = 30 \quad (\text{không thoả mãn}) \] - Nếu \( a = 5 \), \( b = 5 \), \( c = -2 \): \[ a + 2b + 3c = 5 + 2(5) + 3(-2) = 5 + 10 - 6 = 9 \quad (\text{không thoả mãn}) \] - Nếu \( a = 5 \), \( b = -2 \), \( c = 5 \): \[ a + 2b + 3c = 5 + 2(-2) + 3(5) = 5 - 4 + 15 = 16 \quad (\text{không thoả mãn}) \] - Nếu \( a = 5 \), \( b = -2 \), \( c = -2 \): \[ a + 2b + 3c = 5 + 2(-2) + 3(-2) = 5 - 4 - 6 = -5 \quad (\text{thoả mãn}) \] \[ P = 5^2 + 2(-2)^2 + 3(-2)^2 = 25 + 2(4) + 3(4) = 25 + 8 + 12 = 45 \] - Nếu \( a = -2 \), \( b = 5 \), \( c = 5 \): \[ a + 2b + 3c = -2 + 2(5) + 3(5) = -2 + 10 + 15 = 23 \quad (\text{không thoả mãn}) \] - Nếu \( a = -2 \), \( b = 5 \), \( c = -2 \): \[ a + 2b + 3c = -2 + 2(5) + 3(-2) = -2 + 10 - 6 = 2 \quad (\text{thoả mãn}) \] \[ P = (-2)^2 + 2(5)^2 + 3(-2)^2 = 4 + 2(25) + 3(4) = 4 + 50 + 12 = 66 \] - Nếu \( a = -2 \), \( b = -2 \), \( c = 5 \): \[ a + 2b + 3c = -2 + 2(-2) + 3(5) = -2 - 4 + 15 = 9 \quad (\text{không thoả mãn}) \] - Nếu \( a = -2 \), \( b = -2 \), \( c = -2 \): \[ a + 2b + 3c = -2 + 2(-2) + 3(-2) = -2 - 4 - 6 = -12 \quad (\text{thoả mãn}) \] \[ P = (-2)^2 + 2(-2)^2 + 3(-2)^2 = 4 + 2(4) + 3(4) = 4 + 8 + 12 = 24 \] Từ các trường hợp trên, giá trị lớn nhất của \( P \) là 66, đạt được khi \( a = -2 \), \( b = 5 \), \( c = -2 \). Do đó, giá trị biểu thức \( 10k \) là: \[ 10 \times 66 = 660 \] Đáp số: 660 Câu 20: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( h \) để xác định chiều cao của mái nhà. 2. Tính diện tích toàn phần của một hình nón. 3. Tính tổng diện tích của 3 hình nón. 4. Tính số tiền sơn mặt trên của mái nhà. Bước 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( h \) Biểu thức \( h \) là: \[ h = \frac{1}{a^2 + 4b^2} + \frac{1}{b^2 + 4a^2} + \frac{4}{10ab} \] Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: \[ \left( \frac{1}{a^2 + 4b^2} + \frac{1}{b^2 + 4a^2} \right) \left( (a^2 + 4b^2) + (b^2 + 4a^2) \right) \geq (1 + 1)^2 = 4 \] Do đó: \[ \frac{1}{a^2 + 4b^2} + \frac{1}{b^2 + 4a^2} \geq \frac{4}{5(a^2 + b^2)} \] Ta cũng có: \[ \frac{4}{10ab} = \frac{2}{5ab} \] Tổng lại: \[ h \geq \frac{4}{5(a^2 + b^2)} + \frac{2}{5ab} \] Vì \( a + b = 1 \), ta có: \[ a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 1 - 2ab \] Do đó: \[ h \geq \frac{4}{5(1 - 2ab)} + \frac{2}{5ab} \] Để \( h \) đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần \( ab \) lớn nhất. Vì \( a + b = 1 \), giá trị lớn nhất của \( ab \) là khi \( a = b = \frac{1}{2} \): \[ ab = \left( \frac{1}{2} \right) \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{4} \] Thay vào: \[ h \geq \frac{4}{5 \left( 1 - 2 \cdot \frac{1}{4} \right)} + \frac{2}{5 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{4}{5 \cdot \frac{1}{2}} + \frac{2}{5 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{4}{\frac{5}{2}} + \frac{2}{\frac{5}{4}} = \frac{8}{5} + \frac{8}{5} = \frac{16}{5} = 3.2 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của \( h \) là 3.2 m. Bước 2: Tính diện tích toàn phần của một hình nón Chiều cao \( h = 3.2 \) m, bán kính đáy \( r = 2 \) m. Ta tính slant height (chiều cao斜高) \( l \) của hình nón: \[ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{2^2 + 3.2^2} = \sqrt{4 + 10.24} = \sqrt{14.24} \approx 3.77 \text{ m} \] Diện tích toàn phần của một hình nón: \[ S_{\text{nón}} = \pi r l = \pi \times 2 \times 3.77 \approx 23.69 \text{ m}^2 \] Bước 3: Tính tổng diện tích của 3 hình nón \[ S_{\text{tổng}} = 3 \times 23.69 \approx 71.07 \text{ m}^2 \] Bước 4: Tính số tiền sơn mặt trên của mái nhà Giá sơn \( 1 \text{ m}^2 \) là 200,000 vnđ. Số tiền sơn: \[ \text{Số tiền} = 71.07 \times 200,000 \approx 14,214,000 \text{ vnđ} \] Chuyển đổi thành triệu đồng: \[ \text{Số tiền} \approx 14.2 \text{ triệu đồng} \] Đáp số: 14.2 triệu đồng.